2021屆高考數學圓錐曲線壓軸題專題04圓錐曲線與外心問題(通用版解析版)

1、專題4、錐曲線與外心問題:從近幾年圓錐曲線的命題風格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質特征。而現在圓錐 曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題?！八男摹眴栴}進入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。 因此在高考數學復習中，通過讓學生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結合問題，快速提高學生的數學 解題能力，增強學生的信心，備戰(zhàn)高考.三角形的外心：三角形三條垂直平分線的交點知識儲備：（1）、。是A43C的外心=1 / 1=1 而 1=1芯1（或32 =OB =OC）x（2）、若點。是八48。的外心，則（ZS +無）而=（而+ 反）灰=（3+ 反）衣=0.（3）、若。是 A43C的外心，則

2、sin2A厲+sin2B麗+ sin2c反=6；（4）、多心組合：”3。的外心。、重心G、垂心”共線，即玄而經典例題2例L已知坐標平而X。），中，點A分別為雙曲線C:y2 = l （。0）的左、右焦點，點M在雙 a-曲線C的左支上，加心與雙曲線C的一條漸近線交于點O,且。為M瑪的中點，點/為公名的外心，若。、/、。三點共線，則雙曲線C的離心率為（）A. 72B. 3C. y/5D. 5【答案】C/ m + c n【分析】由題意得：直線8:分MF?,設點M（肛），后（0）,則。下,不,可得方程組:I z 乙）n'W-C ，求得將"2"二"代入雙曲線方程得（2

3、'廠）_4小2 = 1 竺把 I C cj I C C府 c22 a 2化簡可得： =小【詳解】不妨設點m在第二象限,設“（九），r（c,o）, 由。為M巴的中點，0、I、。三點共線知直線8庇直平分姐.則O0:y = -x,.nM 11 m + c 以 cr -1 2a故（= - k - = ，解得? =, n = m-c2 a 2cc1-I 2a、 c ' J2a'不,代入雙曲線的方程可得=化簡可得不=51,即6 =有，當點M在第三象限時，同理可得6=6.故選：C.【點睛】本題主要考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用，運用平面幾何的知識分析出 “我8垂直平分A

4、/工，并用小C表示出點河的坐標是解決此題的難點，屬于中檔題.例2.設/（c,0）為雙曲線E:二一二=1（。>0/>0）的右焦點，以尸為圓心，Z?為半徑的圓與雙曲線在 cr iy第一象限的交點為。，線段EP的中點為0,的外心為/,且滿足而= 207（2 W0）,則雙曲線E的離心率為（）A.夜B.6C. 2D. 75【答案】D【分析】先由歷=丸5（丸。0）可確定。、0、/三點共線，則根據外心的性質可得ODJ尸產.再由點。為焦點的中點,根據中位線性質可得P尸' OD,則PFr± PF,進而在RsPFF'中利用勾股定理求解.【詳解】由題，因為0力=2。/（義工0）

5、,所以。、D、/三點共線，因為點D為線段FP的中點，"OF的外心為/ .所以DI ± PF ,即ODLPF.設雙曲線的左焦點為F（-c,0），則點。為線段F'F的中點，則在尸中.刊7'。,即尸9_LP?所以"尸產'是直角三角形，所以戶=|廣尸+|尸殲.因為|產用二,由雙曲線定義可得|尸尸|一|尸川=2人所以|尸尸| =%+"則（2c=（2a +爐+,因為ijJ+A整理可得力=2,所以c ="，廁6 = （=不故選:口【點睹】本題考查求雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義的應用.例3. （2020四川高三月考）已知點耳（一GO

6、）,居（c,0）（c0）是橢圓十二=1（。0）的左、右焦點， cr b點P是這個橢圓上位于工軸上方的點,點、G是的外心,若存在實數2，使得GR+GF2+ AGP = 6,則當戶"鳥的而積為8時，的最小值為（）A. 4B. 46C. 2瓜D. 4小+2【答案】A【解析】由于外心在fif2的垂直平分線上，故外心在y軸上，而西+%方向朝著y軸的負半軸，故尸點位橢圓的上頂點，此時三角形面積為;2c匕=8,反=8.所以=由壽之; = 4、故選A【點睛】本小題主要考查橢圓的基本性質，考查與焦點三角形有關的概念，考查三角形外心的幾何性質,考查向量運算的幾何意義.本題的突破口在如何確定G *的位置.

