測量誤差及其合成匯總

1、目錄、測量誤差及分類 21.1 測量誤差概述 21.2 測量誤差分類 2、測量誤差的合成 52.1 隨機誤差的合成 52.2 系統(tǒng)誤差的合成 72.3 系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成 11測量誤差及誤差合成一、測量誤差及分類1.1 測量誤差概述測量工作中， 盡管觀測者按照規(guī)定的操作要求認真進行觀測， 但在同一量的 各觀測值之間， 或在各觀測值與其理論值之間仍存在差異。 例如， 對某一三角形 的三個內角進行觀測，其和不等于 180°；又如所測閉合水準路線的高差閉合差 不等于零等，這說明觀測值中包含有觀測誤差。研究觀測誤差的來源及其規(guī)律， 采取各種措施消除或減小其誤差影響，是測量工作者的一項主

2、要任務。觀測誤差產(chǎn)生的原因主要有以下三個方面 :1觀測者由于觀測者感覺器官鑒別能力有一定的局限性， 在儀器安置、 照準、讀數(shù)等 方面都產(chǎn)生誤差。 同時觀測者的技術水平、 工作態(tài)度及狀態(tài)都對測量成果的質量 有直接影響。2測量儀器每種儀器有一定限度的精密程度， 因而觀測值的精確度也必然受到一定的限 度。同時儀器本身在設計、制造、安裝、校正等方面也存在一定的誤差，如鋼尺 的刻劃誤差、度盤的偏心等。3外界條件觀測時所處的外界條件， 如溫度、 濕度、大氣折光等因素都會對觀測結果產(chǎn) 生一定的影響。外界條件發(fā)生變化，觀測成果將隨之變化。述三方面的因素是引起觀測誤差的主要來源， 因此把這三方面因素綜合起來 稱

3、為觀測條件。觀測條件的好壞與觀測成果的質量有著密切的聯(lián)系。1.2 測量誤差分類觀測誤差按其對觀測成果的影響性質，可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩種（1）系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下作一系列觀測， 若誤差的大小及符號表現(xiàn)出系統(tǒng)性， 或 按一定的規(guī)律變化，那么這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如，用一把名義為 30m 長、 而實際長度為 30.02m的鋼尺丈量距離，每量一尺段就要少量 2cm，該 2cm 誤差 在數(shù)值上和符號上都是固定的， 且隨著尺段的倍數(shù)呈累積性。 系統(tǒng)誤差對測量成 果影響較大， 且一般具有累積性， 應盡可能消除或限制到最小程度， 其常用的處 理方法有：1檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 2

4、加改正數(shù)，在觀測結果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)，如尺長改正等。 3采用適當?shù)挠^測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱，如測水平角時采用 盤左、盤右現(xiàn)在每個測回起始方向上改變度盤的配置等。（2）隨機誤差 在相同的觀測條件下作一系列觀測，若誤差的大小及符號都表現(xiàn)出偶然性， 即從單個誤差來看，該誤差的大小及符號沒有規(guī)律，但從大量誤差的總體來看， 具有一定的統(tǒng)計規(guī)律， 這類誤差稱為偶然誤差或隨機誤差。 例如用經(jīng)緯儀測角時， 測角誤差實際上是許多微小誤差項的總和， 而每項微小誤差隨著偶然因素影響不 斷變化，因而測角誤差也表現(xiàn)出隨機性。 對同一角度的若干次觀測， 其值不盡相 同，觀測結果中不可避免地存在著隨機誤差的影

5、響。隨機誤差是由多種因素綜合影響產(chǎn)生的， 觀測結果中不可避免地存在偶然誤 差，因而隨機誤差是誤差理論主要研究的對象。 就單個隨機誤差而言， 其大小和 符號都沒有規(guī)律性，呈現(xiàn)出隨機性，但就其總體而言卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，圖 1 頻率直方圖并且是服從正態(tài)分布的隨機變量。 即在相同觀測條件下， 大量隨機誤差分布 表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。圖 2 正態(tài)分布曲線1在一定的觀測條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定的限值； 2絕對值較小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大； 3絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同；4同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)的無限 增加而趨近于零，即l i m

6、 0 xn除上述兩類誤差之外，還可能發(fā)生錯誤，也稱粗差，如讀錯、記錯等。這主 要是由于粗心大意而引起。 一般粗差值大大超過系統(tǒng)誤差或偶然誤差。 粗差不屬 于誤差范疇，不僅大大影內測量成果的可靠性， 甚至造成返工。 因此必須采取適 當?shù)姆椒ê痛胧沤^錯誤發(fā)生。、測量誤差的合成檢測系統(tǒng)往往由若干個環(huán)節(jié)組成， 測量過程往往包含有若干個環(huán)節(jié)， 各個環(huán) 節(jié)都存在著誤差因素。 任何測量結果都包含有一定的測量誤差， 這是檢測系統(tǒng)或 測量過程各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同影響的綜合結果。 各個環(huán)節(jié)的誤差因素稱 為單項誤差。根據(jù)各單項誤差來確定測量結果的總誤差，這就是誤差的合成。2.1 隨機誤差的合成隨機誤差用測

