線性代數(shù)幾何代數(shù)歷年試題

1、幾何與代數(shù)、線性代數(shù)教學(xué)大綱與歷年試題南京 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系2007年月目 錄1. 幾何與代數(shù)教學(xué)大綱1 2. 線性代數(shù)教學(xué)大綱83. 幾何與代數(shù)教學(xué)大綱（64學(xué)時(shí)）134. 01-02學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷215. 02-03學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷256. 03-04學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷307. 04-05學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷348. 05-06學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷399. 06-07學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷4310. 01-02學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷4711. 03-04學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷52

2、12. 04-05學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷5613. 05-06學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷6114. 06-07學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷6515. 05-06學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)補(bǔ)考試卷6916. 05-06學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)補(bǔ)考試卷7317. 07-08學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)轉(zhuǎn)系考試試卷77幾何與代數(shù)教學(xué)大綱48學(xué)時(shí)本課程是本科階段幾何及離散量數(shù)學(xué)最重要的課程。本課程的目的是使學(xué)生熟悉線性代數(shù)與空間解析的基本概念，掌握用坐標(biāo)及向量的方法討論幾何圖形的方法，熟悉空間中簡(jiǎn)單的幾何圖形的方程及其特點(diǎn)，掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法，提高其空間想象能力、抽象思維和邏輯思維的

3、能力，為用線性代數(shù)的理論解決實(shí)際問(wèn)題打下基礎(chǔ)，并為后繼課程的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。教學(xué)內(nèi)容和基本要求一 向量代數(shù) 平面與直線1 理解幾何向量的概念及其加法、數(shù)乘運(yùn)算，熟悉運(yùn)算規(guī)律，了解兩個(gè)向量共線和三個(gè)向量共面的充分必要條件；2 理解空間直角坐標(biāo)系的概念，了解仿射坐標(biāo)系的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示；3 理解向量的數(shù)量積、向量積和混合積的概念，理解它們的幾何意義，了解相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握利用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算的方法；4 理解平面的法向量的概念，熟練掌握平面的方程的確定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；5 理解直線的方向向量的概念，熟練掌握直線的對(duì)稱(chēng)方程、一般方程及參數(shù)方程的確定方法；6 了解直線、平面間的夾角

4、的定義，了解點(diǎn)與直線、平面間的距離的定義，并掌握相關(guān)的計(jì)算；7 了解平面束的概念，并會(huì)用平面束處理相關(guān)幾何問(wèn)題。二 矩陣和行列式1 理解矩陣和維向量的概念；2 理解矩陣和向量的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算及矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練掌握上述運(yùn)算；3 理解零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角陣、三角陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義及其運(yùn)算性質(zhì)；4 理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計(jì)算；5 知道全排列及其的逆序數(shù)的定義，會(huì)計(jì)算排列的逆序數(shù)，知道對(duì)換及對(duì)換對(duì)于排列的奇偶性的影響；6 了解階行列式的定義，會(huì)用行列式的定義計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式；7 掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握行列式按行、列展開(kāi)公式，了解行

5、列式的乘法定理；8 掌握不很復(fù)雜的低階行列式及簡(jiǎn)單的高階行列式的計(jì)算；9 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質(zhì)；10 了解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質(zhì)，掌握利用伴隨矩陣計(jì)算矩陣的逆矩陣；11 理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法；12 了解分塊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，掌握簡(jiǎn)單的分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。三 矩陣的初等變換與Gauss消元法1 理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關(guān)系，掌握求解線性方程組的Gauss消元法；2 理解向量組的線性組合和線性表示的概念及相關(guān)的性質(zhì)，掌握相關(guān)計(jì)算；3 理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念以及有關(guān)性質(zhì)，

6、掌握向量組的線性相關(guān)性的判別方法；4 理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和秩的概念，理解向量組的秩的性質(zhì)，熟練掌握向量組的秩的計(jì)算，并會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；5 理解矩陣的秩的概念，理解向量組的秩與矩陣的秩間的關(guān)系，熟練掌握矩陣的秩的計(jì)算；6 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法；7 理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達(dá)式的求法；8 理解矩陣的初等變換及矩陣的等價(jià)關(guān)系的概念9 了解矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念，理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關(guān)系；1

7、0 了解可逆矩陣與初等矩陣間的關(guān)系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會(huì)求簡(jiǎn)單的矩陣方程的解；11 知道矩陣的分塊初等變換，并會(huì)利用這一方法解決簡(jiǎn)單的矩陣問(wèn)題。四 向量空間1 知道向量空間、子空間的概念，會(huì)判斷向兩空間的子集是否構(gòu)成子空間；2 知道向量空間的基及維數(shù)的概念，會(huì)求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數(shù)；3 知道坐標(biāo)變換公式，會(huì)求兩組基間的過(guò)渡矩陣；4 理解向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性的概念，了解向量?jī)?nèi)積的基本性質(zhì)；5 理解向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；6 理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質(zhì)。五 相似矩陣和矩陣的特征值、特征向

