離散型隨機變量的均值與方差詳解教師

1、離散型隨機變量的均值與方差1、 考點、熱點回顧【學習目標】1. 理解取有限個值的離散型隨機變量的均值或期望的概念，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實際問題；2. 理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差，并能解決一些實際問題；【要點梳理】要點一、離散型隨機變量的期望1.定義：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為P則稱 為的均值或數(shù)學期望，簡稱期望要點詮釋：（1）均值（期望）是隨機變量的一個重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值離散型隨機變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學期望又

2、稱為平均數(shù)、均值。（3）隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位2性質(zhì)：；若(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，有；的推導(dǎo)過程如下：的分布列為P于是 )。要點二：離散型隨機變量的方差與標準差1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差。2.離散型隨機變量的方差：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為P則稱稱為隨機變量的方差，式中的是隨機變量的期望的算術(shù)平方根叫做隨機變量的標準差，記作要點詮釋：隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動

3、、集中與離散的程度；方差（標準差）越小，隨機變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛。3.期望和方差的關(guān)系：4.方差的性質(zhì)：若(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，；要點三：常見分布的期望與方差1、二點分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布，則期望方差證明：,2、二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，即則期望方差期望公式證明：，又，3、幾何分布：獨立重復(fù)試驗中，若事件在每一次試驗中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時所做的試驗次數(shù)是隨機變量，且，稱離散型隨機變量服從幾何分布，記作：。若離散型隨機變量服從幾何分布，且則期望方

4、差要點詮釋：隨機變量是否服從二項分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個角度去驗證。4、超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則期望要點四：離散型隨機變量的期望與方差的求法及應(yīng)用1、求離散型隨機變量的期望、方差、標準差的基本步驟：理解的意義，寫出可能取的全部值；求取各個值的概率，寫出分布列；P根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出、：.注意：常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計算即可2.離散型隨機變量的期望與方差的實際意義及應(yīng)用 離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平； 隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)

5、波動越大。對于兩個隨機變量和，當需要了解他們的平均水平時，可比較和的大小。和相等或很接近，當需要進一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時，比較和，方差值大時，則表明比較離散，反之，則表明比較集中品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準確與否、武器的性能等很多指標都與這兩個特征數(shù)（數(shù)學期望、方差）有關(guān)二、典型例題類型一、離散型隨機變量的期望例1 已知隨機變量X的分布列為：X21012Pm 試求：（1）E（X）；（2）若y=2X3，求E（Y） 【思路點撥】 分布列中含有字母m，應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出m的值，再利用均值的定義求解；對于（2），可直接套用公式，也可以先寫出Y的分布列，再求E（Y）【解析】（1）

6、由隨機變量分布列的性質(zhì)，得，。（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得 解法二：由于Y=2X3，所以y的分布如下：X75311P ?！究偨Y(jié)升華】 求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，對于aX+b型隨機變量的期望，可以利用期望的性質(zhì)求解，當然也可以求出aX+b的分布列，再用定義求解舉一反三：【變式1】已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求.【答案】?！咀兪?】已知隨機變量的分布列為210123Pmn其中m，n0,1)，且E()，則m，n的值分別為_【答案】，由p1p2

7、p61，得mn，由E()，得m，m，n.【變式3】隨機變量的分布列為：024P0.40.30.3則E(54)等于()A13 B11 C2.2 D2.3【答案】A由已知得E()0×0.42×0.34×0.31.8，E(54)5E()45×1.8413.【變式4】設(shè)離散型隨機變量的可能取值為1，2，3，4，且（），則 ；【答案】；由分布列的概率和為1，有，又，即，解得，故。例2. 袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球記0分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用表示得分數(shù)。求：的概率分布列；的數(shù)學期望?！舅悸伏c撥】本題求

