第1章函數(shù)極限與連續(xù)

1、1.1 函 數(shù) 函數(shù)及其性質(zhì)1.函數(shù)的概念引例 汽車以60千米/小時(shí)的速度均速行駛，那么行駛里程與時(shí)間有什么關(guān)系？設(shè)行駛路程為千米，行駛時(shí)間為小時(shí)，依題意可得.變量和的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即是函數(shù)概念的實(shí)質(zhì).定義1.1 設(shè)和是兩個(gè)變量，是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于數(shù)集中的每一個(gè)數(shù)按照一定的對(duì)應(yīng)法則都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作，其中稱為函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量如果對(duì)于確定的，通過對(duì)應(yīng)法則，有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為在處的函數(shù)值，記作.集合稱為函數(shù)的值域.2.函數(shù)的表示法（1）解析法：用一個(gè)等式來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系.如一次函數(shù)（為常數(shù)，且）.（2）列表法

2、：列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系.如三角函數(shù)表.（3）圖像法：用函數(shù)圖像表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系.如二次函數(shù)圖像.3.函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則通常由函數(shù)的解析式給出，函數(shù)的值域由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定.函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的全體.在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域要由問題的實(shí)際意義確定.在求函數(shù)的定義域時(shí)，應(yīng)注意：分式函數(shù)的分母不能為零；偶次根式的被開方式必須大于等于零；對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；反正弦函數(shù)與反余弦函數(shù)的定義域?yàn)榈龋绻瘮?shù)表達(dá)式中含有上述幾種函數(shù)，則應(yīng)取各部分定義域的交集.兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，

3、才是同一個(gè)函數(shù).例如函數(shù)與是相同的函數(shù)；而函數(shù)與因定義域不同而不是相同函數(shù).例 求函數(shù)的定義域.解 當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，才有意義，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?例 已知，求及.解 例 已知，求.解 令，則，從而 所以 4.幾種常見函數(shù)簡(jiǎn)介（1）分段函數(shù)有些函數(shù)在定義域不同的范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)例 設(shè) 求.解 （2）隱函數(shù)通常將形如的函數(shù)稱為顯函數(shù)；由二元方程確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).有些隱函數(shù)可以通過一定的運(yùn)算，把它轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，例如可以化為顯函數(shù)；但有些隱函數(shù)卻不能化為顯函數(shù)，例如.（3）參數(shù)方程確定的函數(shù)由參數(shù)方程來表示和之間的函數(shù)關(guān)系，稱為由參數(shù)方程確定的函數(shù).例如，由參數(shù)方程，

4、可以確定函數(shù).（4）反函數(shù)設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)，其值域?yàn)槿魧?duì)于數(shù)集中的每一個(gè)數(shù)，數(shù)集中都有唯一的數(shù)，使得，則稱由此確定的函數(shù)為的反函數(shù)，記為，其定義域?yàn)?，值域?yàn)樽⒁猓褐挥袊?yán)格單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù).例 求函數(shù)的反函數(shù)，并確定反函數(shù)的定義域.解 由得，即.將上式中的互換，因此得到函數(shù)的反函數(shù)為，反函數(shù)的定義域?yàn)?5.函數(shù)的幾種特性（1）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)任意，若，則稱為偶函數(shù)；若，則稱為奇函數(shù)；不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).由定義可知奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.例 判斷下列函數(shù)的奇偶性：； ；.解 ，所以是偶函數(shù). ，所以為奇函數(shù)，它既不

5、等于，也不等于，所以為非奇非偶函數(shù).（2）周期性設(shè)為一個(gè)不為零的常數(shù)，如果函數(shù)對(duì)于任意，都有，且，則稱是周期函數(shù)使上述關(guān)系式成立的最小正數(shù)，稱為函數(shù)的周期應(yīng)當(dāng)指出的是，通常講的周期函數(shù)的周期是指最小的正周期例如函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)，而、則是以為周期的周期函數(shù)（3）單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，對(duì)于任意，1）若，則稱在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)，這時(shí)為的單調(diào)增加區(qū)間.2）若，則稱在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減少函數(shù)，這時(shí)為的單調(diào)減少區(qū)間.例如，函數(shù)在上是調(diào)減函數(shù)；在上是增函數(shù)（4）有界性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意，恒有，則稱在上有界；如果不存在這樣的正數(shù)，則稱在上無界例如，函數(shù)在其定義域上是

