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文檔簡(jiǎn)介
1、一、直線與方程基礎(chǔ):1、直線的傾斜角: 2、直線的斜率:;注意:傾斜角為90°的直線的斜率不存在。3、直線方程的五種形式:點(diǎn)斜式:;斜截式:;一般式:;截距式:;兩點(diǎn)式:注意:各種形式的直線方程所能表示和不能表示的直線。4、兩直線平行與垂直的充要條件:,; .5、相關(guān)公式:兩點(diǎn)距離公式:,;中點(diǎn)坐標(biāo)公式:,則線段的中點(diǎn);點(diǎn)到直線距離公式: ,則點(diǎn)到直線的距離;兩平行直線間的距離公式:,則平行直線與之間的距離;到角公式:(補(bǔ)充)直線到直線的角為,則 .(兩傾斜角差的正切)二、直線與圓,圓與圓基礎(chǔ):1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;確定圓的兩個(gè)要素:圓心,半徑;2、圓的一般方程:,();3、點(diǎn)與圓的位
2、置關(guān)系:點(diǎn)在圓內(nèi) ;點(diǎn)在圓上 ;點(diǎn)在圓外 ;4、直線與圓的位置關(guān)系:從幾何角度看:令圓心到直線的距離為,相離;相切;相交;若直線與圓相交于兩點(diǎn),則弦長(zhǎng);從代數(shù)角度看:聯(lián)立與圓,消去(或)得一元二次方程,相離;相切;相交;相交時(shí)的弦長(zhǎng) .5、圓與圓的位置關(guān)系: 相離,外切,相交,內(nèi)切,內(nèi)含 .圓;圓,根據(jù)這三個(gè)量之間的大小關(guān)系來(lái)確定:,;相離;外切;相交;內(nèi)切;內(nèi)含;6、兩圓;圓若相交,則相交弦所在的直線方程的求法:交軌法: 式式,整理化簡(jiǎn)即可得到相交弦所在直線方程 .三、橢圓:1、(第一)定義:;2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率:焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:;長(zhǎng)半軸;:短半軸;半焦距 .橢圓中,的關(guān)系
3、:;橢圓的離心率 .3、弦長(zhǎng)公式:直線與橢圓交于兩點(diǎn),則相交時(shí)的弦長(zhǎng) .弦長(zhǎng)公式是由兩點(diǎn)距離公式與兩點(diǎn)斜率公式推導(dǎo)出來(lái),故適用性比較廣。4、中點(diǎn)弦結(jié)論(點(diǎn)差法):橢圓上的兩點(diǎn),弦的中點(diǎn),則 .5、焦點(diǎn)三角形面積:橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是橢圓上除左、右端點(diǎn)外的一點(diǎn),令,則: .該公式是由三角形面積公式、橢圓第一定義、余弦定理結(jié)合三角恒等變換推導(dǎo)出來(lái)。6、直線與橢圓位置關(guān)系:聯(lián)立與橢圓,消去(或)得一元二次方程,相離;相切;相交;7、與點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的面積公式:,點(diǎn),不在一條直線上,則:.該公式是由三角形面積公式、余弦定理結(jié)合三角恒等式推導(dǎo)出。四、雙曲線:(類(lèi)比橢圓來(lái)學(xué)習(xí)雙曲線)1、定義:;2、雙
4、曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率、漸近線方程:焦點(diǎn)在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:;實(shí)半軸;:虛半軸;半焦距 .雙曲線中,的關(guān)系:;雙曲線的離心率 ;焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為;焦點(diǎn)到漸近線的距離 .焦點(diǎn)在軸上的雙曲線相關(guān)性質(zhì)可以類(lèi)比。3、弦長(zhǎng)公式:直線與雙曲線交于兩點(diǎn),則相交時(shí)的弦長(zhǎng) .4、中點(diǎn)弦結(jié)論(點(diǎn)差法):雙曲線上的兩點(diǎn),弦的中點(diǎn),則 .5、焦點(diǎn)三角形面積:雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是雙曲線上除左、右端點(diǎn)外的一點(diǎn),令,則: .6、直線與雙曲線位置關(guān)系:當(dāng)直線與雙曲線的其中一條漸近線重合時(shí),顯然直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn);當(dāng)直線與雙曲線的其中一條漸近線平行時(shí),有且僅有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程
5、,會(huì)得到一個(gè)一次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為0);當(dāng)直線與雙曲線的漸近線既不平行也不重合時(shí),此時(shí)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去(或)得一元二次方程,相離;相切;相交;五、拋物線:1、定義: (到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的這樣的點(diǎn)的軌跡即為拋物線).拋物線圖12、標(biāo)準(zhǔn)方程:(開(kāi)口朝右的拋物線,開(kāi)口朝其它方向的拋物線方程及其它性質(zhì)可以類(lèi)比。)焦點(diǎn),準(zhǔn)線,離心率.3、常見(jiàn)性質(zhì): 普通的弦長(zhǎng)公式:直線與拋物線相交于兩點(diǎn),則相交時(shí)的弦長(zhǎng) .拋物線圖2過(guò)焦點(diǎn)的特殊弦長(zhǎng)公式及與:(i)若弦過(guò)焦點(diǎn),則弦長(zhǎng) (為傾斜角);(ii), .過(guò)拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的射線、分別與拋物線交于兩點(diǎn),弦與軸交于點(diǎn),則,即:.