8、取各個值的概率，其類型顯然是古典概型?！窘馕觥恳李}意的取值為0、1、2、3、4=0時，取得2黑球，=1時，取得1黑球1白球， ，=2時，取2白球或1紅球1黑球，=3時，取1白球1紅球，=4時，取2紅球，分布列為01234p期望. 【總結(jié)升華】求離散型隨機變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表舉一反三：【變式1】 隨機的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)的數(shù)學期望【答案】拋擲骰子所得點數(shù)的概率分布為123456P所以 1×2×3×4×5×6×(123456)×3.5拋擲骰子所得點數(shù)的數(shù)學期望，就是的所有可能取值的平均值【變式2】甲、乙、

9、丙、丁獨立地破譯一個密碼，其中甲的成功率是，乙、丙、丁的成功率都是 （1）若破譯密碼成功的人數(shù)為X，求X的概率分布； （2）求破譯密碼成功人數(shù)的數(shù)學期望【答案】（1）破譯密碼成功的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4， 則X的概率分布表為X01234P（2）由（1）知，即破譯密碼成功的人數(shù)的數(shù)學期望為1.5【變式3】交5元錢，可以參加一次抽獎，已知一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標有1元錢，2個標有5元錢，抽獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和求抽獎?wù)攉@利的數(shù)學期望 【答案】 抽到的2個球上的錢數(shù)之和是個隨機變量，其中取每一個值時所代表的隨機事件的概率是容易獲得的，本題

10、的目標是求參加抽獎的人獲利的數(shù)學期望，由與的關(guān)系為=5，利用公式E（）=E（）5可獲解答 設(shè)為抽到的2球錢數(shù)之和，則的取值如下： =2（抽到2個1元），=6（抽到1個1元，1個5元），=10（抽到2個5元）所以，由題意得， 又設(shè)為抽獎?wù)攉@利的可能值，則=5，所以抽獎?wù)攉@利的期望為 例3 甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為，記甲擊中目標的次數(shù)為X，乙擊中目標的次數(shù)為Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的數(shù)學期望【思路點撥】 甲、乙擊中目標的次數(shù)均服從二項分布【解析】（1），。 所以X的概率分布如下表：X0123P（2）由（1）知，或由題意，。，?！究?/p>

11、結(jié)升華】 在確定隨機變量服從特殊分布以后，可直接運用公式求其均值舉一反三：【變式1】 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出20件商品，求抽出次品數(shù)的期望?！敬鸢浮吭O(shè)抽出次品數(shù)為，因為被抽商品數(shù)量相當大，抽20件商品可以看作20次獨立重復(fù)試驗，所以,所以【變式2】 一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分 學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望。 【答案】設(shè)學生甲和乙在這次英語測驗中正

12、確答案的選擇題個數(shù)分別是，則 B（20,0.9）,由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5 所以，他們在測驗中的成績的期望分別是： 類型二、離散型隨機變量的方差例4已知離散型隨機變量的概率分布為1234567P離散型隨機變量的概率分布為3738394414243P求這兩個隨機變量期望、均方差與標準差【解析】；=0.04, .【總結(jié)升華】本題中的和都以相等的概率取各個不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中，方差比較清楚地指出了比取值更集中2，=0. 2，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差 舉一反三：【變式1】已知隨機變量的分布列如下表：101P （1）求E（）

13、，D（），； （2）設(shè)=2+3，求E（），D（）【答案】（1）；，。（2），?！咀兪?】 設(shè)隨機變量X的概率分布為X12nP 求D(X）。 【答案】 本題考查方差的求法可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定義求之也可直接利用公式D（X）=E（X2）E（X）2來解 解法一：，。解法二：由解法一可求得。又，。例5.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出20件商品，求抽出次品數(shù)的期望與方差?！舅悸伏c撥】由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響非常小，所以可以認為各次抽查的結(jié)果是彼此獨立的，可以看作20次獨立重復(fù)試驗利用二項分布的公式解答?！窘馕觥吭O(shè)抽

