2013-2022年數(shù)學(xué)高考真題專題練習(xí)--空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

1、2013-2022年數(shù)學(xué)高考真題專題練習(xí)8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用考點(diǎn)用向量法求空間角和空間距離1.(2014課標(biāo),11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A.110B.25C.3010D.22答案C解法一:以C1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=CA=CC1=2,則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),AN=(-1,0,-2),BM=(1,-1,-2),cos<AN,BM>=AN·BM|AN|

2、BM|=1+45×6=330=3010,故選C.解法二:取BC的中點(diǎn)Q,連接QN,AQ,易知BMQN,則ANQ即為所求,設(shè)BC=CA=CC1=2,則AQ=5,AN=5,QN=6,cosANQ=AN2+NQ2AQ22AN·NQ=5+6525×6=6230=3010,故選C.2.(2013北京,8,5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn),P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有()A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)答案B過P作平面A1B1C1D1、ABCD的垂線分別交D1B1、DB于E、F點(diǎn),易知P也是EF的三等分點(diǎn),設(shè)正方體的棱長為a,則PA

3、1=PC1=a;PD1=233a;PB=33a;PB1=63a,PA=PC=63a;PD=a.故有4個(gè)不同的值.故選B.思路分析設(shè)正方體的棱長為a,利用正方體中的直角三角形分別計(jì)算P到各頂點(diǎn)的距離即可.解后反思本題考查了線面的垂直關(guān)系、空間想象力及運(yùn)算能力.構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.3.(2012陜西,5,5分)如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A.55B.53C.255D.35答案A不妨設(shè)CB=1,則B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).BC1=(0,2,-1),AB1

4、=(-2,2,1).cos<BC1,AB1>=BC1·AB1|BC1|·|AB1|=0+415×3=55,故選A.評(píng)析本題考查利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角,考查了運(yùn)算求解能力.4.(2019天津理,17,13分)如圖,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為13,求線段CF的長.解析本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能

5、力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算.依題意,可以建立以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AE的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h>0),則F(1,2,h).(1)證明:依題意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因?yàn)橹本€BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).設(shè)n=(x,y,z)

6、為平面BDE的法向量,則n·BD=0,n·BE=0,即x+y=0,x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1),因此有cos<CE,n>=CE·n|CE|n|=-49.所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49.(3)設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則m·BD=0,m·BF=0,即x+y=0,2y+z=0,不妨令y=1,可得m=1,1,2.由題意,有|cos<m,n>|=|m·n|m|n|=4232+4h2=13,解得h=87.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.所以,線段CF的長為87.思路分析從已知條件線

7、面垂直、線線垂直、線線平行入手,建立空間直角坐標(biāo)系,將立體幾何中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)關(guān)系,從而進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,再將向量運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為立體幾何中的位置關(guān)系或長度.方法總結(jié)利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟:觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直,其相應(yīng)方向向量數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.5.(2019課標(biāo)理,17,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BEEC1.(1)證明:BE平面EB1C1;(2)

8、若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.解析本題考查線面垂直的判定和性質(zhì),空間向量的應(yīng)用,考查空間想象能力,運(yùn)算求解能力,考查了直觀想象的核心素養(yǎng).(1)由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90°.由題設(shè)知RtABERtA1B1E,所以AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,|DA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0

9、,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2).設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z),則CB·n=0,CE·n=0,即x=0,xy+z=0,所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECC1的法向量為m=(x,y,z),則CC1·m=0,CE·m=0,即2z=0,xy+z=0,所以可取m=(1,1,0).于是cos<n,m>=n·m|n|m|=-12.所以,二面角B-EC-C1的正弦值為32.一題多解(2)連接BC1.設(shè)AE=m,不妨令A(yù)B=1,則BE=m2+1,C1E=m2+2,BC1=(2m)2+1.BEEC1,4m2+

10、1=2m2+3,解得m=1,則AA1=2.連接AC,BD,相交于點(diǎn)O,連接A1C1.由題意可知ACBD,BDCC1,ACCC1=C,BD平面AA1C1C,BDCE,即BOCE.在長方形AA1C1C中,AC=2,AA1=2.連接AC1,有CC1AC=22=ACAE,又EAC=C1CA=90°,則RtC1CARtCAE.ECA+C1AC=90°,CEAC1.取CC1的中點(diǎn)F,連接OF,BF,則OFAC1,OFCE.BOOF=O,CE平面FOB.設(shè)CEOF=G,連接BG,CEBG,CEFG,則BGF為二面角B-CE-C1的平面角,且sinBGF=sinBGO.設(shè)AC1CE=H,易