6、 反之亦然,即:若,則.4、拋物線中過(guò)焦點(diǎn)弦的其它性質(zhì)(補(bǔ)充,作為了解,切記不能死記硬背。如死記硬背,如下知識(shí)點(diǎn)不如不用掌握??梢試L試證明。)設(shè)是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦,如圖(拋物線圖2),則:;以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切 .5、直線與拋物線的位置關(guān)系:若直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合,則有一個(gè)交點(diǎn);若直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸不平行,也不垂直,則根據(jù)判別式的符號(hào)來(lái)確定交點(diǎn)個(gè)數(shù);若直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸垂直,畫(huà)圖數(shù)形結(jié)合很容易判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)。六、圓錐曲線的統(tǒng)一定義(第二定義):到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為定值,這樣的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線。(i)若,軌跡為橢圓 .例如:定點(diǎn)為左焦點(diǎn),定直
7、線為左準(zhǔn)線,離心率;(ii)若,軌跡為拋物線 .(iii)若,軌跡為雙曲線 .七、圓錐曲線(橢圓與雙曲線、圓)的第三定義到兩定點(diǎn),的斜率之積為定值 .例如:橢圓,左、右端點(diǎn),橢圓上除左、右端點(diǎn)外任意一點(diǎn),則 .八、橢圓、雙曲線及拋物線的光學(xué)性質(zhì) .圓錐曲線大題常見(jiàn)題型(歸納總結(jié)):題型一、求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題:常見(jiàn)方法:直接法:(設(shè)出所求點(diǎn),根據(jù)題意列出等式,建立起與的關(guān)系。) 如橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求出,本身就是利用這種方法。幾何定義法:根據(jù)題意畫(huà)出圖形,通過(guò)已知條件及所學(xué)知識(shí)(如三角形中位線、圓與圓內(nèi)切與外切,直線與圓相切的等價(jià)條件)得出所求點(diǎn)滿足圓的幾何定義或橢圓、雙曲線、拋物線的定義,從而求出點(diǎn)
8、的軌跡方程;伴隨動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化法: 該類(lèi)題型的特征往往是: 其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如點(diǎn)的軌跡方程是已知的,另有一個(gè)定點(diǎn)或多個(gè)定點(diǎn),所求動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)有著一定關(guān)系。這時(shí)只需這么做:根據(jù)已知條件得出:,代入到點(diǎn)的軌跡方程中,從而建立起與的關(guān)系,求出點(diǎn)的軌跡方程 . 交軌法: 如求兩圓相交時(shí)的相交弦所在的直線方程,采用的就是這種方法。相交弦的兩個(gè)端點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)圓上,將這兩個(gè)圓的方程相減,進(jìn)行整理即得到所求直線方程 .交軌法常用于解決兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題。通過(guò)消參來(lái)求點(diǎn)的軌跡方程。 參數(shù)方程法:求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,有時(shí)直接不能看出與的關(guān)系,但是設(shè)其中一個(gè)中間變量為,發(fā)現(xiàn)根據(jù)題目已知,能很好的建立起與和與的關(guān)系,
9、即:,然后通過(guò)消去參數(shù)建立起與的關(guān)系從而求出點(diǎn)的軌跡方程 .題型二:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,相交弦長(zhǎng)及最值問(wèn)題通常的方法就是聯(lián)立+韋達(dá),結(jié)合弦長(zhǎng)公式,將弦長(zhǎng)表示為斜率的函數(shù),結(jié)合均值不等式來(lái)求最值。在運(yùn)用韋達(dá)定理時(shí),如何表示,以及呢?因?yàn)榻稽c(diǎn)也在直線上,故:,代入表示成與和相關(guān).要注意:直線的斜率不存在的情況需單獨(dú)討論;驗(yàn)證判別式;題型三: 圓錐曲線中的恒過(guò)定點(diǎn)、定值問(wèn)題直線或圓、橢圓恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通常是先求出所求的曲線,一般都帶有參數(shù)。如直線方程中帶一個(gè)參數(shù),就很容易找出定點(diǎn)。 但一般情況下,可能剛開(kāi)始需設(shè)兩個(gè)參數(shù),然后求出曲線方程,靈活利用已知條件,最終的曲線方程是只含一個(gè)參數(shù)的情況。定值
10、問(wèn)題的求解思路,往往是:分析出一個(gè)點(diǎn)是哪兩條曲線的交點(diǎn),就聯(lián)立哪兩條曲線方程,用所設(shè)參數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線,動(dòng)中自有定數(shù)。無(wú)論怎樣,“聯(lián)立+韋達(dá)”的方法在解題時(shí)大量被應(yīng)用到。解圓錐曲線綜合題注意三個(gè)關(guān)鍵:分析相關(guān)點(diǎn)是由哪兩種曲線相交得到的,就聯(lián)立對(duì)應(yīng)的這兩種曲線方程 . 這里的曲線指廣義上的曲線,包括直線 ;見(jiàn)到“,”這五個(gè)典型的“韋達(dá)特征式”,就要想到“聯(lián)立+韋達(dá)”的數(shù)學(xué)方法(即聯(lián)立直線方程與曲線方程,結(jié)合韋達(dá)定理); 點(diǎn)在曲線上,則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程 .只要掌握這三個(gè)關(guān)鍵,運(yùn)用于圓錐曲線綜合題解題中,結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí),就一定能解決絕大部分圓錐曲線綜合題(適用于北京地區(qū)) .題型一 定點(diǎn)定值問(wèn)