6、有界的；在其定義域上是無界的.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，除了有界性與無界性之外，單調(diào)性、奇偶性、周期性都是函數(shù)的特殊性質(zhì)，而不是每一個(gè)函數(shù)都一定具備的 初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)我們稱下列六種函數(shù)為基本初等函數(shù).（1）常數(shù)函數(shù)：（為常數(shù)），函數(shù)的圖形是一條水平的直線， （2）冪函數(shù)：（3）指數(shù)函數(shù)：，（4）對(duì)數(shù)函數(shù)：，（5）三角函數(shù)：正弦函數(shù)，；余弦函數(shù)，；正切函數(shù)，；余切函數(shù)，；正割函數(shù)（不做詳細(xì)討論）；余割函數(shù)（不做詳細(xì)討論）.（6）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)，反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)，反余切函數(shù)，2.復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的交集非空，則稱函數(shù)是由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中稱為中間變量.例求函數(shù)與

7、的復(fù)合函數(shù).解：將代入到得復(fù)合函數(shù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)如，就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).利用復(fù)合函數(shù)不僅能將若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，還可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù).例 指出復(fù)合函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解是由復(fù)合而成.3.初等函數(shù)定義1.2 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合，并能用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)稱為初等函數(shù)例如：，等都是初等函數(shù).而分段函數(shù)不是初等函數(shù). 函數(shù)關(guān)系的建立構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，運(yùn)用函數(shù)思想要善于抓住事物在運(yùn)動(dòng)過程中那些保持不變的規(guī)律性質(zhì).下面舉例介紹運(yùn)用函數(shù)思想來解決實(shí)際問題.例 某種旅行帽的沿接有兩個(gè)塑料帽帶，其中

8、一個(gè)朔料帽帶上有7個(gè)等距的小圓柱體扣，另一個(gè)帽帶上扎有7個(gè)等距的扣眼，用第一個(gè)扣分別去扣不同扣眼所測(cè)得帽圈直徑的有關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）見表1-1.表1-1扣眼號(hào)數(shù)（）1234567帽圈直徑（）22.9222.6022.2821.9621.6421.3221.00（1）求帽圈直徑與扣眼號(hào)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明的頭圍約為68.94，他將第一個(gè)扣扣到第4號(hào)扣眼，你認(rèn)為松緊合適嗎？解 （1）可根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點(diǎn)圖.可以看出與以前所學(xué)過的一次函數(shù)的圖像（直線）較為接近.由此確定近似的函數(shù)關(guān)系.設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式，依題意可得 解得 所以函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，而，因?yàn)楹苄?，所以將第一扣?/p>

9、到第4扣時(shí)合適.小結(jié)與思考：本節(jié)復(fù)習(xí)了中學(xué)學(xué)過的各種函數(shù)，應(yīng)該熟記六種基本初等函數(shù)的性態(tài)，為后繼課的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備思考：1. 分段函數(shù)的定義域是什么？2. 任意兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)嗎？1.2 極限及其性質(zhì)極限的概念一般概念 ：在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限。1.時(shí)函數(shù)的極限定義1.3 如果當(dāng)?shù)慕^對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)有定義，且函數(shù)值無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)函數(shù)的極限，記作或（）由定義可知，當(dāng)時(shí)，的極限為0，即.如果當(dāng)且無限增大時(shí)，函數(shù)有定義，且函數(shù)值無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)的極限，記