7、量的標準差或極限誤差來表征， 隨機誤差的合成分為標準差的 合成與極限誤差的合成兩種情況來討論。1標準差的合成根據(jù)對隨機變量求標準差的方法， 標準差的合成一般采用方和根法， 同時要 考慮誤差傳遞系數(shù)以及各單項誤差之間的相關性影響。設共有 q 個單項隨機誤 差，它們的標準差分別為 1、2、q，其對應的傳遞系數(shù)分別為 a1、a2、 aq。這些傳遞系數(shù)由測量的具體情況來確定，對間接測量可按公式求得，對直接 測量則根據(jù)各個誤差因素對測量結果的影響情況來確定。按方和根法合成的總標準差為q 2 qai i 2 2ij aiaj i j（2-1）i 1 1i j式中， ij為任意兩單項隨機誤差之間的相關系數(shù)般

8、情況下，各個單項隨機誤差互不相關，相關系數(shù) ij 0，則有ai i（2-2）當各個單項隨機誤差傳遞系數(shù)均為 1，且各個單項隨機誤差互不相關，相關 系數(shù) ij 0，則有2-3)用標準差合成有明顯的優(yōu)點， 不僅簡單方便， 而且無論各單項隨機誤差的概 率分布如何，只要給出各個標準差，均可按式（ 2-1）或式（ 2-2）、式（ 2-3）計 算總標準差。2極限誤差的合成在實際測量中，各個單項隨機誤差和測量結果的總隨機誤差也常以極限誤差 的形式來表示。用極限誤差來表示隨機誤差， 有明確的概率意義。 一般情況下， 各個單項隨 機誤差服從的分布不同， 各個單項極限誤差的置信概率也不同， 因而有不同的置 信系數(shù)

9、。設各單項極限誤差為i t i i i 1, 2 , q,2-4)式中， i為各單項隨機誤差的標準差， ti 為各單項極限誤差的置信系數(shù)。 總極限誤差為t（ 2-5）式中， 為合成的總標準差， t 為總極限誤差的置信系數(shù)。綜合式（ 2-4）、式（ 2-5）和式（ 2-1），可得合成的總極限誤差為ai iti22 q i j2ij ai a j i jij i j1 i jti t j2-6)式中， ij為任意兩單項隨機誤差之間的相關系數(shù)根據(jù)已知的各單項極限誤差和相應的置信系數(shù)，即可按式（2-6）進行極限誤差的合成。但必須注意到，式（ 2-6）中的各個置信系數(shù)，不僅與置信概率有關，而且與隨機誤差

10、服從的分布有關。 對于服從相同分布的隨機誤差， 選定相同 的置信概率， 其相應的各個置信系數(shù)相同； 對于服從不同分布的隨機誤差， 即使 選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)也不相同。由此可知，式（2-6）中的各個單項極限誤差的置信系數(shù)， 一般來說并不相同。 合成的總極限誤差的置 信系數(shù) t，一般來說與各個單項極限誤差的置信系數(shù)也不相同。當單項隨機誤差 的數(shù)目 q 較多時，合成的總極限誤差接近于正態(tài)分布， 因此合成的總極限誤差的 置信系數(shù) t 可按正態(tài)分布來確定。當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時， 各個單項極限誤差與總極限誤差選 定相同的置信概率， 其相應的各個置信系數(shù)相同， 即 t1t2

11、 tqt，式（2-6） 可簡化為ai iq（2-7） ij0，式（ 2-7）可2ij ai a j i j1 i jai i一般情況下，各個單項隨機誤差互不相關，相關系數(shù) 簡化為2-8)當各個單項隨機誤差傳遞系數(shù)均為 1，且各個單項隨機誤差互不相關，相關系數(shù) ij 0，則有2-9)式（2-8）和式（ 2-9）均具有十分簡單的形式，由于在實際測量中各個單項 隨機誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布， 而且它們之間常是互不相關或 近似不相關，因此式（ 2-8）和式（2-9）均是較為廣泛應用的極限誤差合成公式。 在實際應用時，應注意式（ 2-8）和式（ 2-9）的使用條件。2.2 系統(tǒng)誤差的合成系