7、首先根據G點是鳥的外心，外心是三角形各"正直平分線的交點，再結合向量運算的幾何意義可以判斷出G點恰好就是橢圓上頂點一例4.已知橢圓工+t二1和雙曲線二一_= 1,其中0團12,若兩者圖像在第二象限的交點為,4,16 m4 12 ？橢圓的左右焦點分別為從C, T為A/C的外心，則后有。的值為.【答案】16.【分析】由已知可得兩曲線焦點相同，設5（c,o）,c=jmr,利用橢圓和雙曲線的定義求出Asi,用 利用兩點間的距離公式求出A點的橫坐標，因為。為BC中點，A4BC的外心丁在y軸上，將 方=詼一次，代入所求式，即可求解.2 222【詳解】已知橢圓+二=i和雙曲線三一-Z= i, 16

8、 m4 12-m焦距相等所以焦點相同，設4（c,0）,C（c,0）,c = 7167 .A為兩曲線在第二象限的交點，I ABH ACI,!照十四| = 8位8HAe1 = 4 陰一2,設一2,），：=加一鄉(xiāng)£,loI A81= J（Xo+c），+ y； = V x： + 2cx0+c2+m =白 x： + 2cx0 +16 = J（： / + 守=：/ + 4 = 2 , 8司=一一，因為。為8。中點，K3C的外心7在V軸上，OT.BC = 0.c布寬=（0下一。淀）83=一。了8弓=一（一9,凡）,（2.0） = 16c【點睛】本題考查求橢圓與雙曲線交點的坐標，考查向量數量積運算，

9、考查計算求解能力，屬于中檔題.22例5.已知點片，入分別為雙曲線的左、右焦點，點$ 8在。的右支上，且點F?恰好為的外心，若（甌+麗）祈=0,則C的離心率為-【答案】五擔2【分析】取"的中點為C，連接BC、A0、BF2,由垂直向量的數量積關系推出BCJ_A耳，再利用雙曲 線的定義求;I； "； =8耳=2。+ 2。即可推出448耳為等邊三角形，求出BC, （iCBF.中利用勾股定理列 出關于。、c的齊次式即可求解離心率.【詳解】取力”的中點為C，連接3。、AF2. BR,如圖所示：因為（8耳+B4）AF； =-BC A =0 .所以8CLA片，又C為AK的中點，所以aAB”

10、為等腰三角形且8" =84.因為點工恰好為1A8的外心，所以點工在直線3。匕且AE=BE=EE=2c, 由雙曲線的定義知 AF - AF2 = BFBF2 = 2a，則 AF=BFl= 2a + 2c 93所以aABG為等邊三角形，則BC = ：BFl 3c，在ACM中，。爐+。斤=町2即如+（4 + 0）2=（勿+勿）2,化簡得3/+64°-6?=0,同時除以小可得及2-2e-l=0,解得e =或上正（舍去）.故答案為：史E222【點睛】本題考查雙曲線的定義及簡單幾何性質、等邊三角形的性質、雙曲線離心率的求法，涉及垂直向 量的數量積關系、平行四邊形法則，屬于中檔題22例6

11、. （2020.廣東省高三期末）已知橢圓二+二二1的下頂點為A,若直線X = ） + 4與橢圓交于不同的 16 4兩點M、N,則當"時，AAMN外心的橫坐標最大.【答案】2-272【分析】由已知可得力、M的坐標，求得AM的垂直平分線方程，聯立已知直線方程 橢圓方程，求得MN 的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯立求得AAMN外心的橫坐標，再由導數求最值.由一知條件可知4（0,-2）,不妨設M（4,0），則A4AW外心在期 的垂直平分線上, 即在直線y+l = -2（x2）.也就是在直線y=-2x+3Ix = ty +4X2 ），2_，得y = 0或丁 = 一1三（fvO）,.MN的中