14、出次品數(shù)為，因為被抽商品數(shù)量相當大，抽20件商品可以看作20次獨立重復(fù)試驗，所以,所以【總結(jié)升華】1. 解答本題的關(guān)鍵是理解清楚：抽20件商品可以看作20次獨立重復(fù)試驗，即，從而可用公式：，直接進行計算；2.以下抽查問題可以看作獨立重復(fù)試驗：（1）涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題；（2）如果抽樣采用有放回地從小數(shù)量產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件；但從小數(shù)量產(chǎn)品中任意抽取產(chǎn)品（即無放回地抽?。┟看纬闃雍蟠纹仿蕦l(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的，不能看作獨立重復(fù)試驗。舉一反三：【變式】若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中

15、有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！敬鸢浮坑深}知一次取出二等品的概率為，有放回地抽取3件，可以看作3次獨立重復(fù)試驗，即取出二等品的件數(shù)，所以，.【高清課堂：離散型隨機變量的均值與方差 408737 例題1】【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為X,求X的分布列,期望和方差.【答案】類型四、離散型隨機變量的期望和方差的應(yīng)用例6 甲、乙兩種水稻在相同條件下各種植100畝，收獲的情況如下：甲：畝產(chǎn)量300320330340畝數(shù)20254015 乙：畝產(chǎn)量310320330340畝數(shù)30204010 試評價哪種水稻的質(zhì)量較好 【思路點撥】 本題是期望與方

16、差的綜合應(yīng)用問題要比較甲、乙兩種水稻的質(zhì)量，需求出其平均畝產(chǎn)量并對其穩(wěn)定情況進行比較題中只給出了畝產(chǎn)量與畝數(shù)關(guān)系，所以應(yīng)先列出甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量的概率分布，再求其期望與方差 【解析】 設(shè)甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量分別為X和Y則，。且，。，即E（X）=E（Y），這表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相同，進一步求各自的方差，得，。 即V（X）V（Y），這說明乙種水稻的產(chǎn)量較為穩(wěn)定，因此乙種水稻質(zhì)量較好【總結(jié)升華】 期望（均值）僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平但如果兩個隨機變量的均值相等，還需比較其方差，方差大說明隨機變量的取值較分散（波動大），方差小說明取值較集中、穩(wěn)定當我們希望實際的平均水平比較理想時，則先

17、求它們的均值，但不要誤認為均值相等時，它們都一樣好，這時，還應(yīng)看它們相對于均值的偏離程度，也就是看哪一個相對穩(wěn)定（即比較方差的大?。鄬Ψ€(wěn)定者就更好如果我們希望比較穩(wěn)定時，這時應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否接近即可舉一反三：【變式1】甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的概率分布分別為甲保護區(qū)：X10123P0.30.30.20.2乙保護區(qū)：X2012P0.10.50.4 試評定這兩個保護區(qū)的管理水平【答案】甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)X1的數(shù)學期望和方差分別為：E（X1）=0×0.3+1×0.3+

18、2×0.2+3×0.2=1.3；D（X1）=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21 乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)置的數(shù)學期望和方差分別為： E（X2）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3； D（X2）=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41因為E（X1）=E（X2），D（X1）D（X2），所以兩個保護區(qū)內(nèi)每季度平均發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)是相同的，但乙保護區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)

19、更集中和穩(wěn)定，而甲保護區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)相對分散，波動較大【變式2】 根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元為保護設(shè)備，有以下3種方案： 方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元： 方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能防小洪水； 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水 試比較哪一種方案好【答案】 要比較哪一種方案好，只要把三種方案的損失的數(shù)學期望求出，哪一個小，哪一個方案就好用X1、X2、X3分別表示三種方案的損失 采用方案1：無論有無洪水，都損失3800