8、量1 理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握矩陣的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的求法；2 熟練掌握特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的性質(zhì)；3 了解矩陣的跡的概念，了解矩陣的跡、行列式與其特征值間的關(guān)系；4 理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；5 熟練掌握矩陣相似于對(duì)角陣的充要條件，并熟練掌握相應(yīng)的對(duì)角陣及相似變換矩陣的求法；6 熟練掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)，熟練掌握求正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化成對(duì)角陣的方法。六 二次型與二次曲面1 理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟練掌握二次型的矩陣的求法；2 理解可逆線性變換及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念，了解二次型的規(guī)范形的概念；3 理解矩陣間的合同關(guān)系的概念

9、；4 理解二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形與二次型的矩陣的特征值的關(guān)系，熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；5 理解慣性定理的結(jié)論及其幾何含義，掌握判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的方法；6 理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是否正定的方法；7 熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋轉(zhuǎn)面、錐面等重要曲面的幾何特征以及它們的方程的特點(diǎn)；8 知道二次曲線的參數(shù)方程；9 熟悉二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的幾何特征；10 掌握二次曲面的交線以及這些交線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程的求法；11 掌握一些簡(jiǎn)單的幾何圖形的草圖的作法。注：對(duì)于概念與結(jié)論分知道、了解、

10、理解三個(gè)層次，對(duì)方法分會(huì)、掌握、熟練掌握三個(gè)層次。線性代數(shù)教學(xué)大綱32學(xué)時(shí)本課程是以矩陣為主要工具研究數(shù)量間的線性關(guān)系的基礎(chǔ)理論課程，也是本科階段關(guān)于離散量數(shù)學(xué)的最重要的課程。本課程的目的是使學(xué)生熟悉線性代數(shù)的基本概念，掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法，提高其抽象思維、邏輯思維的能力，為用線性代數(shù)的理論解決實(shí)際問(wèn)題打下基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容和基本要求一 行列式1 理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計(jì)算；2 知道全排列及全排列的逆序數(shù)的定義，會(huì)計(jì)算排列的逆序數(shù)，知道對(duì)換及對(duì)換對(duì)于排列的奇偶性的影響；3 了解階行列式的定義，會(huì)用行列式的定義計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式；4 掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握行列式按

11、行、列展開(kāi)公式，了解行列式的乘法定理；5 掌握不很復(fù)雜的低階行列式及簡(jiǎn)單的高階行列式的計(jì)算；6 理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法。二 矩陣1 理解矩陣的概念；2 理解矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算及矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練掌握上述運(yùn)算；3 理解零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角陣、三角陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義及其運(yùn)算性質(zhì)； 4 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質(zhì)；5 了解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質(zhì)，掌握利用伴隨矩陣計(jì)算矩陣的逆矩陣；6 了解分塊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，掌握簡(jiǎn)單的分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。三 矩陣的初等變換與Gau

12、ss消元法1 理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關(guān)系，理解矩陣的初等變換及矩陣的等價(jià)關(guān)系的概念；2 了解矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念，理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關(guān)系；3 了解可逆矩陣與初等矩陣間的關(guān)系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會(huì)求簡(jiǎn)單的矩陣方程的解；4 理解矩陣的秩的概念，熟練掌握矩陣的秩的求法，理解矩陣運(yùn)算前后的秩之間的關(guān)系；5 熟練掌握用矩陣的秩判斷線性方程組的相容性及討論解的情況的方法。四 向量組的線性相關(guān)性1 理解向量的概念，理解線性組合和線性表示的概念；2 理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念以及有關(guān)性質(zhì)，掌握向量組的線性相關(guān)性的判別方法；3 理解向量組的秩的概念，理解

13、向量組的秩與矩陣的秩間的關(guān)系，熟練掌握向量組的秩的性質(zhì)；4 理解向量組的最大線性無(wú)關(guān)組的概念，理解向量組的最大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩間的關(guān)系，會(huì)求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組；5 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法；6 理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達(dá)式的求法；7 知道向量空間、子空間、向量空間的基及維數(shù)的概念，會(huì)判斷向兩空間的子集是否構(gòu)成子空間，會(huì)求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數(shù)；8 知道坐標(biāo)變換公式，會(huì)求

14、兩組基間的過(guò)渡矩陣。五 相似矩陣和二次型1 理解向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性的概念，了解向量?jī)?nèi)積的基本性質(zhì)；2 理解向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；3 理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質(zhì)；4 理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握矩陣的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的求法，理解特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的性質(zhì)；5 理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；6 熟練掌握矩陣相似于對(duì)角陣的充要條件，并熟練掌握相應(yīng)的對(duì)角陣及相似變換矩陣的求法；7 熟練掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)，熟練掌握求正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化成對(duì)角陣的方法；8 理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟

