解析幾何精編講義北京

1、一、直線與方程基礎(chǔ)：1、直線的傾斜角： 2、直線的斜率：；注意：傾斜角為90°的直線的斜率不存在。3、直線方程的五種形式：點斜式：；斜截式：；一般式：；截距式：；兩點式：注意：各種形式的直線方程所能表示和不能表示的直線。4、兩直線平行與垂直的充要條件：，； .5、相關(guān)公式：兩點距離公式：，；中點坐標(biāo)公式：，則線段的中點；點到直線距離公式： ，則點到直線的距離；兩平行直線間的距離公式：，則平行直線與之間的距離；到角公式：（補充）直線到直線的角為，則 .（兩傾斜角差的正切）二、直線與圓，圓與圓基礎(chǔ)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；確定圓的兩個要素：圓心，半徑；2、圓的一般方程：，（）；3、點與圓的位

2、置關(guān)系：點在圓內(nèi) ；點在圓上 ；點在圓外 ；4、直線與圓的位置關(guān)系：從幾何角度看：令圓心到直線的距離為，相離；相切；相交；若直線與圓相交于兩點，則弦長；從代數(shù)角度看：聯(lián)立與圓，消去（或）得一元二次方程，相離；相切；相交；相交時的弦長 .5、圓與圓的位置關(guān)系： 相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含 .圓；圓，根據(jù)這三個量之間的大小關(guān)系來確定：，；相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含；6、兩圓；圓若相交，則相交弦所在的直線方程的求法：交軌法： 式式，整理化簡即可得到相交弦所在直線方程 .三、橢圓：1、（第一）定義：；2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率：焦點在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：；長半軸；：短半軸；半焦距 .橢圓中，的關(guān)系

3、：；橢圓的離心率 .3、弦長公式：直線與橢圓交于兩點，則相交時的弦長 .弦長公式是由兩點距離公式與兩點斜率公式推導(dǎo)出來，故適用性比較廣。4、中點弦結(jié)論（點差法）：橢圓上的兩點，弦的中點，則 .5、焦點三角形面積：橢圓的兩個焦點分別為、，點是橢圓上除左、右端點外的一點，令，則： .該公式是由三角形面積公式、橢圓第一定義、余弦定理結(jié)合三角恒等變換推導(dǎo)出來。6、直線與橢圓位置關(guān)系：聯(lián)立與橢圓，消去（或）得一元二次方程，相離；相切；相交；7、與點坐標(biāo)相關(guān)的面積公式：，點，不在一條直線上，則：.該公式是由三角形面積公式、余弦定理結(jié)合三角恒等式推導(dǎo)出。四、雙曲線：（類比橢圓來學(xué)習(xí)雙曲線）1、定義：；2、雙

4、曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率、漸近線方程：焦點在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；實半軸；：虛半軸；半焦距 .雙曲線中，的關(guān)系：；雙曲線的離心率 ；焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為；焦點到漸近線的距離 .焦點在軸上的雙曲線相關(guān)性質(zhì)可以類比。3、弦長公式：直線與雙曲線交于兩點，則相交時的弦長 .4、中點弦結(jié)論（點差法）：雙曲線上的兩點，弦的中點，則 .5、焦點三角形面積：雙曲線的兩個焦點分別為、，點是雙曲線上除左、右端點外的一點，令，則： .6、直線與雙曲線位置關(guān)系：當(dāng)直線與雙曲線的其中一條漸近線重合時，顯然直線與雙曲線無交點；當(dāng)直線與雙曲線的其中一條漸近線平行時，有且僅有一個交點，此時聯(lián)立直線方程與雙曲線方程

5、，會得到一個一次方程（二次項系數(shù)為0）；當(dāng)直線與雙曲線的漸近線既不平行也不重合時，此時聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去（或）得一元二次方程，相離；相切；相交；五、拋物線：1、定義： （到定點的距離等于到定直線的距離的這樣的點的軌跡即為拋物線）.拋物線圖12、標(biāo)準(zhǔn)方程：（開口朝右的拋物線，開口朝其它方向的拋物線方程及其它性質(zhì)可以類比。）焦點，準(zhǔn)線，離心率.3、常見性質(zhì)： 普通的弦長公式：直線與拋物線相交于兩點，則相交時的弦長 .拋物線圖2過焦點的特殊弦長公式及與：（i）若弦過焦點，則弦長 （為傾斜角）；（ii）， .過拋物線的頂點作兩條互相垂直的射線、分別與拋物線交于兩點，弦與軸交于點，則，即：.