12、統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律， 不論其變化規(guī)律如何， 根據(jù)對系統(tǒng)誤差的掌 握程度，可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。 由于這兩種系統(tǒng)誤差的特征不同， 其合成方法也不相同。1已定系統(tǒng)誤差的合成 已定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。 對于已定系 統(tǒng)誤差，在處理測量結果時可根據(jù)各單項系統(tǒng)誤差和其傳遞系數(shù)， 按代數(shù)和法合 成。在測量過程中，若有 r 個單項已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為 1，2， r，相應的誤差傳遞系數(shù)為 a1，a2， ar，則按代數(shù)和法進行合成，求得總的 已定系統(tǒng)誤差為rai i（2-10）i1在實際測量中， 有不少已定系統(tǒng)誤差在測量過程中均已消除， 由于某些原因 末予

13、消除的已定誤差也只是有限的少數(shù)幾項， 它們按代數(shù)和法合成后， 還可以從 測量結果中修正，因此，最后的測量結果中一般不再包含有已定系統(tǒng)誤差。2未定系統(tǒng)誤差的合成（1）未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定 未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握， 或不必花費過多精力去掌 握，而只需估計出其不致超過某一極限范圍± ei 的系統(tǒng)誤差。也就是說，在一定 條件下客觀存在的某一系統(tǒng)誤差，一定是落在所估計的誤差區(qū)間（ei，ei）內的一個取值。當測量條件改變時，該系統(tǒng)誤差又是誤差區(qū)間（ei，ei）內的另一個取值。而當測量條件在某一范圍內多次改變時，未定系統(tǒng)誤差也隨之改變， 其相應的取值在誤差區(qū)間（ ei，

14、ei）內服從某一概率分布。對于某一單項未定 系統(tǒng)誤差 ,其概率分布取決于該誤差源變化時所引起的系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。理 論上此概率分布是可知的， 但實際上常常較難求得。 目前對未定系統(tǒng)誤差的概率 分布，均是根據(jù)測量實際情況的分析與判斷來確定的， 并采用兩種假設： 一種是 按正態(tài)分布處理；另一種是按均勻分布處理。但這兩種假設,在理論上與實踐上往往缺乏根據(jù)，因此對未定系統(tǒng)誤差的概率分布尚屬有待于作進一步研究的問 題。未定系統(tǒng)誤差的極限范圍± ei 稱為未定系統(tǒng)誤差的誤差限。對于某一單項未 定系統(tǒng)誤差的誤差限， 是根據(jù)該誤差源具體情況的分析與判斷而做出估計的， 其 估計結果是否符合實際， 往

15、往取決于對誤差源具體情況的掌握程度以及測量人員 的經(jīng)驗和判斷能力。未定系統(tǒng)誤差在測量條件不變時有一恒定值，多次重復測量時其值固定不 變，因而不具有抵償性， 利用多次重復測量取算術平均值的辦法不能減小它對測 量結果的影響， 這是它與隨機誤差的重要差別。 但當測量條件改變時， 由于未定 系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內具有隨機性， 并且服從一定的概率分布， 這些 特征均與隨機誤差相同， 因而評定它對測量結果的影響也應與隨機誤差相同， 即 采用 標準差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度?，F(xiàn)以質量的標準器具砝碼為例來說明未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定。 在 質量計量中，砝碼的質量誤差將直接帶入測量結

16、果。為了減小這項誤差的影響， 應對砝碼質量進行檢定， 以便給出其修正值。 由于不可避免地存在砝碼質量的檢 定誤差，經(jīng)修正后的砝碼質量誤差雖已大為減小， 但仍有一定誤差， 因而影響質 量的計量結果。對某一個砝碼，一經(jīng)檢定完成，其修正值即已確定不變，由檢定 方法引入的誤差也就被確定下來了， 其值為檢定方法極限誤差范圍內的一個隨機 取值。使用這一個砝碼進行多次重復測量時， 由檢定方法引入的誤差則為恒定值 而不具有抵償性。 但這一誤差的具體數(shù)值又未掌握， 而只知其極限范圍， 因此屬 于未定系統(tǒng)誤差。 對于同一質量的多個不同的砝碼， 相應的各個修正值的誤差為 某一極限范圍內的隨機取值， 其分布規(guī)律直接反