12、點坐標為言,一1三 正十丁一十把）,=3+3代入上式，得"左三4/（16 、則腦V的垂宜平分線方程為），+千=-卜-»3r+ 63（J_4f_4）_令g（，）= 7->=由 g'（，）=。川= 2 + 2應（舍）或=2-2四.，+4（廣 +4）-當f<2-2應時，g'（，）>。，當2-2點<f<0時，g'（，）<0 幣=2-2點時,函數y = g（，）取極大值,亦為最大值.故答案為：2-242【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用導數求最值，是中等題.例7. (2019年成都七中半期16題)居分別為雙

13、曲線二一二=1 (/>0)的左、右焦點，點夕在雙 cr lr曲線上，滿足夕6二夕町=0,若鳥的內切圓半徑與外接圓半徑之比為41,則該雙曲線的離心率 為.【答案】JJ+I【解析】尸耳"/< = 0，./¥；尸片，即APEK為直角三角形， 1，I，閥f+熙f=|耳用J5 |附|一照|卜力, 則2附卜|叫=附+|目'(附曰明=402-叫， 出用十 |戶用"(|尸耳一|尸尸燈+4附H”| = 8c2_4/2.所以尸"八內切圓半徑r =用+ "用-用=J2c2 力c,外接圓半徑H = c, 2由題意，得曲二士1£ =三二1,

14、整理得二=4 + 26，雙曲線的離心率6 = 6+1. c2【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查向量數量積為零的意義，考查雙曲線離心率的求法，考查方 程的思想，考查運算求解能力，屬于中檔題.22例8. (2018全國高中數學聯賽(湖北預賽)已知點P在離心率為72的雙曲線三-* = (a>。力> 0)上, 片、鳥為雙曲線的兩個焦點，且丹；尸戶2=0,則耳用的內切圓半徑與外接圓半徑R之比為一. 【答案】見一12【解析】由府一*=0,知N阜第=90。.設歸周=見歸閭=,又比馬= 2c,則可得R = c/ =，(? + 2c),2nr + n2 = 4c2,m-n = 2a»

15、i設一=A , PIO r = kR = kc = (? + -2c)，即有/ + = (24 + 2)c.R2由®可得（2% + 2。2+4/=8<2,所以化+ 1=二二£ = 2 '=3 c e- 2解得左=包一 1 .故相3的內切圓半徑r與外接園半徑R之比為YG -1 2-2例9. （2020年河南省質量檢測（二）改編）已知橢圓工+t=1的左、右焦點分別為",凡，過F）的直 43線/交橢圓。于A3兩點，過乂作x軸的垂線交橢圓C與另一點。（。不與A3重合）.設AA3Q的外心、 M ,、為G,則7的值為 GF2【答案】4【解析】由題意知，囿線的斜率

16、存在,且不為0,設直線為1 =叼+ 1,代入橢圓方程得（362 +4）尸+6/ny-9 = 0設4（百,）1）,3（,%），則 X+）'2 =-6/7?-93+4'"）2-3/+4 所以A5的中點坐標為4 一3加< 3m2+4 3m2+4JWx1271+ nr 12（1 + 辦廠）3?2 +43m2 +4因為G是AA8Q的外心，所以G是線段43的垂直平分線與線段A。的垂直平分線的交點,回的垂直平分線方程為"5冷=一?.4）3m2 +4）令丁 = 0,得工=-t,即G3m +41I.E，。所以叫=13病+43m2+3-1 =； ，3" +412

17、（m2+l）所以手!= 3?：+4 =口 = 4,所以，詈值為4.GF2 3二 + 33|GF?|3病+4【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程，直線打橢圓的位置關系，屬于難題.例10 （2020年湖北省宜昌市高三調研12題）設尸（c0）為雙曲線石：二-二的右焦點， cr lr以廠為圓心，Z;為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P,線段EP的中點為D, AP。尸的外心為/,且滿足而= /lO7（4wO）,則雙曲線石的離心率為（）A. V2B. 6C. 2D.逐【答案】D【解析】由題,因為歷=/07（丸。0）.所以。、D、/三點共線，因為點D為線段FP的中點，APOF的外心為I,所以D/上PF，即