11、題例1、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P116,第18) 恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題已知為橢圓的右頂點(diǎn),是橢圓上不同的兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)),且滿足直線與直線斜率之積為 .(1)求橢圓的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn) . 若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由 .總結(jié):直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,通常是直線方程中含有一個(gè)參數(shù)。 本題中,設(shè)直線方程時(shí)我們?cè)O(shè)為,這里帶兩個(gè)參數(shù)與,建立與的線性關(guān)系,本質(zhì)上這條直線就只含一個(gè)參數(shù)了 .針對(duì)性練習(xí):(2018東城一模)已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn). (1)求橢圓的方程;(2)設(shè),是橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn),且直線,的斜率之積等于 . 試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由
12、 .例2:(北京高考實(shí)戰(zhàn)P148第19)已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) .(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng),分別交直線于,兩點(diǎn),設(shè),分別為點(diǎn),的縱坐標(biāo),且,證明:直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn) .例3:溫習(xí)2018海淀一模 題型:定值問(wèn)題已知橢圓的離心率為,且點(diǎn)在橢圓上,設(shè)與平行的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),直線,分別與軸正半軸交于,兩點(diǎn) .(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)判斷的值是否為定值 . 并證明你的結(jié)論 .總結(jié):定值問(wèn)題的解題思路通常是將所求表達(dá)式表示為只含一個(gè)變量的表達(dá)式,利用已知條件最后相消是定值 .針對(duì)性練習(xí):2、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P38第19題)已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)
13、為,點(diǎn)在橢圓上 .(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn) ,交直線于點(diǎn),設(shè),求證:為定值 .3、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P140第19題)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上 .(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓,滿足此圓與相交于兩點(diǎn)、(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),且使得直線,的斜率之積為定值?若存在,求此圓的方程;若不存在,說(shuō)明理由 .例4: (北京實(shí)戰(zhàn)高考P98)已知橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率 .(1)求橢圓的方程;(2)是否存在菱形,同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:點(diǎn)在直線上;點(diǎn),在橢圓上;直線的斜率等于1 .如果存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由 .總結(jié):探
14、索存在性問(wèn)題,整體解題思路是:先假設(shè)符合條件的量存在,若能根據(jù)已知條件求出來(lái),并符合題意,則存在; 若求不出來(lái),或者求出來(lái)與已知和常理矛盾,則不存在 .例5:面積最值問(wèn)題:(2016北京朝陽(yáng)期末)已知圓的切線與橢圓相交于,兩點(diǎn) .(1)求橢圓的離心率;(2)求證:;(3)求面積的最大值 .總結(jié): 面積最值問(wèn)題的解題思路是:將面積表示為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù),最后利用均值不等式或二次函數(shù)知識(shí)來(lái)求面積最值 . (其它省份可能會(huì)借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求最值.)針對(duì)性練習(xí):5、(2018朝陽(yáng)二模)已知拋物線 .(1)寫(xiě)出拋物線的準(zhǔn)線方程,并求出拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線交于不同的