11、得AEHC1CH.又AE=12CC1,AH=13AC1.易知OGAH,又O為AC的中點(diǎn),OG=12AH.BO=22,OG=12AH=16AC1=66,BOOG,tanBGO=2266=3,BGO=60°,則BGF=120°,故sinBGF=32.6.(2017北京理,16,14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(1)求證:M為PB的中點(diǎn);(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.解析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)定理,二面

12、角,直線與平面所成的角等知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).(2)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE.因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)PAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,且OP平面PAD,所以O(shè)P平面ABCD.因?yàn)镺E平面ABCD,所以O(shè)POE.因?yàn)锳BCD是正方形,所以O(shè)EAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,2),D(2,0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),PD=(2,

13、0,-2).設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則n·BD=0,n·PD=0,即4x4y=0,2x2z=0.令x=1,則y=1,z=2.于是n=(1,1,2).平面PAD的一個(gè)法向量為p=(0,1,0).所以cos<n,p>=n·p|n|p|=12.由題意知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為3.(3)由題意知M1,2,22,C(2,4,0),MC=3,2,22.設(shè)直線MC與平面BDP所成角為,則sin =|cos<n,MC>|=|n·MC|n|MC|=269.所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為269.方法總結(jié)1.

14、在求二面角時(shí),通常用空間向量法,即建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)面的法向量n1,n2,設(shè)二面角的大小為,則有|cos |=|cos<n1,n2>|=|n1·n2|n1|n2|,再通過原圖判斷二面角是鈍角還是銳角,進(jìn)而求出二面角.2.用向量法求直線與平面所成的角的方法:設(shè)直線的方向向量為e,平面的法向量為n,則直線與平面所成的角滿足sin =e·n|e|n|,0,2.7.(2017課標(biāo)理,18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90°.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90°

15、,求二面角A-PB-C的余弦值.解析本題考查了立體幾何中面面垂直的證明和二面角問題.(1)由已知BAP=CDP=90°,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,又APPD=P,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,又ADAB=A,可得PF平面ABCD.以 F為坐標(biāo)原點(diǎn),FA的方向?yàn)閤軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.由(1)及已知可得A22,0,0,P0,0,22,B22,1,0,C22,1,0.所以PC=22,1,22,CB=(2,

16、0,0),PA=22,0,22,AB=(0,1,0).設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,則n·PC=0,n·CB=0,即22x1+y122z1=0,2x1=0.可取n=(0,-1,-2).設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,則m·PA=0,m·AB=0,即22x222z2=0,y2=0.可取m=(1,0,1).則cos<n,m>=n·m|n|m|=-33.易知二面角A-PB-C為鈍二面角,所以二面角A-PB-C的余弦值為-33.方法總結(jié)面面垂直的證明及向量法求解二面角.(1)面面垂直的證明證明兩個(gè)平面互相垂

17、直,可以在一個(gè)平面內(nèi)找一條直線l,證明直線l垂直于另一平面.(2)利用空間向量求解幾何體中的二面角的余弦值.建立空間直角坐標(biāo)系,找到點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩個(gè)半平面的法向量n1,n2,設(shè)二面角的大小為,則|cos |=|n1·n2|n1|n2|,再根據(jù)二面角的范圍判斷二面角余弦值的正負(fù)情況.8.(2017課標(biāo)理,19,12分)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解析本題考查面面垂直的證明,二面角

18、的求法.(1)由題設(shè)可得,ABDCBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90°.取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90°.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA的方向?yàn)閤軸正方向,|OA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,

19、0),D(0,0,1).由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的12,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的12,即E為DB的中點(diǎn),得E0,32,12.故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=1,32,12.設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,則n·AD=0,n·AE=0,即x+z=0,x+32y+12z=0.可取n=1,33,1.設(shè)m是平面AEC的法向量,則m·AC=0,m·AE=0.同理可取m=(0,-1,3).則cos<n,m>=n·m|n|m|=77.易知二面角D-AE-C為銳二

