2013屆高考數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)復(fù)習(xí)20 組合

1、§10.3組合內(nèi)容歸納1、知識(shí)精講(1)組合 從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。(2)組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符合C表示。組合數(shù)公式為C=這里，m，nN*，并且mn，組合數(shù)公式還可以寫成C= 規(guī)定C=1 (3)組合數(shù)的性質(zhì)C=C C=C+C2、重點(diǎn)難點(diǎn)：組合概念的理解及應(yīng)用3、思維方式：與排列問題進(jìn)行類比思考4、特別注意：分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏和重復(fù)二、問題討論例1、（1）求值（2）已知，求解：（1），當(dāng)n=4時(shí)，原式。當(dāng)n=5時(shí)，原

2、式。（2）本題運(yùn)用公式，將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程，解方程并結(jié)合m的取值范圍確定m的值，最后計(jì)算解：m的取值范圍為由已知，即，解得m=21或m=2但，舍去例2(優(yōu)化設(shè)計(jì)P176例1)、某外語組有9人,每人至少會(huì)英語和日語中的一門,其中7人會(huì)英語,3人會(huì)日語,從中選出會(huì)英語與日語的各1人,有多少種不同的選法？解：由于73=109，所以9人中必有1人既會(huì)英語又會(huì)日語從只會(huì)英語的6人中選1人，只會(huì)日語的2人中選1人，有N1=6×2=12 既會(huì)英語又會(huì)日語的那位選定，其余8人中選1人，有N2=1×8=8由分類記數(shù)原理得N= N1+ N2=20例3(優(yōu)化設(shè)計(jì)P176例2)、

3、設(shè)集合A1，2，3，10，（1）設(shè)A的3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為n，求n的值；（2）設(shè)A的3個(gè)元素的子集中，3個(gè)元素的和分別為a1，a2，an，求a1a2a3an的值解（1）A的3元素子集的個(gè)數(shù)為n120（2）在A的3元素子集中，含數(shù)k（1k10）的集合個(gè)數(shù)有個(gè)，因此a1a2an×（12310）1980【評(píng)述】在求從n個(gè)數(shù)中取出m（mn）個(gè)數(shù)的所有組合中各組合中數(shù)字的和時(shí)，一般先求出含每個(gè)數(shù)字的組合的個(gè)數(shù)，含每個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)一般都相等，故每個(gè)數(shù)字之和與個(gè)數(shù)之積便是所求結(jié)果例4(優(yōu)化設(shè)計(jì)P176例3)、從1，2，30這前30個(gè)自然數(shù)中，每次取不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少

4、種？解：令A(yù)1，4，7，10，28，B2，5，8，11，29，C3，6，9，30組成四位數(shù)的方式有以下四類符合題意：A，B，C中各取一個(gè)數(shù)，有種；僅在A中取3個(gè)數(shù)，有種；僅在B中取3個(gè)數(shù)，有種；僅在C中取3個(gè)數(shù)，有種，故由加法原理得：1360種【評(píng)述】按元素的性質(zhì)分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法，對(duì)于某幾個(gè)數(shù)的和能被某數(shù)整除一類的問題，通常是將整數(shù)分類，凡余數(shù)相同者歸同一類例5、馬路上有編號(hào)為1，2，3，10的十只路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：問題等價(jià)于在七只亮著的路燈

5、產(chǎn)生的六個(gè)空檔中放入三只熄掉的路燈，因此，所求的方法種數(shù)為C=20【思維點(diǎn)拔】 注意插空法的應(yīng)用。解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決。例6(優(yōu)化設(shè)計(jì)P176例4)、如圖, 從一個(gè)3×4的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)A到對(duì)頂頂點(diǎn)B的最短路線有幾條?解：把質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)A到點(diǎn)的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的區(qū)別在于哪三步向上，因此，本題的結(jié)論是：【深化拓展】(優(yōu)化設(shè)計(jì)P176)ABBBC 1、某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，如圖所示，要從A處走到B處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？解：將相鄰兩個(gè)交點(diǎn)

6、之間的街道稱為一段，那么從A到B需要走（n+m-2）段，而這些段中必須有東西方向的（n1）段，其余的為南北方向的（m-1）段，所以共有=種走法。2、從一樓到兩樓樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，規(guī)定用8步走完樓梯的方法種數(shù)是分析：有6步走1級(jí)，有2步走2級(jí)，則備用題:例7、用正五棱柱的10個(gè)頂點(diǎn)中的5個(gè)做四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，共可得到多少個(gè)四棱錐？解：解法1 直接法：共面而不共線的四點(diǎn)可成為四棱錐的底面，再在平面外找一點(diǎn)為頂點(diǎn)就形成了四棱錐，于是可從四棱錐的底面四點(diǎn)著眼，將構(gòu)成棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)的取法分類。按照構(gòu)成四棱錐的底面四點(diǎn)分為以下四類；(1)四點(diǎn)取在棱柱的底面上有2CC=50

7、個(gè)；(2)四點(diǎn)取在棱柱的側(cè)面上有5C=30個(gè)；(3)四點(diǎn)取在棱柱的對(duì)角面上有5C=30個(gè)；(4)四點(diǎn)取在以過一個(gè)底面中的一條對(duì)角線和另一個(gè)底面中與其平行的一邊所確定的面上有2×5C=60個(gè)。所以共可組成50+30+30+60=170個(gè)四棱錐。 解法2 間接法. C中去掉五點(diǎn)共面和無四點(diǎn)共面的兩種情況，算式為C-2C-4×4C=170（個(gè)）?！舅季S點(diǎn)拔】幾何問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算,漏算。另外應(yīng)注意排除法的應(yīng)用。從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種常用的間接解題的方法.三、課堂小結(jié)：1、組合數(shù)公式有兩種形式，(1)乘積形式；(2)階乘形式。前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證明恒等式，注