18、ODLPF.設雙曲線的左焦點為F'（c,O），則點O為線段F'F的中點，則在尸"'中.即尸k_LP所以尸F尸是直角三角形，所以甲殲=尸邛+|PF，因為|尸耳=。由雙曲線定義可得|PF|-|P尸 = 2公所以|PF| = 2+"則（24=（24+4+,因為02=42+火整理可得/?=2,所以°="“,則" = （ = 6.故選心【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義的應用.2例11.（2019年衡水中學聯考12題）己知坐標平面X。），中，點g ,居分別為雙曲線C :二一 / = 1 （ > 0 ） a-的

19、左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，MF與雙曲線。的一條漸近線交于點。，且。為M瑪的中點，點/為QMB的外心，若。、I、。三點共線，則雙曲線C的離心率為（）A. 72B. 3C.小D. 5【答案】C【解析】不妨設點M在第二象限，設加。幾），（c,0）,由。為M涇的中點，0、/、。三點共線知直線8垂直平分MF?，則OO:），= （x, 11 7 + c 以 a2 -1 2a故有=一"，解得，7 =, n =，m-c2 a 2cc將“cr -1 2a丁不，、雙曲線的方程可得（242一百4aI,化簡可得/=5/，即e = ".，）71c廠廠L當點“在第三象限時,同理可得e = &

20、gt;/不故選:C.【點睛】本題主要考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用，運用平面幾何的知識分析出直線8 垂直平分/鳥，并用口 C表示出點M的坐標是解決此題的難點，屬于中檔題.例12. （2019云南省曲靖市二模16題）已知斜率為1的直線與拋物線y2 = 4.x交于A, B兩點，若AOAB的AB , 外心為M（。為坐標原點）則當局最大時' 1A8| =【答案】4M.【解析】由題意知，M。為aOAB外接圓的半徑,在aOAB中，由正弦定理可知， 網 =2R （R為OA3外接圓的半徑）, sin ZAOBAB當sin ZAOB = 1,即NAO8 = 90°時，取得最大值2

21、. MO設8（2），易知）*。，%。0，則內+）。2 =°,得"$+）力=o,即b）'2+16=。.16設直線AB的方程為）'=x+，即x =,代入產=4x得，y2-4y + 4r = 0,則X+X=4,凹為=小，所以41 + 16 = 0,解得1 =故卜用=&四一%| = >/5/1不由=4加.故答案為：4M【點睛】本題主要考查了正弦定理，直線與拋物線的關系，弦長公式，屬于中檔題.課后訓練：22L (2020四川棠湖中學高三(理)己知點£(-c,O),瑪(c,0)(c0)是橢圓t +:=15力0)的左、 a- b-右焦點，點P是這個

22、橢圓上位于工軸上方的點，點G是AP"用的外心，若存在實數幾，使得g£+g£+;gp=0,則當尸斗鳥的面積為8時，a的最小值為.【答案】4【分析】根據向量的共線定理，即可求得則P，G, 0三點共線，則P位于上頂點，則bc=8,根據基本不等 式的性質，即可求得a的最小值.【詳解】由G是aPFR的外心，則G在y軸的正半軸上，GF.+GF+AGP = O,1 2則方=一一(西+ 3月)=一三前，則P, G, 0三點共線，叩P位于上頂點，4A則APRF2的面枳S二;xbx2cWjc=8,由a2=b?+c2之2bc=16,則也4,當且僅當b=c=2時取等號，a的最小值為4,故

23、答案為4.【點睛】(D本題主要考查平而向量的共線定理和基本不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析一 1 2一推理能力。)解答本題的關鍵是分析出GP =一一(GF+GF2) = 一一GO,得到P, G, 0三點共線，即P位 AA于上頂點-2 .已知點A(2,0), B、C在丁軸上，且忸C|=4,則AABC外心的軌跡S的方程：【答案】y2 = 4x【解析】設AABC外心為G,且G(x,y), B(0,«), C(0,a+4)由G點在BC的垂直平分線上知y = a + 2由 GA2=|GB|2,得(x 2)2 + y2 =x2+(y-a)2故(x 2)2 + j2 =x2 + 22