17、映了檢定方法誤差的分布。 反之， 檢定方法誤差的分布也就反映了各個砝碼修正值的誤差分布規(guī)律。 若檢定方法誤 差服從正態(tài)分布， 則砝碼修正值的誤差也應服從正態(tài)分布， 而且兩者具有同樣的 標準差 si。若用極限誤差來評定砝碼修正值的誤差，則有 ei± tisi。從上述實例分析可以看出， 這種未定系統(tǒng)誤差是較為普遍的。 一般來說， 對 一批量具、儀器和設備等在加工、 裝調或檢定中， 隨機因素帶來的誤差具有隨機 性。但對某一具體的量具、儀器和設備，隨機因素帶來的誤差卻具有確定性，實 際誤差為一恒定值。 若尚未掌握這種誤差的具體數(shù)值， 則這種誤差屬于未定系統(tǒng) 誤差。由于未定系統(tǒng)誤差的取值具有隨

18、機性， 并且服從一定的概率分布， 因而若干 項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時， 它們之間就具有一定的抵償作用。 這種抵償作用與 隨機誤差的抵償作用相似， 因而未定系統(tǒng)誤差的合成完全可以采用隨機誤差的合 成公式，這就給測量結果的處理帶來很大方便。 對于某一項誤差， 當難以嚴格區(qū) 分為隨機誤差或未定系統(tǒng)誤差時， 因不論作為哪一種誤差來處理， 最后總誤差的 合成結果均相同，故可將該項誤差任作一種誤差來處理。未定系統(tǒng)誤差的總誤差可以用標準差來表示，也可以用極限誤差來表示。（2）未定系統(tǒng)誤差標準差的合成在測量過程中，若有 p 個單項未定系統(tǒng)誤差，其標準差分別為 s1，s2， sp，相應的誤差傳遞系數(shù)為 a1，a

19、2， ap，則按方和根法進行合成，求得總的 未定系統(tǒng)誤差為p 2 psai si2ijaiajsisj(2-11)i 1 1i j一般情況下，可簡化為各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相關， 相關系數(shù) ij0，式（ 2-11）sai si（ 2-12）當各個單項未定系統(tǒng)誤差傳遞系數(shù)均為 1，且各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相 關，相關系數(shù) ij0，則有2-13)（3）未定系統(tǒng)誤差極限誤差的合成 各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為eiti sii 1, 2, , p2-14)式中， si為各單項未定系統(tǒng)誤差的標準差， ti 為各單項極限誤差的置信系數(shù)。 總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為e t s（ 2-15）式中，

20、s為合成的總標準差， t 為總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差的置信系數(shù)。綜合式（ 2-14）、式（ 2-15）和式（ 2-11），可得總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤 差為e taiei2ijaiaj eiej（2-16）i 1 ti1 i jti t j式中， ij為任意兩單項未定系統(tǒng)誤差之間的相關系數(shù)。 當單項未定系統(tǒng)誤差的數(shù)目 p 較多時，合成的總極限誤差接近于正態(tài)分布， 因此合成的總極限誤差的置信系數(shù) t 可按正態(tài)分布來確定。當各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布時， 各個單項極限誤差與總極限誤 差選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)相同，即t1t2 tp t，式p 2 peaiei2ij aia

21、 jeiej(2-17)i 1 1i j一般情況下，可簡化為各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相關， 相關系數(shù) ij0，式（ 2-17）2-16）可簡化為eaiei2-18)當各個單項未定系統(tǒng)誤差傳遞系數(shù)均為 1，且各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相 關，相關系數(shù) ij0，則有2-19)2.3 系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成以上分別討論了隨機誤差、已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差的誤差合成問題， 當測量過程中存在著多項隨機誤差、 已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差時， 應將它們 進行綜合， 以求得最后測量結果的總誤差。 測量結果的總誤差常用極限誤差來表 示，也可用標準差來表示。1按標準差合成若用標準差來表示測量結果的總誤差， 由于

22、在一般情況下已定系統(tǒng)誤差可以 從測量結果中修正，因此只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成問題。若在測量過程中有 p 個單項未定系統(tǒng)誤差， 它們的標準差分別為 s1，s2， sp；有 q 個單項隨機誤差，它們的標準差分別為 1，2，q。為計算方便，pqsi2i2 Ri1 i 1式中， R 為各個誤差間協(xié)方差之和。當各個誤差間互不相關時，各個誤差間協(xié)方差為零，則式（2（2-20）2-20）可簡化為（2-21）設各個單項誤差傳遞系數(shù)均為 1，則測量結果的總標準差為對于單次測量，可直接按式（ 2-206）或式（ 2-21）求得最后結果的總標準 差。對多次重復測量，由于隨機誤差具有抵償性，而系統(tǒng)誤差則固定不變，因此 總標準差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù) n，即測量結果平均值的 總標準差為2-22)si21ni2i 1 n i 1比較式（ 2-21）和式（ 2-22）可知，對于單次測量的總標準差合成中，不需 嚴格區(qū)分各個單項誤差是未定系統(tǒng)誤差還是隨機誤差； 而對于多次重復測量的總 標準差