20、面角,所以二面角D-AE-C的余弦值為77.方法總結(jié)證明面面垂直最常用的方法是證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,即在一個(gè)平面內(nèi),找一條直線,使它垂直于另一個(gè)平面.用空間向量法求二面角的余弦值時(shí),要判斷二面角是鈍角還是銳角.9.(2016課標(biāo)理,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF=54,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到D'EF的位置,OD'=10.(1)證明:D'H平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.解析(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE

21、=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.因此EFHD,從而EFD'H.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2AO2=4.由EFAC得OHDO=AEAD=14.所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'HOH.(4分)又D'HEF,而OHEF=H,所以D'H平面ABCD.(5分)(2)如圖,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HF的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz.則H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),AB=(3,-4,

22、0),AC=(6,0,0),AD'=(3,1,3).(6分)設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,則m·AB=0,m·AD'=0,即3x14y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).(8分)設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,則n·AC=0,n·AD'=0,即6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,-3,1).(10分)于是cos<m,n>=m·n|m|n|=1450×10=-7525.sin<m,n>=2

23、9525.因此二面角B-D'A-C的正弦值是29525.(12分)思路分析(1)利用已知條件及翻折的性質(zhì)得出D'HEF,利用勾股定理的逆定理得出D'HOH,從而得出結(jié)論;(2)在第(1)問的基礎(chǔ)上建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,從而求出兩個(gè)半平面的法向量,利用向量的夾角公式求二面角的余弦值,從而求出正弦值.評(píng)析本題主要考查翻折問題,線面垂直的證明以及用空間向量法求解二面角的基本知識(shí)和基本方法,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及空間想象能力,求解各點(diǎn)的坐標(biāo)是利用向量法解決空間問題的關(guān)鍵.10.(2016山東,17,12分)在如圖所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O&#

24、39;的直徑,FB是圓臺(tái)的一條母線.(1)已知G,H分別為EC,FB的中點(diǎn).求證:GH平面ABC;(2)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值.解析(1)證明:設(shè)FC中點(diǎn)為I,連接GI,HI.在CEF中,因?yàn)辄c(diǎn)G是CE的中點(diǎn),所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因?yàn)镠是FB的中點(diǎn),所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因?yàn)镚H平面GHI,所以GH平面ABC.(2)解法一:連接OO',則OO'平面ABC.又AB=BC,且AC是圓O的直徑,所以BOAC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意

25、得B(0,23,0),C(-23,0,0),所以BC=(-23,-23,0),過點(diǎn)F作FM垂直O(jiān)B于點(diǎn)M.所以FM=FB2BM2=3,可得F(0,3,3).故BF=(0,-3,3).設(shè)m=(x,y,z)是平面BCF的法向量.由m·BC=0,m·BF=0,可得23x23y=0,3y+3z=0.可得平面BCF的一個(gè)法向量m=1,1,33.因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量n=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|m|·|n|=77.所以二面角F-BC-A的余弦值為77.解法二:連接OO'.過點(diǎn)F作FM垂直O(jiān)B于點(diǎn)M.則有FMOO'

26、.又OO'平面ABC,所以FM平面ABC.可得FM=FB2BM2=3.過點(diǎn)M作MN垂直BC于點(diǎn)N,連接FN.可得FNBC,從而FNM為二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC是圓O的直徑,所以MN=BMsin 45°=62.從而FN=422,可得cosFNM=77.所以二面角F-BC-A的余弦值為77.評(píng)析本題考查了線面平行、垂直的位置關(guān)系;考查了二面角的求解方法;考查了空間想象能力和邏輯推理能力.正確找到二面角的平面角或正確計(jì)算平面的法向量是求解的關(guān)鍵.11.(2016浙江,17,12分)如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90°

27、,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.解析(1)延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,且ACBC,所以,AC平面BCK,因此,BFAC.又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解法一:過點(diǎn)F作FQAK于Q,連接BQ.因?yàn)锽F平面ACK,所以BFAK,則AK平面BQF,所以BQAK.所以,BQF是二面角B-AD-F的平面角.在RtACK中,AC=3,CK=2,得FQ=31313.在RtBQF中,

28、FQ=31313,BF=3,得cosBQF=34.所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.解法二:由(1)知BCK為等邊三角形.取BC的中點(diǎn)O,連接KO,則KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以,KO平面ABC.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OK的方向?yàn)閤,z的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,3),A(-1,-3,0),E12,0,32,F12,0,32.因此,AC=(0,3,0),AK=(1,3,3),AB=(2,3,0).設(shè)平面ACK的法向量為m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量為n=(x2,y2,