10、作.例如，當(dāng)時(shí)，的極限為0，即.如果當(dāng)且無限增大時(shí)，函數(shù)有定義，且函數(shù)值無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)的極限，記作.例如，當(dāng)時(shí)，的極限為0，即.例 判斷與是否存在.解 .因?yàn)椋ǎ圆淮嬖?數(shù)列可以寫成，即數(shù)列可以看成是自變量為整數(shù)的函數(shù).由定義1.3得到數(shù)列極限的定義.定義1.4 如果當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為數(shù)列的極限.此時(shí)也稱數(shù)列收斂于，記為或（）若數(shù)列的極限不存在，則稱該數(shù)列發(fā)散.例如，（1）；（2）；（3）不存在.2.時(shí)函數(shù)的極限為了便于描述。先介紹鄰域的概念：開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域；開區(qū)間稱為點(diǎn)的去心鄰域（）.定義1.5 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義.如

11、果當(dāng)無限趨近于時(shí)，無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)函數(shù)的極限，記作或（）由極限的定義可知，.不存在，但可以記為.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域的左側(cè)有定義.如果當(dāng)且無限趨近于時(shí)，無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為在點(diǎn)的左極限，記作.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域的右側(cè)有定義.如果當(dāng)且無限趨近于時(shí)，無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為在點(diǎn)的右極限，記作.根據(jù)定義可得：.例 設(shè) 討論是否存在？解 由圖1-2可以看出：.顯然，所以不存在. 極限的性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性） 如果存在，那么這極限值唯一.性質(zhì)2（局部有界性） 如果，則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界.性質(zhì)3（局部保號(hào)性） 如果，且（或），則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（或）.性

12、質(zhì)4（夾逼定理） 若在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，有，且，；則.注意：對(duì)于時(shí)定理仍然成立. 無窮小與無窮大1.無窮小量定義1.6 在某變化過程中以零為極限的量稱為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小.例如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)就是無窮小量.注意：（1）無窮小不是很小的數(shù)，而是以零為極限的函數(shù)；（2）數(shù)0是無窮?。唬?）若一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須同時(shí)指出自變量的變化過程. 2.無窮大量定義1.7 在某變化過程中絕對(duì)值無限增大的量稱為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大.注意：（1）無窮大不是很大的數(shù)，它是一個(gè)絕對(duì)值無限增大的函數(shù)；（2）若一個(gè)函數(shù)是無窮大，必須同時(shí)指出自變量的變化過程.3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系當(dāng)時(shí)，是無窮小，而是無窮大.說明無

13、窮?。〝?shù)0除外）的倒數(shù)是無窮大.當(dāng)時(shí)，是無窮大，而是無窮小.說明無窮大的倒數(shù)是無窮小.定理1.1 如果，且，則；反之，若，則.注意：對(duì)于時(shí)定理仍然成立.例 求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）.解（1）因?yàn)?，所?（2）.小結(jié)與思考：本節(jié)講述了各種趨勢(shì)下的極限的定義，掌握它們的敘述方法.思考：作業(yè)：作業(yè)見教學(xué)日歷1.3 極限的運(yùn)算利用極限的定義只能計(jì)算一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，本節(jié)介紹極限的四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、無窮小比較，以期求較復(fù)雜函數(shù)的極限. 在下面的討論中，記號(hào)“”表示定理對(duì)及都是成立的 極限四則運(yùn)算法則定理1.2 在自變量的統(tǒng)一變化過程中，若. 則 (1) ； (2) ；(3) 若，則

14、.推論1 （為常數(shù)）.推論2 .例 求. 解： 例 求. 解 例 求 .解 同理可得：. 兩個(gè)重要極限在求極限過程中，利用兩個(gè)重要極限公式來求，相當(dāng)方便.1. 第一個(gè)重要極限 經(jīng)常應(yīng)用它的變量代換形式，即：若，則.例 求.解 .例 求.解 例 求解 2. 第二個(gè)重要極限 觀察表1-2-10-1000-100000-10000002.867972.719642.718302.7182810100010000010000002.593742.716922.718272.71828從上表可以看出，當(dāng)無限趨于時(shí)，的值無限趨于.經(jīng)常應(yīng)用它的變量代換形式，即或.例 求下列極限.（1）；（2）.解（1）（2