15、練掌握二次型的矩陣的求法；9 理解可逆線性變換及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念，了解二次型的規(guī)范形的概念；10 理解矩陣間的合同關(guān)系的概念；11 理解二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形與二次型的矩陣的特征值的關(guān)系，熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；12 理解慣性定理的結(jié)論，掌握判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的方法；13 理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是否正定的方法。注：對(duì)于概念與結(jié)論分知道、了解、理解三個(gè)層次，對(duì)方法分會(huì)、掌握、熟練掌握三個(gè)層次。幾何與代數(shù)教學(xué)大綱（總學(xué)分：4；總上課學(xué)時(shí)：64；上機(jī)時(shí)數(shù)：0）一 課程的性質(zhì)與目的 本課程是工科電類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生本

16、科階段關(guān)于幾何及離散量數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。本課程的目的是使學(xué)生熟悉空間解析幾何與線性代數(shù)基本概念，掌握用坐標(biāo)及向量的方法討論幾何圖形的方法，熟悉空間中簡(jiǎn)單的幾何圖形的方程及其特點(diǎn)，掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法，熟悉矩陣運(yùn)算的基本規(guī)律和基本技巧，熟悉矩陣在等價(jià)關(guān)系、相似關(guān)系、合同關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)形，提高其空間想象能力、抽象思維和邏輯思維的能力，為后繼課程的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，并為用線性代數(shù)的理論解決實(shí)際問(wèn)題打下基礎(chǔ)。二 課程內(nèi)容的教學(xué)要求1向量代數(shù) 平面與直線（1） 理解幾何向量的概念及其加法、數(shù)乘運(yùn)算，熟悉運(yùn)算規(guī)律，了解兩個(gè)向量共線和三個(gè)向量共面的充分必要條件；（2） 理解空間直角坐標(biāo)系的概念，

17、理解仿射坐標(biāo)系的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示；（3） 理解向量的數(shù)量積、向量積和混合積的概念，理解它們的幾何意義，了解相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握利用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算的方法；（4） 理解平面的法向量概念，熟練掌握平面的方程的確定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；（5） 理解直線的方向向量的概念，熟練掌握直線的對(duì)稱(chēng)方程、一般方程及參數(shù)方程的確定方法；（6） 了解直線、平面間的夾角的定義，了解點(diǎn)與直線、平面間的距離的定義，并掌握相關(guān)的計(jì)算；（7） 了解平面束的概念，并會(huì)用平面束處理相關(guān)幾何問(wèn)題。2矩陣和行列式（1） 理解矩陣和維向量的概念；（2） 理解矩陣和向量的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算及矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，

18、熟練掌握上述運(yùn)算；（3） 理解零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角陣、三角陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義及其運(yùn)算性質(zhì)；（4） 理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計(jì)算；（5） 知道全排列及全排列的逆序數(shù)的定義，會(huì)計(jì)算排列的逆序數(shù)，知道對(duì)換及對(duì)換對(duì)于排列的奇偶性的影響；（6） 了解階行列式的定義，會(huì)用行列式的定義計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式；（7） 掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握行列式按行、列展開(kāi)公式，了解行列式的乘法定理；（8） 掌握利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的方法；（9） 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質(zhì)；（10） 理解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質(zhì)，掌握利用伴隨

19、矩陣計(jì)算矩陣的逆矩陣；（11） 理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法；（12） 掌握分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則，掌握典型的分塊方法。3矩陣的初等變換與Gauss消元法（1） 理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關(guān)系，掌握求解線性方程組的Gauss消元法；（2） 理解向量組的線性組合和線性表示的概念及相關(guān)的性質(zhì)，掌握相關(guān)計(jì)算；（3） 理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念及有關(guān)性質(zhì)，掌握向量組的線性相關(guān)性的判別方法；（4） 理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和秩的概念，理解向量組的秩的性質(zhì)，熟練掌握向量組的秩的計(jì)算，并會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；（5） 理解矩陣的秩的概念，理解向量組

20、的秩與矩陣的秩間的關(guān)系，熟練掌握矩陣的秩的計(jì)算；（6） 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法；（7） 理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達(dá)式的求法；（8） 理解矩陣的初等變換及矩陣的等價(jià)關(guān)系的概念；了解矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念，并會(huì)用矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形討論矩陣的性質(zhì)；（9） 理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關(guān)系；（10） 了解可逆矩陣與初等矩陣間的關(guān)系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法；（11） 掌握求簡(jiǎn)單的矩陣方程的解的方法；（12） 了解矩陣的

21、分塊初等變換，會(huì)利用這一方法解決典型的矩陣問(wèn)題。4向量空間（1） 理解向量空間、子空間的概念，會(huì)判斷向兩空間的子集是否構(gòu)成子空間， （2） 理解向量空間的基及維數(shù)的概念，會(huì)求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數(shù)；（3） 知道坐標(biāo)變換公式，會(huì)求兩組基間的過(guò)渡矩陣；（4） 理解向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性的概念，了解向量?jī)?nèi)積的基本性質(zhì)；（5） 理解向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；（6） 理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質(zhì)。5相似矩陣和矩陣的特征值、特征向量（1） 理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的求法