29、z2).由AC·m=0,AK·m=0得3y1=0,x1+3y1+3z1=0,取m=(3,0,-1);由AB·n=0,AK·n=0得2x2+3y2=0,x2+3y2+3z2=0,取n=(3,-2,3).于是,cos<m,n>=m·n|m|·|n|=34.又易知二面角B-AD-F為銳二面角,所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.方法總結(jié)若二面角的平面角為,兩半平面的法向量分別為n1和n2,則|cos |=|cos<n1,n2>|,要求cos 的值,還需結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,進(jìn)而決定co

30、s =|cos<n1,n2>|,還是cos =-|cos<n1,n2>|.評(píng)析本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.12.(2015課標(biāo)理,18,12分)如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)證明:平面AEC平面AFC;(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.解析(1)證明:連接BD.設(shè)BDAC=G,連接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1.由ABC=120°,可得AG=GC=

31、3.由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AEEC,所以EG=3,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=2,故DF=22.在RtFDG中,可得FG=62.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=22,可得EF=322.從而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(6分)(2)如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以GB,GC的方向?yàn)閤軸,y軸正方向,|GB|為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.由(1)可得A(0,-3,0),E(1,0,2),F1,0,22,C(0,3,0),所以AE=(1,3,2),

32、CF=1,3,22.(10分)故cos<AE,CF>=AE·CF|AE|CF|=-33.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為33.(12分)思路分析(1)利用勾股定理的逆定理和平面與平面垂直的判定定理求證.(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角的余弦公式求解.解后反思建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用空間向量的有關(guān)公式是求解的關(guān)鍵.證明“EG平面AFC”是解題的難點(diǎn).13.(2015課標(biāo)理,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面

33、相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2EM2=6,所以AH=10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,-6,8).設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,則n·FE=0,n&#

34、183;HE=0,即10x=0,6y+8z=0,所以可取n=(0,4,3).又AF=(-10,4,8),故|cos<n,AF>|=|n·AF|n|AF|=4515.所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為4515.14.(2015山東理,17,12分)如圖,在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).(1)求證:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45°,求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.解析(1)連接DG,CD,設(shè)CDGF=O,連接OH.在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的

35、中點(diǎn),可得DFGC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形.則O為CD的中點(diǎn),又H為BC的中點(diǎn),所以O(shè)HBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.(2)設(shè)AB=2,則CF=1.在三棱臺(tái)DEF-ABC中,G為AC的中點(diǎn),由DF=12AC=GC,可得四邊形DGCF為平行四邊形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45°,G是AC中點(diǎn),所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD兩兩垂直.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).

36、可得H22,22,0,F(0,2,1),故GH=22,22,0,GF=(0,2,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面FGH的法向量,則由n·GH=0,n·GF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一個(gè)法向量n=(1,-1,2).因?yàn)镚B是平面ACFD的一個(gè)法向量,GB=(2,0,0),所以cos<GB,n>=GB·n|GB|·|n|=222=12.所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60°.15.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=1,AD=2,E是A

37、D的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到A1BE的位置,如圖2.(1)證明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),BAD=2,所以BEAC.即在題圖2中,BEOA1,BEOC,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)因?yàn)槠矫鍭1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC為二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=2.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,BCED,所以B2

38、2,0,0,E22,0,0,A10,0,22,C0,22,0,得BC=22,22,0,A1C=0,22,22,CD=BE=(-2,0,0).設(shè)平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC與平面A1CD的夾角為,則n1·BC=0,n1·A1C=0,得x1+y1=0,y1z1=0,取n1=(1,1,1);n2·CD=0,n2·A1C=0,得x2=0,y2z2=0,取n2=(0,1,1),從而cos =|cos<n1,n2>|=23×2=63,即平面A1BC與平面A1CD夾角

39、的余弦值為63.評(píng)析本題主要考查線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)以及平面與平面的夾角的求解.考查學(xué)生的空間想象能力以及運(yùn)算求解能力.正確利用面面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標(biāo)系是求解的關(guān)鍵.16.(2015湖北理,19,12分)九章算術(shù)中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點(diǎn)E,作EFPB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.(1)證明:PB平面DEF.試判斷四面體DBEF是不是鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由;(2)若面