15、） 無窮小的性質(zhì)與比較1. 無窮小的性質(zhì)由于無窮小是在某種趨向下，極限為零的函數(shù)，由極限的四則運(yùn)算容易得到以下結(jié)論.性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小. 性質(zhì)2 有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小.性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小. 例 求.解 因?yàn)?，為時(shí)的無窮小量，所以2.無窮小的比較定義1.8 設(shè)，若，則稱是的高階無窮小，記作；若，則稱是的低階無窮?。蝗?，則稱是的階無窮??；若.當(dāng)時(shí)，稱與是同階無窮小；當(dāng)時(shí)，稱與是等價(jià)無窮小，記作；例 比較下面的無窮小.（1）當(dāng)時(shí)，與；（2）當(dāng)時(shí)，與；（3）當(dāng)時(shí)，與；（4）當(dāng)時(shí)，是關(guān)于幾階無窮小.解（1），此時(shí)是的高階無窮小；（2），此時(shí)與是同階無窮小

16、；（3），此時(shí)與是等價(jià)無窮??；（4），此時(shí)是關(guān)于二階無窮小.定理1.3 設(shè)均為無窮小，且，且存在，則.此定理表明，求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母可用與之等價(jià)的無窮小來替換.例 求下列極限.（1）；（2）.解（1）當(dāng)時(shí)，.所以.（2）當(dāng)時(shí)，所以常用的等價(jià)無窮小有：當(dāng)時(shí)，.小結(jié)與思考：本節(jié)講述了極限四則運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限及無窮小的性質(zhì)與比較1.已知，求與的值.2.求極限.1.4 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù) 定義1.9 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念也可以如下定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，記為自變量在點(diǎn)處的改變量，為相

17、應(yīng)函數(shù)值的改變量.若，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)2.函數(shù)在一點(diǎn)處的左右連續(xù)定義1.10 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若（或），則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)（或右連續(xù)）3.函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處均連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)；若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，即，則稱該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù).4.初等函數(shù)的連續(xù)性 定理1.4（連續(xù)的四則運(yùn)算法則） 若函數(shù)和在點(diǎn)處連續(xù)，則它們的和、差、積以及商點(diǎn)處連續(xù).定理1.5（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性） 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，如果在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)復(fù)合函數(shù)有定義，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).并且有：.例 求.解 例 求.解 定理1.6 初等函數(shù)

18、在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.7（有界定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上有界.定理1.8（最值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上有最大值和最小值.定理1.9（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，和分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，則對(duì)于任一數(shù)：，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.定理1.10（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.例 證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證 設(shè)，顯然在上連續(xù).又.由零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類定義1.11 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則點(diǎn)稱為函

19、數(shù)的間斷點(diǎn).若點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)，則根據(jù)極限的定義，它至少滿足以下三個(gè)條件之一：(1) 在點(diǎn)處沒有定義；(2) 不存在；(3) .定義1.12 設(shè)為的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果當(dāng)時(shí)，的左右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn).并且，當(dāng)，稱為的可去間斷點(diǎn)；當(dāng)，稱為的跳躍間斷點(diǎn).函數(shù)除第一類之外的間斷點(diǎn)都稱為的第二類間斷點(diǎn).例 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷是何種類型的間斷點(diǎn).解 令，解得或.由間斷點(diǎn)的定義可知，是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)?，所以是第一類間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn).而，所以是第二類間斷點(diǎn).思考：1.如何求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間2.如何利用連續(xù)性求函數(shù)的極限？第一章 函數(shù)與極限習(xí)題課一、主要內(nèi)容1. 函數(shù)2. 函數(shù)的極限3. 兩條極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限（1）夾逼準(zhǔn)則 （2）單調(diào)有界準(zhǔn)則 （1）單調(diào)上升有上界的數(shù)列，極限一定存在；（2）單調(diào)下降有下界的數(shù)列，極限一定存在。（3）兩個(gè)