22、；（2） 熟練掌握矩陣的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的性質(zhì)；（3） 理解矩陣的跡的概念，理解矩陣的跡、行列式與其特征值間的關(guān)系；（4） 理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；（5） 理解Hamilton-Cayley定理及其意義，會(huì)利用Hamilton-Cayley定理討論矩陣的性質(zhì)，做一些重要的計(jì)算；（6） 理解矩陣的最小多項(xiàng)式的概念，理解矩陣的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式的關(guān)系；（7） 理解矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的概念，知道Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性定理，掌握J(rèn)ordan標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定理；（8） 熟練掌握矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，會(huì)計(jì)算相應(yīng)的相似變換矩陣；（9） 掌握利用矩陣的Jo

23、rdan標(biāo)準(zhǔn)形討論矩陣性質(zhì)的方法；（10） 熟練掌握矩陣相似于對(duì)角陣的各種充要條件，并熟練掌握相應(yīng)的對(duì)角陣及相似變換矩陣的求法；（11） 熟練掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)，熟練掌握求正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化成對(duì)角陣的方法。6二次型與二次曲面（1） 理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟練掌握二次型的矩陣的求法；（2） 理解可逆線性變換及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念，了解二次型的規(guī)范形的概念；（3） 理解矩陣間的合同關(guān)系的概念；（4） 理解二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形與二次型的矩陣的特征值的關(guān)系，熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；（5） 理解慣性定理的結(jié)論及其幾何含義，

24、掌握判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的方法；（6） 理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是否正定的方法；（7） 熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋轉(zhuǎn)面、錐面等重要曲面的幾何特征以及它們的方程的特點(diǎn)；（8） 知道二次曲線的參數(shù)方程；（9） 熟悉二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形特征；（10） 掌握二次曲面的交線以及這些交線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程的求法；（11） 掌握一些簡(jiǎn)單的幾何圖形的草圖的作法。三 能力培養(yǎng)要求1 邏輯思維能力的培養(yǎng)：主要根據(jù)線性代數(shù)理論特有的邏輯體系，尤其是通過(guò)向量組的線性相關(guān)性、矩陣的等價(jià)、相似、相合關(guān)系等內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。2 抽象思維能力的培養(yǎng)：在要求學(xué)

25、生理解線性代數(shù)特有的思維方式的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)如何從具體的實(shí)際問(wèn)題以及直觀的幾何問(wèn)題抽象、概括、提煉出代數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而尋求適用于解決更一般問(wèn)題的代數(shù)方法。3 代數(shù)運(yùn)算能力：著重培養(yǎng)學(xué)生的矩陣運(yùn)算能力。4 空間想象能力的培養(yǎng)：利用幾何空間中向量之間的線性關(guān)系以及一些典型的幾何圖形的特點(diǎn)，結(jié)合線性代數(shù)的方法，注重對(duì)學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，使學(xué)生具備初步的根據(jù)解析表達(dá)式想象并作出簡(jiǎn)單空間圖形的能力。 5 敘述表達(dá)能力的培養(yǎng)：注重培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)的語(yǔ)言表達(dá)自己的思想、描述具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，并特別要注意表達(dá)方式的條理性、邏輯性和準(zhǔn)確性。6 自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)：利用相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)的思維特點(diǎn)

26、，體會(huì)代數(shù)的思維方式，增強(qiáng)自我學(xué)習(xí)的能力。7 實(shí)踐創(chuàng)新能力的培養(yǎng)：培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法思考、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。注：對(duì)于概念與結(jié)論分知道、了解、理解三個(gè)層次，對(duì)方法分會(huì)、掌握、熟練掌握三個(gè)層次。01-02學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷一（30%）填空題：1 設(shè)，則 ；= ； ；2 設(shè)矩陣，則行列式 ；3 若向量組線性無(wú)關(guān)，則當(dāng)參數(shù) 時(shí)，也線性無(wú)關(guān)；4 矩陣的伴隨矩陣=；5 設(shè)矩陣及均可逆，則，且 ；6 與向量，均正交的單位向量為 ；7 四點(diǎn)共面的充要條件為 ；8 設(shè)實(shí)二次型，則當(dāng)滿足條件 時(shí)，是橢球面；當(dāng)滿足條件 時(shí)，是柱面。二（8%）記為由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面,為以與平面的交線為準(zhǔn)

27、線，母線平行于-軸的柱面。試給出曲面，并畫(huà)出所截有界部分在平面上的投影區(qū)域的草圖（應(yīng)標(biāo)明區(qū)域邊界與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）。三（8%）求經(jīng)過(guò)直線且與平面垂直的平面方程.四（12%）求矩陣方程的解，其中，.五（12%）設(shè)線性方程組1 問(wèn)：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？2 當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解。六（12%）設(shè)矩陣，已知。1 求參數(shù)的值；2 求一3 問(wèn)：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？七（12%）設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣1 求參數(shù)；2 求一正交陣八（6%）已知階方陣相似于對(duì)角陣，并且，的特征向量均是矩陣的特征向量。證明：。02-03學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷一 填空題、單