6、 反之亦然，即：若，則.4、拋物線中過焦點弦的其它性質(zhì)（補充，作為了解,切記不能死記硬背。如死記硬背，如下知識點不如不用掌握?？梢試L試證明。）設(shè)是過拋物線焦點的弦，如圖（拋物線圖2），則：；以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以或為直徑的圓與軸相切 .5、直線與拋物線的位置關(guān)系：若直線與拋物線的對稱軸平行或重合，則有一個交點；若直線與拋物線的對稱軸不平行，也不垂直，則根據(jù)判別式的符號來確定交點個數(shù)；若直線與拋物線的對稱軸垂直，畫圖數(shù)形結(jié)合很容易判斷交點個數(shù)。六、圓錐曲線的統(tǒng)一定義（第二定義）：到定點的距離與到定直線的距離之比為定值，這樣的點的軌跡為圓錐曲線。（i）若，軌跡為橢圓 .例如：定點為左焦點，定直

7、線為左準(zhǔn)線，離心率；（ii）若，軌跡為拋物線 .（iii）若，軌跡為雙曲線 .七、圓錐曲線（橢圓與雙曲線、圓）的第三定義到兩定點,的斜率之積為定值 .例如：橢圓，左、右端點，橢圓上除左、右端點外任意一點，則 .八、橢圓、雙曲線及拋物線的光學(xué)性質(zhì) .圓錐曲線大題常見題型（歸納總結(jié)）：題型一、求點的軌跡問題：常見方法：直接法：（設(shè)出所求點，根據(jù)題意列出等式，建立起與的關(guān)系。） 如橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求出，本身就是利用這種方法。幾何定義法：根據(jù)題意畫出圖形，通過已知條件及所學(xué)知識（如三角形中位線、圓與圓內(nèi)切與外切，直線與圓相切的等價條件）得出所求點滿足圓的幾何定義或橢圓、雙曲線、拋物線的定義，從而求出點

8、的軌跡方程；伴隨動點轉(zhuǎn)化法： 該類題型的特征往往是： 其中一個動點如點的軌跡方程是已知的，另有一個定點或多個定點，所求動點與定點和動點有著一定關(guān)系。這時只需這么做：根據(jù)已知條件得出：，代入到點的軌跡方程中，從而建立起與的關(guān)系，求出點的軌跡方程 . 交軌法： 如求兩圓相交時的相交弦所在的直線方程，采用的就是這種方法。相交弦的兩個端點同時在兩個圓上，將這兩個圓的方程相減，進行整理即得到所求直線方程 .交軌法常用于解決兩動曲線交點的軌跡方程問題。通過消參來求點的軌跡方程。 參數(shù)方程法：求動點的軌跡方程，有時直接不能看出與的關(guān)系，但是設(shè)其中一個中間變量為，發(fā)現(xiàn)根據(jù)題目已知，能很好的建立起與和與的關(guān)系，

9、即：，然后通過消去參數(shù)建立起與的關(guān)系從而求出點的軌跡方程 .題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，相交弦長及最值問題通常的方法就是聯(lián)立+韋達，結(jié)合弦長公式，將弦長表示為斜率的函數(shù)，結(jié)合均值不等式來求最值。在運用韋達定理時，如何表示，以及呢？因為交點也在直線上，故：，代入表示成與和相關(guān).要注意：直線的斜率不存在的情況需單獨討論；驗證判別式；題型三： 圓錐曲線中的恒過定點、定值問題直線或圓、橢圓恒過定點問題通常是先求出所求的曲線，一般都帶有參數(shù)。如直線方程中帶一個參數(shù)，就很容易找出定點。 但一般情況下，可能剛開始需設(shè)兩個參數(shù)，然后求出曲線方程，靈活利用已知條件，最終的曲線方程是只含一個參數(shù)的情況。定值

10、問題的求解思路，往往是：分析出一個點是哪兩條曲線的交點，就聯(lián)立哪兩條曲線方程，用所設(shè)參數(shù)表示出動點或動直線，動中自有定數(shù)。無論怎樣，“聯(lián)立+韋達”的方法在解題時大量被應(yīng)用到。解圓錐曲線綜合題注意三個關(guān)鍵：分析相關(guān)點是由哪兩種曲線相交得到的，就聯(lián)立對應(yīng)的這兩種曲線方程 . 這里的曲線指廣義上的曲線，包括直線 ；見到“，”這五個典型的“韋達特征式”，就要想到“聯(lián)立+韋達”的數(shù)學(xué)方法（即聯(lián)立直線方程與曲線方程，結(jié)合韋達定理）； 點在曲線上，則點的坐標(biāo)滿足曲線方程 .只要掌握這三個關(guān)鍵，運用于圓錐曲線綜合題解題中，結(jié)合基礎(chǔ)知識，就一定能解決絕大部分圓錐曲線綜合題（適用于北京地區(qū)） .題型一 定點定值問

11、題例1、（北京實戰(zhàn)高考P116，第18） 恒過定點問題已知為橢圓的右頂點，是橢圓上不同的兩點（均異于點），且滿足直線與直線斜率之積為 .（1）求橢圓的離心率及焦點坐標(biāo)；（2）試判斷直線是否過定點 . 若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由 .總結(jié)：直線恒過定點問題，通常是直線方程中含有一個參數(shù)。 本題中，設(shè)直線方程時我們設(shè)為，這里帶兩個參數(shù)與，建立與的線性關(guān)系，本質(zhì)上這條直線就只含一個參數(shù)了 .針對性練習(xí)：（2018東城一模）已知橢圓的離心率為，且過點. （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓上不同于點的兩點，且直線，的斜率之積等于 . 試問直線是否過定點？若是，求出該點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由