40、DEF與面ABCD所成二面角的大小為3,求DCBC的值.解析解法一:(1)因?yàn)镻D底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD為長方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD,而DE平面PCD,所以BCDE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.而PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEF=E,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為DEB,DEF,EFB,DFB.(2)如圖,在面PBC內(nèi),延長BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DE

41、F與平面ABCD的交線.由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG.又因?yàn)镻D底面ABCD,所以PDDG.而PDPB=P,所以DG平面PBD.故BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角,設(shè)PD=DC=1,BC=,有BD=1+2,在RtPDB中,由DFPB,得DPF=FDB=3,則tan3=tanDPF=BDPD=1+2=3,解得=2.所以DCBC=1=22.故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3時(shí),DCBC=22.解法二:(1)如圖,以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=DC=1,BC=,則D(0,0,0),P(0,0,1),B(,1

42、,0),C(0,1,0),PB=(,1,-1),點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以E0,12,12,DE=0,12,12,于是PB·DE=0,即PBDE.又已知EFPB,而DEEF=E,所以PB平面DEF.因PC=(0,1,-1),DE·PC=0,則DEPC,所以DE平面PBC.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為DEB,DEF,EFB,DFB.(2)由PD平面ABCD,所以DP=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量;由(1)知,PB平面DEF,所以BP=(-,-1,1)是平面DEF的一個(gè)法向量

43、.若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3,則cos3=BP·DP|BP|·|DP|=12+2=12,解得=2,所以DCBC=1=22.故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3時(shí),DCBC=22.17.(2014北京理,17,14分)如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.(1)求證:ABFG;(2)若PA底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.解析(1)證明:在正方形AMDE中,因?yàn)锽是AM的中點(diǎn),所以ABDE.又因

44、為AB平面PDE,所以AB平面PDE.因?yàn)锳B平面ABF,且平面ABF平面PDE=FG,所以ABFG.(2)因?yàn)镻A底面ABCDE,所以PAAB,PAAE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AF=0,即x=0,y+z=0.令z=1,則y=-1.所以n=(0,-1,1).設(shè)直線BC與平面ABF所成角為,則sin =|cos<n,BC>|=n·BC|n|BC|=12.因此直線BC與平面

45、ABF所成角的大小為6.設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u,v,w).因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上,所以可設(shè)PH=PC(0<<1),即(u,v,w-2)=(2,1,-2).所以u(píng)=2,v=,w=2-2.因?yàn)閚是平面ABF的法向量,所以n·AH=0,即(0,-1,1)·(2,2-2)=0.解得=23,所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為43,23,23.所以PH=432+232+432=2.評(píng)析本題考查了空間直線與平面平行,線面角,空間向量等知識(shí);考查空間推理論證能力,計(jì)算能力;建立恰當(dāng)坐標(biāo)系,利用空間向量準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵.18.(2014課標(biāo)理,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩

46、形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=3,求三棱錐E-ACD的體積.解析(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn),所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因?yàn)镻A平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸的正方向,|AP|為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.設(shè)B(m,0,0)(m>0),則

47、C(m,3,0),AC=(m,3,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則n1·AC=0,n1·AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,1,3.又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)得|cos<n1,n2>|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以三棱錐E-ACD的高為12.三棱錐E-ACD的體積V=13×12×3×32×12=38.評(píng)析本題考查線面平行的判定,利用空間向量解二面角問題,考查了學(xué)生的空間想象能力.19.(2014江西,19,12分)

48、如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求證:ABPD;(2)若BPC=90°,PB=2,PC=2,問AB為何值時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.解析(1)證明:因四邊形ABCD為矩形,故ABAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,連接PG.故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG.在RtBPC中,PG=233,GC=263,BG=63.設(shè)AB=m,則OP=PG2OG2=43m2,故四棱錐

49、P-ABCD的體積V=13·6·m·43m2=m386m2.因?yàn)閙86m2=8m26m4=6m2232+83,故當(dāng)m=63,即AB=63時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大.此時(shí),建立如圖所示的坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0,0,0),B63,63,0,C63,263,0,D0,263,0,P0,0,63.故PC=63,263,63,BC=(0,6,0),CD=63,0,0.設(shè)平面BPC的法向量為n1=(x,y,1),則由n1PC,n1BC得63x+263y63=0,6y=0,解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面DPC的法向量為n2=0,12,1.從而

