高等電磁場(chǎng) 電動(dòng)力學(xué)課后習(xí)題答案

1、第2講 場(chǎng)論基礎(chǔ)（2）2-1 證明修正矢量Green定量證明：（主要公式：；）證畢.2-2證明證明：一種理解：嚴(yán)格證明（直角坐標(biāo)系）：設(shè)，左邊：=右邊：= + = = =左邊證畢.2-3 證明 證明：如右圖，設(shè)場(chǎng)在曲線和曲面上是良性的。 把S分成n個(gè)小塊，設(shè)第m塊的面積為，邊界為，設(shè)點(diǎn)在上。由旋度的原始定義，因此有：疊加所有的小塊，則上式右邊的第一項(xiàng)由于疊加過程中相鄰小塊的公共邊界上的積分相互抵消，因此只剩下不是公共邊界曲線的積分，即：當(dāng)，則：另外，由于當(dāng)，故因此，。證畢.第4講 Maxwell方程（2）4-2 證明邊界條件： 和hSn媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)界面證明：(1). 利用由于及有限函數(shù)，當(dāng)

2、時(shí)，。則有：(2). 當(dāng)時(shí)，。則有：4-3討論Maxwell方程中四個(gè)邊界條件的獨(dú)立性。解：比擬于微分方程，猜想有兩種獨(dú)立方程形式： 以及下面證明第一種方案：(1). 證明磁場(chǎng)無(wú)法向分量邊界條件：上式中，。因此有：即：由于對(duì)于任意的，上式都成立，對(duì)于特例也成立，則常數(shù)為0。因此.(2). 當(dāng)然還可以倒出電流連續(xù)性邊界條件：由于：所以 （利用了）因?yàn)樗宰ⅲ簩?duì)于*式，應(yīng)用電流連續(xù)性方程，就可以得到電場(chǎng)的法向不連續(xù)的邊界條件。第3講 本構(gòu)關(guān)系和波動(dòng)方程3-1 已知鐵氧體磁導(dǎo)率張量為：其中是正實(shí)數(shù)，試采用坐標(biāo)變換得對(duì)角化，求坐標(biāo)變換矩陣和對(duì)角矩陣。解：求特征值：于是有：（）當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，

3、解得故有變換矩陣：對(duì)角化后的矩陣為：3-2 對(duì)于良導(dǎo)體，無(wú)源區(qū)域的Maxwell方程為：試導(dǎo)出波動(dòng)方程，并給出波傳播的速度和波阻抗的表達(dá)式。解：由于且故：同理：所以波動(dòng)方程為：由波動(dòng)方程知：解得所以：第5講 電磁場(chǎng)的能量與動(dòng)量5-1 試推導(dǎo)頻域Poynting定理。解：在時(shí)域，一個(gè)周期內(nèi)Poynting矢量的時(shí)間平均值為：由此引入頻域Poynting矢量：，而，故其中：，證畢.5-2 相同頻率的兩個(gè)點(diǎn)電荷源，置于相同的各向同性的線性媒質(zhì)中，電源1在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為；而電源2產(chǎn)生的，試證明證明：滿足的場(chǎng)方程為：所以：證畢.5-3 無(wú)限均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中放一電量Q 為的點(diǎn)電荷，試求這電荷隨時(shí)間的變化

4、規(guī)律，并寫出空間中任一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度和能密度。解：利用積分場(chǎng)定理求解。 高斯定理： 由于，所以：而，代入上式有：又有電流連續(xù)性方程： 所以（） 解上述方程的： 下面求: 研究一個(gè)以Q的初始位置為球心的球，則在球面上的大小一樣，方向指向背離球心半徑方向。 于是： 由于 ，代入 有 所以： 而在時(shí)刻，。 所以： 電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：第6講 波動(dòng)方程與唯一性定理6-1 試證明右圖所示的有耗多媒質(zhì)區(qū)域的頻域電磁場(chǎng)唯一性定理：如果（1）區(qū)域內(nèi)的源已知；（2）區(qū)域外邊界上切向電場(chǎng)或切向磁場(chǎng)已知（3）區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)交界面上切向電場(chǎng)和切向磁場(chǎng)連續(xù) 則區(qū)域內(nèi)電磁場(chǎng)唯一確定。證明：為便于說明，證明兩種有耗媒質(zhì)的

5、情況，然后可將其推廣到多媒質(zhì)情況。如圖中所示，整個(gè)體積V分成兩個(gè)區(qū)域，和中電導(dǎo)率，磁導(dǎo)率和介電常數(shù)分別為：，。設(shè)中存在兩個(gè)電場(chǎng)和兩個(gè)磁場(chǎng)和，中存在兩個(gè)電場(chǎng)和兩個(gè)磁場(chǎng)和。記差場(chǎng)分別為：，差場(chǎng)滿足：利用Poynting定理的積分形式：由區(qū)域外邊界上切向電場(chǎng)或切向磁場(chǎng)已知，有：，由區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)交界面上切向電場(chǎng)和切向磁場(chǎng)連續(xù)，有：因此（1）式的左邊等于0。故：上式中實(shí)部和虛部都為零，有：對(duì)于有耗媒質(zhì)，。于是：唯一性定理得證。對(duì)于多媒質(zhì)情況，由于內(nèi)部媒質(zhì)交接處積分總是抵消，表面上積分也為零，可知仍然有唯一性定理。6-2 試討論P(yáng)oisson方程解的唯一性問題。 解：設(shè)此方程有兩解，分別為：和考慮差值函數(shù)。