12、 .例2：（北京高考實戰(zhàn)P148第19）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點 .（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，連接，并延長，分別交直線于，兩點，設(shè)，分別為點，的縱坐標(biāo)，且，證明：直線經(jīng)過定點 .例3：溫習(xí)2018海淀一模 題型：定值問題已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上，設(shè)與平行的直線與橢圓相交于，兩點，直線，分別與軸正半軸交于，兩點 .（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）判斷的值是否為定值 . 并證明你的結(jié)論 .總結(jié)：定值問題的解題思路通常是將所求表達式表示為只含一個變量的表達式，利用已知條件最后相消是定值 .針對性練習(xí)：2、（北京實戰(zhàn)高考P38第19題）已知橢圓的離心率為，右焦點

13、為，點在橢圓上 .（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點 ，交直線于點，設(shè)，求證：為定值 .3、（北京實戰(zhàn)高考P140第19題）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上 .（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點，則是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交于兩點、（兩點均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由 .例4： （北京實戰(zhàn)高考P98）已知橢圓過點，且離心率 .（1）求橢圓的方程；（2）是否存在菱形，同時滿足下列三個條件：點在直線上；點，在橢圓上；直線的斜率等于1 .如果存在，求出點坐標(biāo)；如果不存在，說明理由 .總結(jié)：探

14、索存在性問題，整體解題思路是：先假設(shè)符合條件的量存在，若能根據(jù)已知條件求出來，并符合題意，則存在； 若求不出來，或者求出來與已知和常理矛盾，則不存在 .例5：面積最值問題：（2016北京朝陽期末）已知圓的切線與橢圓相交于，兩點 .（1）求橢圓的離心率；（2）求證：；（3）求面積的最大值 .總結(jié): 面積最值問題的解題思路是：將面積表示為關(guān)于一個變量的函數(shù)，最后利用均值不等式或二次函數(shù)知識來求面積最值 . （其它省份可能會借助導(dǎo)數(shù)知識來求最值.）針對性練習(xí)：5、（2018朝陽二模）已知拋物線 .（1）寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，并求出拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離；（2）過點且斜率存在的直線與拋物線交于不同的

15、兩點，且點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸的交點為 .（i）求點的坐標(biāo)；（ii）求與面積之和的最小值 .北京五年高考：6、（2017北京）（北京高考實戰(zhàn)P11）已知拋物線過點 . 過點作直線與拋物線交于不同的兩點，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，其中為原點 .（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求證：為線段的中點 .7、（2016北京高考）已知橢圓的離心率為，的面積為 .（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點 . 求證：為定值 .8、（2015北京高考）已知橢圓的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點 .（1）求橢圓的方程，并求點的坐標(biāo)（用表示

16、）；（2）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點 .問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 .9、（2014高考）已知橢圓 .（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .10、（2013北京高考）已知，是橢圓上的三個點，是坐標(biāo)原點 .（1）當(dāng)點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求此菱形的面積；（2）當(dāng)點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由 .11、 （2015東城二模）（北京實戰(zhàn)高考P107）12、（2015海淀二模）（北京實戰(zhàn)高考P113）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為，以橢圓

17、的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個焦點，點，分別是橢圓的左、右頂點 .（1）求圓和橢圓的方程；（2）已知，分別是橢圓和圓上的動點（，位于軸的兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于兩點，求證：為定值 .13、（2016朝陽二模）（北京實戰(zhàn)高考P86）在平面直角坐標(biāo)系中，點在橢圓上，過點的直線的方程為 .（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與軸、軸分別相交于、兩點，試求面積的最小值；（3）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點與點關(guān)于直線對稱，求證：、三點共線 .14、15、（北京實戰(zhàn)高考P71第19）面積最值問題16、（北京實戰(zhàn)高考P74第19）面積最值問題17、（北京實戰(zhàn)高考P155第19）定值問題18. （

18、2017西城一模）19. （2017朝陽一模）20、（北京實戰(zhàn)高考P65,第19，2016朝陽一模）21、（2017高二上人大附期中壓軸題）已知，圓 .（I） 若圓為圓的內(nèi)接正的內(nèi)切圓，其中為圓與軸的左交點，求圓的半徑；（II）若圓內(nèi)含于圓，過點作圓的兩條切線交圓于、兩點 ，求證：直線的斜率為定值 .22、（2012北京）已知曲線， .（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍； （2）設(shè)，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點，直線與直線交于點，求證：，三點共線 .23、（2018中關(guān)村三模）已知橢圓，橢圓短軸長為，且橢圓過點，（I）求橢圓的方程；（II）直線與橢圓相交于，兩點，請問在橢圓上是否存在點，使得四邊形為矩形，若存在，求出矩形的面積；若不存在，請說明理由 .24、（2018中國人民大學(xué)附中高三考前熱身練習(xí)）已知橢圓的離心率為，以短軸端點和焦點為頂點的四邊形的周長為 .（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點坐標(biāo)；（II）過橢圓長軸上任意一點（不含端點）作軸的垂線，交橢圓于，兩點，過橢圓上不同于點，的任意一點，作直線、分別交軸于、兩點 . 求證：點、的橫坐標(biāo)之積為定