高數(shù)學復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式

1、復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式基礎概念一、基礎知識概述 由于解方程的需要，我們引進了復數(shù)和及其四則運算，并建立了復數(shù)集和復平面內(nèi)所有的點構成的集合之間的一一對立，我們還學過向量及其運算，在些基礎上，我們現(xiàn)在一起來學習復數(shù)的向量表示、復數(shù)的三角形式及其運算、復數(shù)的指數(shù)形式、復數(shù)的運算的幾何意義二、重點知識歸納及講解1、復數(shù)的向量表示： 復數(shù)集與復平面內(nèi)的向量集合（為原點）一一對應說明：（1）零向量表示復數(shù)0，相等的向量表示同一個復數(shù)；（2）向量的模就是復數(shù)（、）的模，即2、復數(shù)的三角形式及運算：（1）復數(shù)的幅角：設復數(shù)對應向量，以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點為）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻

2、角，記作，其中適合的輻角的值，叫做輻角的主值，記作說明： 不等于零的復數(shù)的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差的整數(shù)倍（2）復數(shù)的三角形式：叫做復數(shù)的三角形式，其中，說明： 任何一個復數(shù)均可表示成的形式其中為的模，為的一個輻角（3）復數(shù)的三角形式的運算： 設，則 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）開方：3、復數(shù)的幾何意義：（1）復數(shù)模的幾何意義：，即點到原點的距離，一般地即點到點的距離（2）復數(shù)加、減法的幾何意義： 圖中給出的平方四邊形，可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義 即，（3）復數(shù)乘、除法的幾何意義： 設，則的幾何意義是把的對應向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角（如果，就要把

3、按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮孟蛄考幢硎痉e，如圖，的幾何意義是把的對應向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角（如果，就要把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，所得的向量即表示?、復數(shù)的指數(shù)形式： 把模為1，輻角為（以弧度為單位）的復數(shù)用記號表示，即，由此任何一個復數(shù)就可以表示為形式，我們把這一表達式叫做復數(shù)的指數(shù)形式3、 難點知識剖析 復數(shù)的幾何意義的理解是本講的難點 由于復數(shù)集與平面點集間的一一對應關系，使得復數(shù)問題常?？捎脦缀畏椒▉斫鉀Q，幾何問題常?？捎脧蛿?shù)語言來表述，要善于運用“數(shù)形結合”的解題思想來思考，分析這類問題，找出最簡捷的解題方法 復數(shù)的模可以幫助我們表

4、示出一些常用曲線方程 如圓：； 線段中垂線：； 橢圓：； 雙曲線：典型例題例1、已知，且，復數(shù)（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范圍解析：（1）， 1）當時，則， 而， 此時三角形式為 2）當時，則， 而， 此時三角形式為（2）當， 而，； 當， 而，評析： 化含三角函數(shù)關系的復數(shù)為三角形式時，應把握概念，準確運用有關三角公式例2、設，且，（1）存在實數(shù)、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依題意可設，則 ，且， 即 ，且 當時，當時，（2）若，則，即 ，例3、復數(shù)與滿足：，且，問：當為何值時，取得最大值和最小值？并求出這一最大值和這一最小值解析： 設， 則，且 ， ，即， （顯然）

5、，即 當時，解得或； 當時， 即或時，而時，例4、設復數(shù)、滿足：，其中，若、在復平面上所對應的點分別是、，求的面積解析： 由復數(shù)及復數(shù)乘法的幾何意義，點在單位圓上，設其輻角主值為，點是，其輻角主值是，點是將逆時針旋轉(zhuǎn)角后對應向量的終點，同理向量則是由向量逆時針旋轉(zhuǎn)后，再將模伸長為模的3倍而得到 如圖所示： 例5、已知復數(shù)滿足，求復數(shù)的模的最大、小值及對應的解析： 方法一： 、 ， 而當時， 當時，；而當時， 方法二： 設 ， ，且當時，； 當時， 高考中對復數(shù)的考查多集中在復數(shù)的概念以及復數(shù)的代數(shù)運算，對復數(shù)的三角形式的考查不多有時可能采取一題多法，即設復數(shù)的代數(shù)形式和復數(shù)的三角形式均可解，只

6、不過運用三角形式解答時較方便基礎練習1、 選擇題1、復數(shù)的輻角主值是（ ）A B C D2、設，給出復數(shù)：，其中能確定為復數(shù)的三角形式的有（ ）A3個 B2個 C1個 D0個3、已知，（，），則（ ）A B C D4、若，則復數(shù)的輻角主值是（ ）A B C D5、若，則（ ）A B C0 D16、設，若，則最小的正整數(shù)（ ）A1 B2 C5 D77、在復平面內(nèi)，把復數(shù)對應的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應的復數(shù)是（ ）A B C D8、是兩個非零復數(shù)，且分別對應點、，則的充要條件是（ ）A B的實部為0 C D的虛部為09、復數(shù)滿足條件：，則的最大值是（ ）A B C D10、設（、），且，則復數(shù)的對應點的軌跡是（ ）A 圓 B拋物線 C橢圓 D雙曲線2、 綜合題11、已知和均為復數(shù)，且，為純虛數(shù)，求和的取值范圍12、設復數(shù)、分別對應復平面上的、點，、的輻角分別為、，且的