20、元，即X=3800 采用方案2：遇到大洪水時，損失2000+60000=62000（元）；沒有大洪水時，損失2000元，即 同樣，采用方案3：有 于是，E（X1）=3800， E（X2）=62000×P (X2=62000)+2000×P (X2=2000)=62000×0.01+2000×(10.01)=2600， E（X3）=60000×P (X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P (X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100采用方案2的平均損失最小，所以

21、方案2好【高清課堂：離散型隨機變量的均值與方差 408737 例題4】【變式3】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學期望；&%中國教育出版網(wǎng)*#（）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率

22、視為概率）【解析】（1）由已知,得所以該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量隨機樣本，將頻率視為概率得的分布為 X11.522.53PX的數(shù)學期望為 .（）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時間，則 .由于顧客的結(jié)算相互獨立，且的分布列都與X的分布列相同，所以 .故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.三、課堂練習一、選擇題1設(shè)隨機變量X的分布列如下表所示且E(X)1.6，則ab()X0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.1 C0.2 D0.42已知的分布列為01P

23、pq其中P(0，1)，則（ ） （A） E=p，D=pq （B） E=p，D=p2 （C） E=q，D=q2 （D） E=l一p，D=pp23已知隨機變量X的分布列為：P(Xk)，k1、2、3，則D(3X5)()A6 B9C3 D44一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲得()A36元 B37元C38元 D39元5一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則D等于

24、()A0.2 B0.8 C0.196 D0.8046甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，X表示甲機床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙機床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考查，X、Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷()A甲比乙質(zhì)量好 B乙比甲質(zhì)量好C甲與乙質(zhì)量相同 D無法判定7某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的均值為()A100 B200 C300 D4008甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚杭椎?/p>

25、成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（ ） As3s1s2 Bs2s1s3 Cs1s2s3 Ds2s3s1二、填空題9有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量1、2，若E1E2，D1D2，則自動包裝機_的質(zhì)量較好10隨機變量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若，則D（）的值是_11節(jié)日期間，某種鮮花進貨價是每束2.5元，銷售價是每束5元；節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.6元處理，根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的概率

26、分布：X200300400500P0.200.350.300.15若進這種鮮花500束，則期望利潤是_元12某射手有5發(fā)子彈，射擊一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用盡為止，設(shè)損耗子彈數(shù)為X，則E（X）=_，D(X)=_（精確到0.01）三、解答題13. 已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品需要從中取出2個正品，每次取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止設(shè)為取出的次數(shù)，求的分布列及E14設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取一個，并且取出后不再放回，若以X和V分別表示取出次品和正品的個數(shù) （1）求X的概率分布、期望值及方差； （2

27、）求Y的概率分布、期望值及方差15有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設(shè)，為了對重點建設(shè)負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品：檢查它們的抗拉強度指數(shù)如下：110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2其中和分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在要求抗拉強度不低于120的條件下，比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好【答案與解析】1.【答案】C 【解析】由0.1ab0.11，得ab0.8，又由E(X)0×0.11×a2×b3×0.11.6，得a2b1.3，由解得a0

28、.3，b0.5，ab0.2，故應(yīng)選C.2. 【答案】D 【解析】B（l，q），p+q=13. 【答案】A【解析】E(X)(123)×2，D(X)(12)2(22)2(32)2×23，D(3X5)9D(X)6.4. 【答案】B【解析】由題意知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利0.6×500.3×300.1×(20)37(元)5. 【答案】C【解析】根據(jù)二項分布的方差公式：D10×0.02×0.980.196.6. 【答案】A【解析】EX0.7×01×0.12×0.13×0.10.6，EY0&

29、#215;0.51×0.32×0.23×00.7，因為EX<EY，根據(jù)隨機變量X與Y各自的均值(即甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的1 000件產(chǎn)品中次品數(shù)的平均值)，可知甲的次品數(shù)較少7. 【答案】B【解析】本題以實際問題為背景，考查的事件的均值問題記“不發(fā)芽的種子數(shù)為”，則B(1 000,0.1)，所以E()1 000×0.1100，而X2，故EXE(2)2E()200，故選B.8【答案】B 【解析】 設(shè)甲、乙、丙射中的環(huán)數(shù)依次為X1、X2、X3。依題意對甲有：X178910P，；對乙有：X278910P，；同理可得。故s2s1s3。9. 【答案】乙【解析】