6、則：滿足方程：應(yīng)用Green第一恒等式：上式中，令則有：可見，只要滿足：(1) 邊界上的給定；(2) 或邊界上的給定；(3) 或邊界上一部分的給定，另一部分的給定；上述三個(gè)條件中的任何一個(gè)，都有，則：，被唯一確定，Poisson方程有唯一解。第7講 輔助位函數(shù)7-1 試證明在Coulomb規(guī)范下式中：證明：對(duì)于電流源，由定理得： 式中分別為分別表示的無(wú)旋部分和無(wú)散部分，即：根據(jù)矢量恒等式：因?yàn)椋海约埃核裕桑?）式 、 （）將上式和代入到：，得到：證畢.7-2 試導(dǎo)出導(dǎo)電率為的媒質(zhì)中矢位和標(biāo)位的波動(dòng)方程。解：波動(dòng)方程：因?yàn)椋?，所以：故有：既有?2)式兩邊加可變?yōu)椋喝绻睿?，則(3)和(4

7、)式可化解為： 以上兩式即為波動(dòng)方程。7-3 試證明：在Coulomb規(guī)范下，無(wú)源區(qū)域中的電磁場(chǎng)量可用兩個(gè)標(biāo)量函數(shù)表示。證明：無(wú)源區(qū)域：。 利用上一講得到的結(jié)論，在Coulomb規(guī)范下， 由此可見，電磁場(chǎng)量可用的兩個(gè)獨(dú)立分量表示，即兩個(gè)標(biāo)量函數(shù)表示。7-4 在柱坐標(biāo)系下，設(shè)試從Maxwell方程導(dǎo)出各向同性媒質(zhì)無(wú)源區(qū)域中，頻域電磁場(chǎng)橫向分量由縱向分量表示的表示式。解：滿足的電磁場(chǎng)方程：微分算子表示成橫向和縱向形式：對(duì)Maxwell方程的兩個(gè)旋度方程取橫向分量得到：上面（1）式都用叉乘得到：利用有：利用，得到：將（2）式代入到上式有：令，有：同理有：因此，頻域電磁場(chǎng)橫向分量由縱向分量表示的表示式

8、。證畢.第11講 等效原理與感應(yīng)定理11-1 試?yán)玫刃г?，?jì)算右圖所示的通向接地導(dǎo)電平面的矩形波導(dǎo)開口端的輻射場(chǎng)（假定開口端為波的電場(chǎng)）。解：按照?qǐng)D中所給的坐標(biāo)定義，在端口上的。根據(jù)等效原理，求導(dǎo)體平面右半空間的輻射場(chǎng)時(shí)，可以用導(dǎo)體將波導(dǎo)開口封閉，再加上面磁流來(lái)等效，再應(yīng)用鏡像法，使之等效為無(wú)限大自由空間的輻射問題，等效的面磁流為原來(lái)的兩倍，原問題就變?yōu)榍笤摰刃娲帕鞯妮椛鋯栴}，因?yàn)殚_口端的為波的電場(chǎng)，則最后等效的面磁流為：在處的小磁流在點(diǎn)產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為（設(shè)R為小磁流到P點(diǎn)的距離）設(shè)r為原點(diǎn)到P的距離，在球坐標(biāo)系中，所以：考慮到，利用展開上式并只保留主要項(xiàng)，得：所以在P點(diǎn)的輻射場(chǎng)為：下面分

9、別計(jì)算兩個(gè)積分所以：最后得到：第16講 互補(bǔ)原理和互易定理16-1 利用互補(bǔ)原理，由對(duì)稱振子天線的輻射場(chǎng)求圖16-4所示的縫隙天線的輻射場(chǎng)，縫隙內(nèi)電場(chǎng)為解：圖中兩種天線構(gòu)成了電屏與互補(bǔ)電屏的關(guān)系。 設(shè)對(duì)偶振子的輻射場(chǎng)為，縫隙天線的輻射場(chǎng)為，。由于沒有z0區(qū)域的源，故，應(yīng)用互補(bǔ)原理，有故：縫隙天線內(nèi)的電場(chǎng)對(duì)偶于對(duì)稱振子表面的切向磁場(chǎng)：由于振子兩側(cè)磁場(chǎng)的切向分量大小相等，方向相反，這樣有：由上述電流對(duì)稱振子產(chǎn)生的場(chǎng)為：由此得到縫隙天線的輻射場(chǎng)為：16-2 證明：如果源和均在體積v內(nèi)，則互易定理為：證明： 由于源和均在體積內(nèi)時(shí)，設(shè)外的空間為無(wú)源空間，則中無(wú)源，所以由互易定理有：為包圍的外曲面法線方向