28、選題（每小題分，共分）1；2；3若是正交矩陣，則行列式 ；4空間四點(diǎn)，共面的充要條件是；5點(diǎn)到直線的距離為；6若階方陣的秩為，則伴隨矩陣的秩為；7若可逆矩陣使，則方陣的特征多項(xiàng)式為 ；8若階方陣使都不可逆，則與對(duì)角陣 相似（其中，是階單位陣）；9若與對(duì)角陣相合，則 ；10設(shè)，其中列向量線性無(wú)關(guān)，則齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是；11設(shè)都是階方陣，則（） （）5；（）4；（）3；（）212設(shè)階矩陣滿足，則以下結(jié)論中未必成立的是（）（）可逆，且；（）或；（）若2不是的特征值，則；（）或。二 計(jì)算題（每小題8分，共24分）1314求直線在平面上的垂直投影直線方程15設(shè)，其中，求三 計(jì)算題、解答題（三

29、小題共分）16設(shè)向量組是生成的空間已知，（） 求；（） 求的一個(gè)基，并求在此基下的坐標(biāo)；（） 求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基17用正交變換化簡(jiǎn)二次曲面方程求出正交變換和標(biāo)準(zhǔn)形）并指出曲面類(lèi)型18設(shè)為由平面中的直線，直線及拋物線圍成的平面區(qū)域?qū)⒗@軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體（）畫(huà)出平面區(qū)域的圖形；（）分別寫(xiě)出圍成的兩塊曲面的方程；（）求的交線在平面上的投影曲線的方程；（）畫(huà)出和，的圖形四 證明題、解答題（每小題分，共分）19設(shè)是線性方程組的一個(gè)解，是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系證明：線性無(wú)關(guān)20設(shè)是維非零實(shí)列向量，又（）求的秩；（）求的全部特征值；（）問(wèn)是否與對(duì)角陣相似？（）求0-0學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷一 （24%

30、）填空題1若向量，共面，則參數(shù)滿足 .2過(guò)點(diǎn)且包含軸的平面方程為 .3已知矩陣滿足，則的逆矩陣= .4設(shè)矩陣，則行列式 .5設(shè)向量組，則當(dāng) 時(shí)，線性相關(guān).6向量空間中向量在的基，下的坐標(biāo)為 .7滿足下述三個(gè)條件的一個(gè)向量組為 ，這三個(gè)條件是：它是線性無(wú)關(guān)的；其中的每個(gè)向量均與向量正交；凡與正交的向量均可由它們線性表示.8已知矩陣，若對(duì)任意2維列向量有，則滿足條件 .二 （12%）假設(shè)矩陣滿足，其中.求.三 （15%）設(shè)向量，. 問(wèn)：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)1能用唯一線性表示？2不能用線性表示？3能用線性表示，但表示法不唯一？求這時(shí)用線性表示的一般表達(dá)式.四 （8%）設(shè)實(shí)二次型 問(wèn)：實(shí)數(shù)滿足什么條件

31、時(shí)，方程表示直角坐標(biāo)系中的橢球面？五 （12%）設(shè)3階方陣的特征值為，矩陣。1 求參數(shù)的值，使得矩陣不可逆；2 問(wèn)：矩陣是否相似于對(duì)角陣？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.六 （12%）已知二次曲面的方程為：，的方程為：。1 問(wèn)：，分別是哪種類(lèi)型的二次曲面？2 求與的交線在平面上的投影曲線方程；3 畫(huà)出由及所圍成的立體的草圖.七 （10%）假設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的秩為2，并且，其中，。求的所有特征值及相應(yīng)的特征向量；并求矩陣及.八 （7%）證明題：1 設(shè)是齊次線性方程組的線性無(wú)關(guān)的解向量，不是其解向量。證明：也線性無(wú)關(guān). 2 設(shè)是階正定矩陣，證明：.04-05學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷一、 (24%)填空題1

32、以，為頂點(diǎn)的三角形的面積為 ；2 設(shè)3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；3 若向量，共面，則參數(shù) ；4 若為階方陣，則方陣的逆矩陣 ；5 已知向量是矩陣的特征向量，則參數(shù) ，相應(yīng)的特征值等于 ； 6 假設(shè)矩陣，則在實(shí)矩陣中，與相抵的有 ；與相似的有 ；與相合的有 二、 （8%）計(jì)算行列式三、 （10%）假設(shè)，求矩陣方程的解四、 （14%）假設(shè)矩陣，1 已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量試確定這時(shí)參數(shù)的值，并求這時(shí)的一個(gè)基礎(chǔ)解系2 若在非齊次線性方程組的解集中，存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，但不存在更多的線性無(wú)關(guān)的解向量，試確定這時(shí)參數(shù)及的值，并求的通解五、 （10%）已知直線過(guò)

