第六屆日本算術(shù)奧林匹克決賽試題與解答

1、第六屆日本算術(shù)奧林匹克決賽試題與解答第一試1.用一個盡可能小但比1大的整數(shù)乘以1997，使其乘積中出現(xiàn)5個連續(xù)的9。求這個乘積。（本題17分）2.如圖，有六邊形ABCDEF，已知AB=CDE=F120°，ABBCCD，AFDE，三角形FCE的面積為60m2，x=60度。求六邊形ABCDEF的面積，并請標明必要的記號及角度。（答案8分，必要的記號及角度7分）3.在一次馬拉松長跑比賽中，有100位選手參加。大會準備了100塊標有整數(shù)1到100的號碼布，分發(fā)給每位選手。選手們被要求在比賽結(jié)束時，將自己號碼布上的數(shù)字與到達終點時的名次數(shù)相加，并將這個和數(shù)交上去。問這交上來的100個數(shù)字的末2

2、位數(shù)字是否可能都不相同？請回答可能或不可能，并清楚地說明理由。注：沒有同時到達終點的選手。（本題16分）簡 答1.我們可利用如下的關(guān)系式：1997×（某個數(shù)）=2000×（某數(shù)）-3×（某數(shù)）如果后五位數(shù)是99990時，應有2000 ×（某數(shù)）×××0003 ×（某數(shù)） ×001 ××9 9 999那么這時所求會很大。如果除去個位外，后五位數(shù)是99999，那么應用：2000 ×（某數(shù)）×××0003 ×（某數(shù)） ×00？ ？9

3、 9 9 99？經(jīng)試算可得某數(shù)為2003。即 2003×1997=3999991為最小。2.過點B作DBCD，使DB=DE，連DF，DC。 可證明DBCDEC，DBFFAF 所求面積為120cm2。3.不可能。因為已知沒有同時到達的選手，所以名次是從第1名排到第100名，共100個名次，100位選手，編號為1100，不管哪位選手得到名次如何，交上來的100個數(shù)字的末兩位數(shù)字肯定是00，01，99，它們的和的末兩位數(shù)字為50。而各位選手的編號加上各位選手名次的和為（1+2+，100）+（1+2+100）9900，末兩組數(shù)字為00，即0050，所以交上來的100個數(shù)字的末兩位數(shù)不可能都不

4、相同。第二試1.有一個立方體，它的六個面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來擺放這個立方體，并從不同的角度拍下照片。（1）洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來，請問最多可以選出多少張照片？（4分）（2）觀察（1）中選出的照片，發(fā)現(xiàn)各張照片里的紙條數(shù)各不相同，問整個立方體最少貼有多少張紙條？（15分）2.如圖1，用125個1cm×1cm×1cm的小立方體堆成一個5cm×5cm×5cm的大立方體。現(xiàn)在通過A、B、C三點的平面切斷這個大立方體，請回答下面兩個問題：（1）切斷面是什么形狀？回答出名稱。（3分）

5、（2）這個平面切到了多少個小立方體？注：如圖2，以下三種情況只接觸到了小立方體的頂點、邊和面，不計入在內(nèi)。（10分）3.有從一年級到六年級的兒童各一人，排成一列領(lǐng)取糖果。如果一個高年級的兒童站在低年級的兒童前面，那么高級年兒童后面所有比他年級低的兒童都會各有一次“怨言”。在一種排列順序里，我們把所有“怨言”的總數(shù)叫“怨言數(shù)”。（注：一個人可以有兩次以上的“怨言”。）例如：下面的排列，其“怨言數(shù)”就是4。（前） “怨言”1年級生 0次4年級生 0次3年級生 1次2年級生 2次6年級生 0次5年級生 1次“怨言數(shù)”4次問：“怨言數(shù)”為7的排列順序有幾種？（答案請寫在解答紙上）（20分）簡答1.（1）1面的6種,2面的12種,3面的8種,即共6+12+8=26(張)（2）單獨拍的1種，拍2面的2種，拍3面的4種，共計9種拍攝方法。26張上的字條合計為：1+2+3+26=351，351÷9=39。即最低需要39張紙條。2.（1）正