24、 即點 G 的軌跡 S 為:y? = 4x3 .在平而直角坐標系xOy中，已知橢圓C的方程為 + /=1,設經過點尸（2,0）的直線/交橢圓。于A ,2B兩點,點。（，幾0）.設點尸為橢圓C的左焦點，若點。為的外心，則實數?的值.+ =（1一附 +y【分析】由I得為+=4加，XAX2 = -4m,所以8k2 + 2k28K - 2 z 2 r，解谷攵=一, 1 + 2/8即可求出m值.【詳解】設自線的方程為尸Mx 2）.代入橢圓C的方；,消去得（1 + 2%2卜2-8公丹8二一2 = 0.因為直線/交橢圓C于兩點，所以 = （一8父）2-4（1 + 2公）（8公2）0,設A（XM，8（再,y2

25、），則有+1=8k2l + 2k2MW8k2-2 "l + 2k2設48中點為"（%,%），則有% =y0=k(x0-2) =2k1 + 2?當kwO時，因為QA = Q8,所以。即的川 =4k2r 一？ 1 + 2KOL2Ob2QL2解得 ？=上二.當&=0時，可得 2 = 0,符合機因此加=上二1 + 2父1 + 2 父l + 2k2一戶 m 11由=可匚帚5,解得°金于 因為點。為M45的外心，且尸（一 1,0），所以QA = Q8 = QF.m + y + y2,v2 ,消去丁，得4a4/ = 0,所以X6，也是此方程的兩個根.+ /=1,2所以+

26、工2=47, x1x2 = -4/h .乂因為X +x2 =8k222 k21所以 7 = J = _L1 + 2K 5【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和直線的位置關系, 意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.4.設點M、N分別是不等邊ABC的重心與外心，己知4。，1）、8（0,-1）,且須=彳通.則動點C的軌跡E【答案】? + y2 = （寸。0）【分析】設點c（x, y）,由重心坐標和外心坐標，；r網的幾何性質以及麗=丸而列方程，化簡后求得軌跡E的方程.【詳解】設點C（x，y）,則AABC的重心.村（：是不等邊三角形，x"

27、;0.打咬zsABC的外心N（，0）已知麗 =%而，.MNAB, =?,點N是4ABC的外心，.惘=附，即化簡整理得軌跡七的方程是土 +=1 （移W 0）.，動點C的軌跡E是指焦點在軸上的標準位置的一個橢圓（去掉其頂點）.【點睹】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和曲線的位置關系，考查向量的坐標運算，考查化歸 與轉化的數學思想方法，屬于難題.5. （2019廣西高三期末（理）在直角坐標系xOy中直線y = x + 4與拋物線c： / = 4）,交于a, B兩點.若D為直線y = x + 4外一點，且aABD的外心M在C上，則M的坐標為【答案】（4,4）或（8,16）.t分析】三角形的外心為

28、中垂線的交點，利用中點坐標公式得線段AB中點N的坐標，得到線段A5的中 垂線方程，將中垂線方程與拋物線方程聯立即可得到外心M.x? = 4y【詳解】（1）聯立，得/一4X一16 = 0，設A（X，X）,3（x）,y）則為+占=4,不八=一16.y = x + 4設線段 AB W中點為 N（升）,%）, X。= 2，%=% + 4 = 6.2則線段A8的中垂線方程為y 6 = （X2）,即y = -X + 8.x2 =4v聯立 c得小+4%-32 = 0,解得x = 8或4.y = -x+8從而AABD的外心M的坐標為（44）或（-8,16）.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，將直線方程與

29、拋物線方程聯立，其中韋達定理是解題的關鍵, 同時考查向量知識和三角形外心的應用.26 .如圖，橢圓G：；+y2=i,拋物線。2：犬=2），（0）,設G，02相交于，4、8兩點，。為坐標原點.4(2屈-5)9-1 + V1337-V13若.鋁。的外心在橢圓上，則實數P的值 【答案】上/ 【詳解】由拋物線、橢圓和圓的對稱性可知,2U5的外心為橢圓的上頂點M（0, 1）.則有,憶公小四二M。=1.設X； = 2py°2（玉）°），則有號+片=1,解得,xo +(%T) =17 .（2020福建高三月考（理）設橢圓。：二+t=1的右焦點為尸，過尸的直線/與C相交于48兩點. 43A