10、。由于外的空間的外曲面包括：半徑的球面，和：包圍的曲面。則有： 因?yàn)闉榘霃降那蛎?，在面上，有所以?16-3 證明：無(wú)限靠近理想磁體表面的面磁流不產(chǎn)生電磁場(chǎng)。證明：設(shè)有一理想磁體，在無(wú)限靠近導(dǎo)體表面上有面磁流，在空間有一任意磁流源，在空間各處產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為，在空間各處產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為，根據(jù)互易定理，有：由于理想磁體表面磁場(chǎng)只有法向分量，而為切向磁流，故：于是：又由于為任意的，所以。所以：無(wú)限靠近理想表面的面磁流不產(chǎn)生電磁場(chǎng)。第11講 導(dǎo)體鏡像原理11-1一點(diǎn)電荷放置在夾角為的導(dǎo)體拐角中，電荷距拐角尖點(diǎn)的距離為,與拐角的最小夾角為。試?yán)苗R像原理求解點(diǎn)電荷在拐角中產(chǎn)生的電位。如果拐角的夾角改為,問

11、能否應(yīng)用鏡像原理？為什么？解：因?yàn)椋瑵M足，其中，可以利用鏡像原理，將產(chǎn)生個(gè)鏡像電荷，設(shè)拐角的一邊為x軸正方向，則其鏡像電荷角度分別為：具體電荷坐標(biāo)分別為： 點(diǎn)電荷在拐角產(chǎn)生的電位可以等效為六個(gè)電荷在自由空間產(chǎn)生的和電位。由電位公式：可以得到和電位為：和分別為是具體電荷的坐標(biāo)。如上圖所示，當(dāng)夾角時(shí)，不滿足（為整數(shù)），所以鏡像電荷將產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)，并且將有鏡像電荷會(huì)落在拐角內(nèi)，改變了拐角內(nèi)電荷的分布，所以無(wú)法應(yīng)用鏡像原理。11-2 如圖所示，接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上突起一半徑為a的半球形，在處有一點(diǎn)電荷。試?yán)苗R像原理求解該電荷產(chǎn)生的電位。解：為保證的無(wú)限大平面滿足邊界條件，可考慮在接地?zé)o限大的導(dǎo)體作用

12、下，點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)鏡像電荷，據(jù)平面板的鏡像原理可知：。 為保證半球滿足邊界條件，可將半球形看成一個(gè)完整球形，則兩個(gè)點(diǎn)電荷又分別產(chǎn)生一個(gè)鏡像電荷，根據(jù)球形腔的鏡像原理，可以得到它們的電荷大小和位置分別為：，所以：產(chǎn)生的電位為： 驗(yàn)證其是否滿足邊界條件：11-3 如圖11-10所示，一密度為的無(wú)限長(zhǎng)均勻分布的線電荷，平行放置在半徑為R的接地導(dǎo)體圓柱外。試嘗試用鏡像原理求解該問題。解：設(shè)點(diǎn)C為系統(tǒng)的零電勢(shì)點(diǎn)，設(shè)N點(diǎn)為鏡像電荷所在點(diǎn)，密度為，則P點(diǎn)電位為：，其中，為OP與OM的夾角，為PM的長(zhǎng)度，為PN的長(zhǎng)度，為ON的長(zhǎng)度，因?yàn)閳A柱接地，所以：，則：則：，所以：電位為：第12講 介質(zhì)鏡像原理12-1試?yán)?/p>

13、鏡像原理求解如圖所示的線電荷在三層介質(zhì)中產(chǎn)生的電位。解：利用介質(zhì)鏡像原理，先確定（區(qū)域2）得鏡像問題，區(qū)域2有兩個(gè)邊界，對(duì)它們分別應(yīng)用鏡像原理可以得到如下圖（1）所示的鏡像電荷分布：由這些規(guī)律可以推出區(qū)域2電位的表達(dá)式：在區(qū)域3中，其中有一條與區(qū)域2為邊界，因?yàn)閰^(qū)域2無(wú)電荷，故不對(duì)區(qū)域3產(chǎn)生影響，區(qū)域1的影響可以看（1）圖中區(qū)域1對(duì)區(qū)域2的影響，依照介質(zhì)鏡像原理，在這些電荷上乘以因子，如圖（2）所示：由這些規(guī)律可以推出區(qū)域3中電位表達(dá)式：在區(qū)域1中，其中只有一條與區(qū)域2的邊界x=h，為了保證x=介質(zhì)邊界條件，在區(qū)域2中，處加電荷，區(qū)域3對(duì)它的影響可以看成圖（3）中區(qū)域3中的電荷對(duì)區(qū)域1的影響，依照介質(zhì)鏡像原理，在這些電荷上乘以因子，如圖（3）所示：由規(guī)律可以推出區(qū)域1電荷表達(dá)式為：第18講 分離變量法18-