33、點(diǎn)，與平面平行，且與直線 相交。求直線的方向向量，并寫(xiě)出直線的方程六、 （10%）假設(shè)二次曲面的方程為：；平面的方程為：1. 與的交線向平面作投影所得的投影曲線的方程為 ；2. 該投影曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 ；3. 在坐標(biāo)系中畫(huà)出投影曲線的草圖（請(qǐng)給坐標(biāo)軸標(biāo)上名稱(chēng)）；4. 在坐標(biāo)系中畫(huà)出與所圍成的立體的草圖（請(qǐng)給坐標(biāo)軸標(biāo)上名稱(chēng)）七、 （14%）設(shè)二次型1 試就參數(shù)不同的取值范圍，討論二次曲面的類(lèi)型；2 假設(shè)若經(jīng)正交變換，可以化成標(biāo)準(zhǔn)形，求參數(shù)及一個(gè)合適的正交矩陣八、 （10%）證明題1 假設(shè)維向量，。若線性無(wú)關(guān)，證明：線性無(wú)關(guān)，并且，行列式。2 假設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，并且，的特征值

34、均大于，的特征值均大于，證明：的特征值均大于。05-06學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)期終考試試卷一. (24%)填空題1. 直角坐標(biāo)系中向量與的向量積為 ；2. 過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面的方程為 ；3. 設(shè)，則=；4. 若矩陣的秩為, 是線性方程組的解向量 ,并且 , , 則線性方程組的通解是 ；5. 設(shè)是維列向量，則階方陣的行列式的值為 ；6. 設(shè)是矩陣，若矩陣均不可逆，則行列式 ；7. 若3是矩陣的特征值,是的伴隨矩陣，則矩陣的一特征值為 ；8. 若表示一單葉雙曲面，則滿足條件 。二（12%）設(shè)，求以及矩陣，使。式中的均指相應(yīng)的零矩陣。三（10%）設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān) , 問(wèn): 參數(shù)滿足什么條件時(shí),

35、 向量組 ， ，也線性無(wú)關(guān)？四（14%）已知空間直角坐標(biāo)系中三平面的方程分別為：, , 1. 問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)這三個(gè)平面交于一點(diǎn)？交于一直線？沒(méi)有公共交點(diǎn)？2. 當(dāng)它們交于一直線時(shí)，求直線的方程。五（12%）已知矩陣有一個(gè)二重特征值。1. 試求參數(shù)的值，并討論矩陣是否相似于對(duì)角陣。2. 如果相似于對(duì)角陣，求可逆矩陣，使得是對(duì)角陣。六（10%）假設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。證明：分塊矩陣是正定矩陣的充分必要條件是都是正定矩陣。七（8%）由與平面及點(diǎn)等距離運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)所生成的曲面記為，將平面上曲線以軸為旋轉(zhuǎn)軸所生成的旋轉(zhuǎn)曲面記為。則：1.的方程是： ；的方程是： ； 2. 與的交線在平面上的投影曲線方程是： ；3

36、. 在坐標(biāo)系中畫(huà)出由這兩個(gè)曲面所圍成的有限立體的簡(jiǎn)圖 八（10%）證明題：1. 若實(shí)矩陣的行列式，證明：必定相似于對(duì)角陣2. 假設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為，是的屬于特征值單位特征向量，矩陣證明：的特征值為06-07第二學(xué)期幾何代數(shù)期終考試試卷一 (30%)填空題（表示單位矩陣）1. 向量共面時(shí)參數(shù)的值為 ，此時(shí)，與這三個(gè)向量都正交的一個(gè)單位向量是 ；2. 向量組的秩等于 ，這個(gè)向量組的一極大線性無(wú)關(guān)組是 ；3. 假設(shè)矩陣，若是的特征值，則參數(shù)的值為 ；4. 二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為 ，下列圖形中，能表示二次曲面的圖形的標(biāo)號(hào)為 ：（A），（B） ， （C） ， （D） ； 5. 由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所

37、產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 ；6. 若向量組與向量組等價(jià)，則參數(shù)必定滿足條件 ；7. 若與相似，則 。二 （10%）已知向量組線性無(wú)關(guān)，問(wèn)：當(dāng)參數(shù)取何值時(shí)，向量組也線性無(wú)關(guān)？三 （15%）假設(shè)是參數(shù)，空間直角坐標(biāo)系中平面的方程分別如下：， ， （1） 問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí), 這三個(gè)平面的公共點(diǎn)構(gòu)成一直線？（2） 當(dāng)它們的公共點(diǎn)構(gòu)成一直線時(shí)，求直線的方向向量，并給出該直線的對(duì)稱(chēng)方程。四 （15%）設(shè)，并且，求及。五 （15%）已知二次型 。（1） 寫(xiě)出二次型的矩陣；（2） 求一個(gè)正交變換，把化為標(biāo)準(zhǔn)形, 并給出該標(biāo)準(zhǔn)形；（3） 假設(shè)，求的值 六 （15%）證明題：1. 已知矩陣，其中，。證明：不與任何對(duì)角陣