30、B設過點A作軸的垂線交C于另一點P,若用是尸48的外心，則島的值為【答案】4【分析】求得A5的中點坐標為（啟了品I），利用弦長公式求出WM，根據題意可得AS的垂直I線方程卜+不£ = 一（“一手用求出點M的坐標，進而求出進而可求解【詳解】由題意知，直線45的斜率存在，且不為0,設宜線x = ty + .22代入；+ 千=1 得（3 /+4）/+6。-9 = 0,i殳'她 M + ”=5 " » 乃乃7 3r+43+4則AB的中點坐標為二；V3r +4 3r + 4所以= g| = gx為叵=型叁1 13 廠+43 廣+4因為"是243的外心，所以

31、M是線段45的垂直平分線與AP的垂直平分線的交點, 四的垂直平分線為，+/=卜一目）：令，得、=出，即M：芽g°12（產+1）所以,1=3/士卜用_卞丁 J23入4明日 3r+333r+4【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關系以及橢圓中的定值問題，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.I 3、8 .在平面直角坐標系xQv中，己知圓0：/+丁=，&>0）,點M, N（1,-3）,點A在， 乙）圓。：/ +），2=5上，直線x = 2與圓。交于E,/兩點（E點在x軸上方）,拋物線），2=2x上的動點，點。為的外心，則線段。長度的最大值為,當線段。長 度最大時，則包戶外接圓的標準

32、方程為【答案】。的最大值為3-6： (x+V3-3)'+/=5-25/3【分析】由x = 2得到E、尸的坐標 表示出線段尸石的中垂線/,令y = 0,得到座尸的外心。的坐標,/、個nr + 2m - 5illP(稀冷在拋物線V =2x上得2 =2m，從而得到工=下嬴-，再由基本不等式，得到其最大值,確定出。點坐標，再求出所外接圓的半徑，得到所求圓的方程.【詳解】把x = 2代入圓。的方程得y = ±l，所以E(2)，F(2,-l),作出線段PE的中垂線/，則尸所 的外心Q為直線/與x軸的交點.直線/的方程為：了in+ 2x-"廣+ 一5 .'當時'&

33、quot;而二分.因為點尸(7,)在拋物線V=2X上，所以2=21所以彳=2(/7?-2)1m1 +2/7z-5 八八八由°c<5得所以0Q="+2？ 一 52(帆-2)12)J;:; 2 - / +2(9.。為雙曲線C:廠)廣屋卞上一點，耳,K分別為c的左、右焦點，尸鳥，耳鳥，若尸百尸2+ 3x2(2-?) 二+ 3 = 3-/.2 V ) 2-73_當且僅當2 ?=時，即? = 2 JJ時取到最大值3 6.2 - tn此時。點坐標為(3 0,0),所以，EF外接圓的半徑r = QE =，5一2的， 所以外接圓的標準方程為1+ 0-3丫 + /=5-2有.【點睛】本

34、題考查求動點的軌跡方程，求三角形外接圓的方程，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.5外接圓半徑與其內切圓半徑之比為大，則C的離心率為()2B. 2C. R或小D. 2 或 3【答案】D 【解析】不妨設P為右支上的點，則|尸用I尸用= 27.i 2雙曲線的半焦即為c ,則|尸周=2，歸用=£ +勿,又RM尸與鳥外接網半徑為卜b2五P”巴內切圓的半徑為.- + 2l亍-2“_2。一2。, / = c n225 b-因為AP4居外接閱半力其內切網半徑之比為一，故五十 "_5 ,27一，故/-54c + 642 =0，所以c = 或c = 3。，即e = 2或e = 3 .故選：D.