15、兩點(diǎn),且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,直線與軸的交點(diǎn)為 .(i)求點(diǎn)的坐標(biāo);(ii)求與面積之和的最小值 .北京五年高考:6、(2017北京)(北京高考實(shí)戰(zhàn)P11)已知拋物線過(guò)點(diǎn) . 過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與直線,交于點(diǎn),其中為原點(diǎn) .(1)求拋物線的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:為線段的中點(diǎn) .7、(2016北京高考)已知橢圓的離心率為,的面積為 .(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn) . 求證:為定值 .8、(2015北京高考)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上,直線交軸于點(diǎn) .(1)求橢圓的方程,并求點(diǎn)的坐標(biāo)(用表示
16、);(2)設(shè)為原點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),直線交軸于點(diǎn) .問(wèn):軸上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由 .9、(2014高考)已知橢圓 .(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)為原點(diǎn),若點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論 .10、(2013北京高考)已知,是橢圓上的三個(gè)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn) .(1)當(dāng)點(diǎn)是的右頂點(diǎn),且四邊形為菱形時(shí),求此菱形的面積;(2)當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形是否可能為菱形,并說(shuō)明理由 .11、 (2015東城二模)(北京實(shí)戰(zhàn)高考P107)12、(2015海淀二模)(北京實(shí)戰(zhàn)高考P113)已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為,以橢圓
17、的短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)這兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn),分別是橢圓的左、右頂點(diǎn) .(1)求圓和橢圓的方程;(2)已知,分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)(,位于軸的兩側(cè)),且直線與軸平行,直線,分別與軸交于兩點(diǎn),求證:為定值 .13、(2016朝陽(yáng)二模)(北京實(shí)戰(zhàn)高考P86)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在橢圓上,過(guò)點(diǎn)的直線的方程為 .(1)求橢圓的離心率;(2)若直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn),試求面積的最小值;(3)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),求證:、三點(diǎn)共線 .14、15、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P71第19)面積最值問(wèn)題16、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P74第19)面積最值問(wèn)題17、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P155第19)定值問(wèn)題18. (
18、2017西城一模)19. (2017朝陽(yáng)一模)20、(北京實(shí)戰(zhàn)高考P65,第19,2016朝陽(yáng)一模)21、(2017高二上人大附期中壓軸題)已知,圓 .(I) 若圓為圓的內(nèi)接正的內(nèi)切圓,其中為圓與軸的左交點(diǎn),求圓的半徑;(II)若圓內(nèi)含于圓,過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線交圓于、兩點(diǎn) ,求證:直線的斜率為定值 .22、(2012北京)已知曲線, .(1)若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,求的取值范圍; (2)設(shè),曲線與軸的交點(diǎn)為,(點(diǎn)位于點(diǎn)的上方),直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),求證:,三點(diǎn)共線 .23、(2018中關(guān)村三模)已知橢圓,橢圓短軸長(zhǎng)為,且橢圓過(guò)點(diǎn),(I)求橢圓的方程;(II)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)在橢圓上是否存在點(diǎn),使得四邊形為矩形,若存在,求出矩形的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 .24、(2018中國(guó)人民大學(xué)附中高三考前熱身練習(xí))已知橢圓的離心率為,以短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為 .(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo);(II)過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))作軸的垂線,交橢圓于,兩點(diǎn),過(guò)橢圓上不同于點(diǎn),的任意一點(diǎn),作直線、分別交軸于、兩點(diǎn) . 求證:點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之積為定
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