38、相似2. 假設(shè)矩陣的秩等于，并且非齊次線性方程組（）有解。證明： 有并且只有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量3. 若都是可逆的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且都是正定矩陣，證明：也是正定矩陣01-02學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一（33%）填空題（表示單位矩陣，表示零矩陣，指矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣）：1 設(shè)，則 ； ；2 設(shè)矩陣，則行列式 ；3 若向量組，則當(dāng)參數(shù) 時(shí)，線性相關(guān)；4 矩陣的伴隨矩陣=；5 設(shè)矩陣及均可逆，則 ；6 分塊矩陣的逆矩陣為；7 設(shè)矩陣。若齊次線性方程組的解空間是2維的，則齊次線性方程組的解空間是 維的；8 與向量，均正交的一個(gè)單位向量為 ；9 已知矩陣，則當(dāng)數(shù)滿足條件 時(shí)，是正定的；10 若n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩

39、陣滿足，且有兩個(gè)不同的特征值, 則當(dāng)參數(shù)滿足條件 時(shí)，矩陣是正定的；二（12%）求矩陣方程的解，其中，。三（12%）設(shè)3階方陣有特征值，是其相應(yīng)于特征值 的特征向量，是其相應(yīng)于特征值的特征向量。1. 求。2. 若3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值也是，證明：與必定相似。四（12%）設(shè)線性方程組1 問(wèn)：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？2 當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解（寫(xiě)成向量形式）。五（12%）矩陣。1. 求一2. 問(wèn)：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？六（12%）設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣1. 求參數(shù)；2. 求一正交矩陣七（7%）證明題：1 設(shè) 是矩陣的兩個(gè)互異的特征值，是的屬于的線性無(wú)關(guān)

40、的特征向量，是的屬于的特征向量。證明：線性無(wú)關(guān)。2 已知階方陣相似于對(duì)角陣，并且，矩陣的特征向量均是矩陣的特征向量（注：，的特征值未必相同）。證明03-04學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一 （24%）填空題：1 假設(shè)矩陣，則。2 假設(shè)向量組A：，則當(dāng)參數(shù)滿足條件 時(shí)，向量組A的秩為1； 時(shí)A的秩為2； 時(shí)A的秩為3。3 若向量是矩陣的特征向量，則。4 設(shè)矩陣，且，則參數(shù)滿足條件 。5 若矩陣與對(duì)角陣相似，則滿足條件 。6 若是正交矩陣，則滿足條件 。7 若對(duì)滿足條件的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣， 都是正定矩陣，則實(shí)數(shù)必定滿足條件 。二 （8%）求矩陣的行列式的值。三 （15%）已知矩陣，向量。1 若是線性方

41、程組的解，試求的值，并求這時(shí)的通解；2 若有無(wú)窮多組解，但不是的解，求的值。四 （15%）解矩陣方程 。其中，。五 （15%）設(shè)二次型1 寫(xiě)出二次型的矩陣；2 求一正交變換將化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形。六 （12%）設(shè)3階矩陣的特征值是（二重）和，且，是的相應(yīng)于特征值2的特征向量，是的相應(yīng)于特征值是4的特征向量。求矩陣及。七 （5%）已知矩陣，。問(wèn)：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，矩陣方程有解，但無(wú)解？八 （6%）證明題：1 已知向量組可以由線性表示。若向量組的秩為2，證明：線性無(wú)關(guān)。2 設(shè)2階方陣，且，。若不全為零，證明：不與任何對(duì)角陣相似。04-05學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一 （27%）

42、填空題1 若矩陣,，且，則的值分別為；2 設(shè)對(duì)任意列向量，則矩陣 ；3 設(shè)階方陣， 若的行列式 ，則矩陣的行列式 ；4 設(shè)為階可逆方陣，階矩陣的逆矩陣為 ；5 齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ；6 若二次型是正定的，則參數(shù)的取值范圍是；7 若矩陣是正交矩陣, 則參數(shù)的值分別為 ；8 假設(shè)階矩陣的特征值為。則行列式的值為 ；9 若實(shí)二次型的矩陣分別為，則的正慣性指數(shù)相同，負(fù)慣性指數(shù)也相同的充分必要條件是參數(shù)滿足 。二（14%）假設(shè)階矩陣滿足。1 證明矩陣及均可逆，并分別求及；2 證明：若，矩陣肯定不可逆。三（14%）假設(shè)矩陣，。已知線性方程組有無(wú)窮多組解。試求參數(shù)的值，并求方程組的通解（要求用的