35、【點睛】圓錐曲線中的離心率的計算，關鍵是利用題設條件構建關于"消"的一個等式關系.而離心率的取值范惘，則需要利用坐桁的;仁國、兒何量的范圍或點的位置關系構建關于。也C的不等式或不等式組.10. （2018上海市高三模擬）已知橢圓二十二=1和雙曲線三- = 1,其中0用12,若兩者圖像在 16 m412-/7?第二象限的交點為,4,橢圓的左右焦點分別為3、C, T為J5C的外心，則行配的值為.【答案】16. 2222【解析】已知橢圓二+22 = 1和雙曲線工一 = 1,16 m4 12 - 777焦距相等所以焦點相同，設4(c0),C(c,0),c =,AB + AC = S

36、一cA為兩曲線在第二象限的交點，IA8HACI, V J1481=2,AB-AC = -47 -»M 4(工0，'o)，< “0 v 2， y()= ，一 %»1OI A81= 7(xo +c)2 +>o = J16 " X； + 2cx0 +c2+ m = "x： + 2cv0 + 16 = ./(-x0+4)2 = ：/ + 4 = 2 'V 16V16V 44Q一，因為。為BC中點,AJBC的外心丁在y軸上，ot bc = o-一 9.XA78C = (OT - QA)8C = QA-8C = (,yo)(2cO) =

37、16 c【點睛】本題考查求橢圓與雙曲線交點的坐標，考查向量數量積運算，考查計算求解能力，屬于中檔題. 2211.2為雙曲線C：3-; = 1僅0力0)右支上的一點，耳吊分別為左、右焦點，PFH 若APGE的外接圓半徑是其內切圓半徑的3倍，則雙曲線。的離心率為()A. 3-忘B. 4-V3C. 3 + &或3-忘D. 4 + VJ或4一6【答案】C【解析】."!，£用，點Q的坐標為(c,生'；,5!iJPF.= + 2« V a ). aaAPf；居的外接圓半徑4=", =二+ 其內切圓半徑_ %.一工一工一2。_2 2ar2 = c-a乙

38、尸片居的外接圓半徑是其內切圓半徑的3倍，=3G,即，L + “ = 3(c ) 2a化簡可得/ 一 6ac - 7/ = 0即/ 一 6e 7 = 0解得e = 3 土 "故選C【點暗】本題主要考查了計算雙曲線的離心率，結合題意先計算出外接圓和內切圓的半徑，然后結合數量 關系求出結果，屬于中檔題.2212. (2018年四川省棠湖中學三診16題)已知點”(一。,0), A(c,O)(c。)是橢圓二+二=1(。人0) CT b"的左、右焦點，點尸是這個橢圓上位于X軸上方的點，點G是鳥的外心，若存在實數丸，使得G6+GE + XGP = 0,則當尸EF?的面積為8時，。的最小值

39、為.【答案】4 【解析】由G是PFE的外心，則G在y軸的正半軸上，西+碣+痂 =6,1o則帝=一一（西+ 質）=一三而，則P, G, 0三點共線，即P位于上頂點. AA則PB&的面枳s=； xbx2c=bc=8,由a2=b2+c2>2bc=16t則於4,當且僅當b=c=2 時取等號,.a的最小值為4,故答案為4.【點睛】（1）本題主要考查平而向量的共線定理和基本不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析能力<2本題的關鍵是分析出GP = -：（GK+GK） =GO,得到尸，G,。三點共線，即P 幾A位于上頂點. 2213. B,乃分別為雙曲線二一二=1（。，A0）的左、

40、右焦點，點尸在雙曲線上，滿足PE .PF；=0,若 cr 1廠-尸尸1尸2的內切圓半徑與外接圓半徑之比為！，則該雙曲線的離心率為3【答案】m 2【解析】西.電=0，PF1 1 PF2.&PFR的外接網半徑為:樞=c ,.的內切圓的半徑為5. 3設尸2的內切圓的圓心為M,過/作X軸的垂線連接“月，MF則MN、，設 NK=，"，NF2 = n ,則 + = 2r,不妨設尸在第一象限,由雙曲線的定義可知明一桃=小一 = 2/.由可得川= + c, n = c-a, ； PF1工PF?,且“再，加工分別是NP£K，的角平分線，./峭人+乙06耳=£,八,ll MN c cl MN c/ tan ZME F、=. ZA/RF =,NF13m 3(a+ c) - NF2 3(c-o)。 + 。3(c + a) 3(c-“)，93k/23>/2二：=1，化簡可f j =2r-，嘏e =7, :.e =故C案為：1 S2229(c2-tr)【點睛】本題考查了雙曲線的性質，直線與圓的位置關系，屬于中檔題14.數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱為三角形的歐拉線.已知A45C的頂點4（2,0）