50、平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為cos =|n1·n2|n1|n2|=12×14+1=105.評(píng)析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理、線線垂直的判定、空間幾何體的體積以及二面角的求解等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,正確利用面面垂直的性質(zhì)定理求出棱錐的高是解決本題的關(guān)鍵.計(jì)算失誤是失分的主要原因.20.(2014湖南理,19,12分)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60°,求二面角C1-O

51、B1-D的余弦值.解析(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為矩形,所以CC1AC.同理DD1BD,因?yàn)镃C1DD1,所以CC1BD,而ACBD=O,因此CC1底面ABCD.由題設(shè)知,O1OC1C,故O1O底面ABCD,(2)解法一:如圖,過O1作O1HOB1于H,連接HC1.由(1)知,O1O底面ABCD,所以O(shè)1O底面A1B1C1D1,于是O1OA1C1.又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1B1D1,從而A1C1平面BDD1B1,所以A1C1OB1,于是OB1平面O1HC1,進(jìn)而OB1C1H,故C1HO1是二面角C1-OB1-D

52、的平面角,不妨設(shè)AB=2,因?yàn)镃BA=60°,所以O(shè)B=3,OC=1,OB1=7.在RtOO1B1中,易知O1H=OO1·O1B1OB1=237,而O1C1=1,于是C1H=O1C12+O1H2=1+127=197.故cosC1HO1=O1HC1H=237197=25719.即二面角C1-OB1-D的余弦值為25719.解法二:因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD是菱形,因此ACBD,又由(1)知O1O底面ABCD,從而OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O

53、-xyz,不妨設(shè)AB=2,因?yàn)镃BA=60°,所以O(shè)B=3,OC=1,于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2).易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x,y,z)是平面OB1C1的法向量,則n2·OB1=0,n2·OC1=0,即3x+2z=0,y+2z=0.取z=-3,則x=2,y=23,所以n2=(2,23,-3),設(shè)二面角C1-OB1-D的大小為,易知是銳角,于是cos =|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1|·|n2|=2319=25719.故二面角C1-

54、OB1-D的余弦值為25719.21.(2014遼寧理,19,12分)如圖,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).(1)求證:EFBC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.解析(1)證法一:過E作EOBC,垂足為O,連接OF.由ABCDBC可證出EOCFOC.圖1所以EOC=FOC=2,即FOBC.又EOBC,因此BC面EFO.又EF面EFO,所以EFBC.證法二:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過B且垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B且垂直BC的直線為z軸,建立如圖2所示空間直角坐標(biāo)系

55、,易得B(0,0,0),A(0,-1,3),D(3,-1,0),C(0,2,0),因而E0,12,32,F32,12,0,所以,EF=32,0,32,BC=(0,2,0),因此EF·BC=0.從而EFBC,所以EFBC.圖2(2)解法一:在圖1中,過O作OGBF,垂足為G,連EG.由平面ABC平面BDC,從而EO面BDC,又OGBF,易知EGBF.因此EGO為二面角E-BF-C的平面角.在EOC中,EO=12EC=12BC·cos 30°=32,由BGOBFC知,OG=BOBC·FC=34,因此tanEGO=EOOG=2,從而sinEGO=255,即二面

56、角E-BF-C的正弦值為255.解法二:在圖2中,平面BFC的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1).設(shè)平面BEF的法向量為n2=(x,y,z),又BF=32,12,0,BE=0,12,32,由n2·BF=0,n2·BE=0得其中一個(gè)n2=(1,-3,1).設(shè)二面角E-BF-C的大小為,且由題意知為銳角,則cos =|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1|n2|=15,因此sin =25=255,即所求二面角的正弦值為255.評(píng)析本題考查空間位置關(guān)系的證明及空間角的求法,考查線線垂直的本質(zhì)是對(duì)垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的考查.在利用向量法求二面角的正弦值時(shí),注意到平面

57、BFC的一個(gè)法向量為(0,0,1),可以使問題簡捷,本題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)都是空間直角坐標(biāo)系的建立,由于A,D兩點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上,因此正確求出A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵.22.(2014天津理,17,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明BEDC;(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BFAC,求二面角F-AB-P的余弦值.解析依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn),得E(1,1,1).(1)證明:向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),故BE·DC=0.所以BEDC.(2)向量BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2).設(shè)n=