43、一特解及相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示）。四（15%）已知矩陣相似于對(duì)角陣。1 求的值，并求的特征值及相應(yīng)的特征向量；2 求一可逆矩陣，使得為對(duì)角陣，并寫(xiě)出相應(yīng)的對(duì)角陣；3 問(wèn)：是否存在正交矩陣，使得為對(duì)角陣？試說(shuō)明你的理由。五（12%）已知矩陣，矩陣，求矩陣，使得。六（12%）假設(shè)3維向量；。已知向量組與向量組等價(jià)。1 求的秩及其一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，并求參數(shù)的值；2 令矩陣，求滿足的矩陣。七（6%）假設(shè)階矩陣滿足。1 證明：關(guān)于矩陣的秩有等式，并且相似于對(duì)角陣；2 若，試求行列式的值。05-06第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一 （30%）填空題（表示相應(yīng)的單位矩陣）1. 設(shè)3階矩陣的行列式

44、,矩陣， 則矩陣的行列式 ；2. 若矩陣滿足，則的逆矩陣 ；3. 若向量組的秩為2，則參數(shù)滿足條件 ；4. 假設(shè)3階矩陣的特征值為，矩陣，其中，是的伴隨矩陣，則的行列式 ；5. 若矩陣與矩陣相似，則 ； 6. 設(shè)是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相應(yīng)于某個(gè)非零二重特征值的特征向量。若不可逆，則的另一個(gè)特征值為 ，相應(yīng)的一個(gè)特征向量為 ；7. 已知3元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2, 并且，是的3個(gè)解向量,其中,則的通解是 ；8. 若4階方陣的秩都等于1，則矩陣的行列式 ；9. 若矩陣與矩陣合同，則參數(shù)滿足條件 。二 （10%）計(jì)算下述行列式的值：三 （15%）設(shè)線性方程組 。問(wèn)：當(dāng)參數(shù)取何值時(shí), 線性方程

45、組有唯一解？當(dāng)參數(shù)取何值時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多組解？當(dāng)線性方程組有無(wú)窮多組解時(shí)，求出其通解。四 （12%）假設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求。五 （10%）已知向量組線性無(wú)關(guān)，問(wèn)：參數(shù)滿足什么條件時(shí)，向量組線性相關(guān)？六 （15%）已知二次型 寫(xiě)出二次型的矩陣； 求一正交變換，將變成其標(biāo)準(zhǔn)形（并寫(xiě)出的相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形）； 求當(dāng)時(shí)的最大值。七 （8%）證明題：1. 設(shè)向量組中，線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，證明：能由線性表示。2. 設(shè)是階正定矩陣,證明：矩陣也是正定矩陣。06-07第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一、 (18%)填空題（表示單位矩陣）1. 假設(shè)，則 ；2. 矩陣的逆矩陣 ；3. 若矩陣的行列式

46、等于，矩陣，則矩陣的行列式 ；4. 齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是 ；5. 向量組，的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是 ；6. 若矩陣合同，則參數(shù)滿足條件 。二、 （12%）選擇題1. 假設(shè)是同階方陣，數(shù)，則正確的命題是（ ）（A）； （B）；（C） ； （D）。2. 假設(shè)矩陣，則不與相似的矩陣為（ ）（A）； （B）； （C）； （D）3. 假設(shè)都是非零矩陣且，則正確的命題是（ ） （A）的行向量組線性相關(guān)； （B）的行向量組線性相關(guān)； （C）的行向量組都線性相關(guān)； （D）的列向量組都線性相關(guān)。三、 （16%）設(shè)線性方程組 1. 參數(shù)取何值時(shí)，線性方程組有唯一解？取何值時(shí)，方程組沒(méi)有解？2. 當(dāng)取何值時(shí)

47、，方程組有無(wú)窮多組解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多組解時(shí)，求其通解。四、 （16%）設(shè)，并且，求及。五、 （14%）已知向量是矩陣的一個(gè)特征向量。1. 求參數(shù)的值，并求的相應(yīng)于特征向量的特征值；2. 問(wèn)：矩陣是否相似于對(duì)角陣？說(shuō)明你的理由。 六、 （14%）已知矩陣。求一正交矩陣使得為對(duì)角陣；七、 （10%）假設(shè)維實(shí)行向量，矩陣。1. 證明：是對(duì)稱(chēng)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)； 2. 當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得是正定矩陣。05-06學(xué)年第二學(xué)期幾何與代數(shù)補(bǔ)考試卷一(30%)填空題1. 設(shè)3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；2. 直角坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與直線垂直的平面的方程為 ；3. 坐標(biāo)系中點(diǎn)，共線的充分必要條件是參數(shù)滿足條件 ；4. 假設(shè)，則= ；= ；5. 若為階方陣，則方陣的逆矩陣 ；6. 已知矩陣，若不可逆，則參數(shù)滿足條件 ，這時(shí)，的秩為 ； 7. 假設(shè)階方陣滿足，但，則可以肯定，的一個(gè)特征值等于