30、E1E2說明甲、乙兩機包裝的重量的平均水平一樣D1>D2說明甲機包裝重量的差別大，不穩(wěn)定乙機質(zhì)量好10【答案】 【解析】 依隨機變量的分布列知a+b+c=1，依a，b，c成等差數(shù)列知2b=a+c，則，。又，則。解得，。故。11【答案】706 【解析】 節(jié)日期間鮮花預(yù)售量為E（X）=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=40+105+120+75=340，則期望的利潤Y=5X+1.6(500X)500×2.5=3.4X450，E（Y）=3.4 E（X）450=3.4×340450=706。故期望利

31、潤為706元。12【答案】1.11 0.12【解析】隨機變量X服從超幾何分布，根據(jù)公式：期望方差可求。13. 【解析】每次取1件產(chǎn)品，至少需2次，即最小為2，有2件次品，當前2次取得的都是次品時，=4，所以可以取2，3，4P（=2）=×=；P（=3）=××+××=；P（=4）=1=的分布列如下：234PE=2×P（=2）+3×P（=3）+4×P（=4）=14【解析】（1）X的可能取值為0，1，2。若X=0，表示沒有取出次品，其概率為，同理，有，。X的概率分布為X012P，D(。（2）Y的可能取值為1，2，3，顯然X

32、+Y=3。，。Y的概率分布為Y123P。Y=X+3，。15【解析】E（）=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，E（）=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，D（）=0.1×(110125)2+0.2×(120125)2+0.4×(125125)2+0.1×(130125)2+0.2(135125)2=50，D（）=0.1×(100125)2+0.

33、2×(115125)2+0.4×(125125)2+0.1×(130125)2+0.2×(145125)2=165，由于E（）=E（），而D（）D（），故甲廠的材料穩(wěn)定性較好。4、 課后練習一、選擇題1下面說法中正確的是()A離散型隨機變量的均值E()反映了取值的概率的平均值B離散型隨機變量的方差D()反映了取值的平均水平C離散型隨機變量的均值E()反映了取值的平均水平D離散型隨機變量的方差D()反映了取值的概率的平均值2已知的分布列為101P0.50.30.2則D等于（ ） （A）0.7 （B）0.61 （C）0.3 （D）0 3隨機變量的分布列為02

34、4P0.40.30.3，則E(54)等于()A13B11C2.2 D2.34隨機變量服從二項分布B（100，0.2），那么D（4+3）的值為（ ） A64 B256 C259 D3205某商場買來一車蘋果，從中隨機抽取了10個蘋果，其重量（單位：克）分別為：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估計這車蘋果單個重量的期望值是（ ） A150.2克 B149.8克 C149.4克 D147.8克6從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機變量的方差為（ ） A B

35、C D7節(jié)日期間，某種鮮花進貨價是每束2.5元，銷售價每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進這種鮮花500束，則期望利潤是200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元C754元 D720元8甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，X表示甲機床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙機床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考查，X、Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷()A甲比乙質(zhì)量好 B乙比甲質(zhì)量好C甲與乙質(zhì)量相

36、同 D無法判定二、填空題9.已知隨機變量服從二項分布即，則 ； 10有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量1、2，若E1E2，D1D2，則自動包裝機_的質(zhì)量較好11某射手有5發(fā)子彈，射擊一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用盡為止，設(shè)損耗子彈數(shù)為X，則E（X）=_，D（X）=_（精確到0.01）12某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%，公司應(yīng)要求投保人交的保險金為_元三、解答題13一袋中裝有6只球，編號為1，2，3，4，5，6，在袋中同時取3只，求三只球中的最大號碼的數(shù)