332簡單的線性規(guī)劃

1、3.3二元一次不等式二元一次不等式(組組)與平面區(qū)與平面區(qū)域域及及簡單的線性規(guī)劃 第一講第一講 二元一次不等式表二元一次不等式表示平面區(qū)域示平面區(qū)域簡單的線性規(guī)劃“簡單的線性規(guī)劃簡單的線性規(guī)劃”是在學(xué)習(xí)了直線方程的基礎(chǔ)上，介紹直線是在學(xué)習(xí)了直線方程的基礎(chǔ)上，介紹直線方程的一個簡單應(yīng)用，這是大綱對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的重視方程的一個簡單應(yīng)用，這是大綱對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的重視.線性規(guī)線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財、物、時、空等資劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財、物、時、空等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)

2、濟(jì)效益最大的經(jīng)濟(jì)效益.它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)常管用較廣泛的一個分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)常管理等許多方面的實際問題理等許多方面的實際問題. 簡單的線性規(guī)劃 中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實際問題提供了一種重要

3、的解題方法數(shù)數(shù)學(xué)建模法學(xué)建模法.通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力。解決實際問題的能力。一、引例：一、引例：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲兩種產(chǎn)品需要甲兩種產(chǎn)品需要A種原料種原料4t、 B種原料種原料12t，產(chǎn)生的利潤為產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需要萬元；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需要A種原料種原料1t、 B種原料種原料9t，產(chǎn)生的利潤為，產(chǎn)生的利潤為1萬萬元?，F(xiàn)有庫存

4、元?，F(xiàn)有庫存A種原料種原料10t、 B種原料種原料60t，如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？A種原料 B種原料利潤甲種產(chǎn)品4 122 乙種產(chǎn)品1 9 1現(xiàn)有庫存10 60 在關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：在關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為x、y0060912104yxyxyxyxP 2利潤利潤何時達(dá)到最大？何時達(dá)到最大？二元一次不等式表示的平面區(qū)域Oxy 在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次方程x+y-1=0的解為坐標(biāo)的點的集合(x，y)|x+y-1=0是經(jīng)過點(0，1)和(1，0)的一條直線l，那么以二元一次不等式x+y-10的解為坐標(biāo)的點的

5、集合(x，y)|x+y-10是什么圖形? 11x+y-1=0探索結(jié)論 結(jié)論：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域。不等式 ax+by+c0 x+y-10 x+y-10表示這一直線表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c0時常把原點作為此特殊點時常把原點作為此特殊點二元一次不等式表示平面區(qū)域例例1 畫出不等式2x+y-60 xyo-34二元一次不等式表示平面區(qū)域例例2 畫出不等式組表示的平面區(qū)域。3005xyxyxOxy35x-y+5=0 x+y=0 x=3二元一次不等式表示平面區(qū)域練習(xí)練習(xí): 畫出不等

6、式組表示的平面區(qū)域。53006xyyxyx(1)Oxy1 1例例3：根據(jù)所給圖形，把圖中的平面區(qū)域：根據(jù)所給圖形，把圖中的平面區(qū)域用不等式表示出來：用不等式表示出來：(2)yxO23yxO234 2 (3)二元一次不等式表示平面區(qū)域小結(jié) 由于對在直線由于對在直線ax+by+c=0同同一側(cè)所有點一側(cè)所有點(x，y)，把它的坐標(biāo)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入代入ax+by+c，所得的實，所得的實數(shù)的符號都相同，故只需在這條數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一特殊點直線的某一側(cè)取一特殊點(x0，y0)以以ax0+by0+c的正負(fù)的情況便可的正負(fù)的情況便可判斷判斷ax+by+c0表示這一直線表示這

7、一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c0時常把原點作為此特殊點時常把原點作為此特殊點2、畫圖時應(yīng)力求準(zhǔn)確，否則將得不、畫圖時應(yīng)力求準(zhǔn)確，否則將得不到正確結(jié)果。到正確結(jié)果。1、若不等式中不含、若不等式中不含0，則邊界應(yīng)畫成，則邊界應(yīng)畫成虛線，否則應(yīng)畫成實線。虛線，否則應(yīng)畫成實線。應(yīng)該注意的幾個問題：應(yīng)該注意的幾個問題：二元一次不等式表示平面區(qū)域作業(yè)：P93 習(xí)題 3.3 1簡單的線性規(guī)劃第二講第二講 線性規(guī)劃線性規(guī)劃復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)判斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法Oxy11x+y-1=0 x+y-10 x+y-10表示這一直線表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)哪

8、一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c0時常把原點作為此特殊點時常把原點作為此特殊點復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1.在同一坐標(biāo)系上作出下列直線在同一坐標(biāo)系上作出下列直線:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行平行的直線與的直線與形如形如結(jié)論結(jié)論 yxttyxxYo2.作出下列不等式組的所表示的平面區(qū)域作出下列不等式組的所表示的平面區(qū)域1255334xyxyx55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy問題問題1 1：x 有無最大（?。┲?？有無最大（小）值？問題

9、問題2 2：y 有無最大（?。┲?？有無最大（?。┲担繂栴}問題3 3：2 2x+y 有無最大（?。┲?？有無最大（?。┲担?255334xyxyx二二.提出問題提出問題把上面兩個問題綜合起來把上面兩個問題綜合起來:1255334xyxyx設(shè)設(shè)z=2x+y,求滿足求滿足時時,z的最大值和最小值的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的區(qū)域所表示的區(qū)域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作直線作直線Rttyxll ,2:. 30

10、直線直線平行的平行的作一組與直線作一組與直線直線直線L L越往右平越往右平移移,t,t隨之增大隨之增大. .以經(jīng)過點以經(jīng)過點A(5,2)A(5,2)的的直線所對應(yīng)的直線所對應(yīng)的t t值值最大最大; ;經(jīng)過點經(jīng)過點B(1,1)B(1,1)的直線所對應(yīng)的的直線所對應(yīng)的t t值最小值最小. .3112,12252minmax ZZ線性規(guī)劃問題：設(shè)z=2x+y，式中變量滿足下列條件： 求z的最大值與最小值。 1255334xyxyx 目標(biāo)函數(shù)（線性目標(biāo)函數(shù)）線性約束條件任何一個滿足任何一個滿足不等式組的不等式組的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最優(yōu)解最優(yōu)解線性規(guī)線性規(guī)劃問題劃問題線

11、性規(guī)劃線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 可行解 ：滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解組成的集合叫做可行域； 最優(yōu)解 ：使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)線性規(guī)劃練習(xí)練習(xí)1: 解下列線性規(guī)劃問題： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：11yyxxy解線性規(guī)劃問題的一般步驟：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解所對應(yīng)的點；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。探索結(jié)

12、論2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：當(dāng)x=-1,y=-1時，z=2x+y有最小值3.當(dāng)x=2,y=-1時，z=2x+y有最大值3.線性規(guī)劃例例2 解下列線性規(guī)劃問題： 求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：探索結(jié)論x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：當(dāng)x=0,y=0時，z=300 x+900y有最小值0.當(dāng)x=0,y=125時，z=300 x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyx練習(xí)練習(xí)2、已知、已知求求z=3x+5y的最大值和最小值。的最大值和最小值。153y5x35y-x1xy551

13、Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)11;17minmax ZZ解線性規(guī)劃問題的步驟：解線性規(guī)劃問題的步驟： （2 2）移移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行 線中，利用平移的方法找出與可行域有公共線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；點且縱截距最大或最小的直線； （3 3）求求：通過解方程組求出最優(yōu)解；：通過解方程組求出最優(yōu)解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （1 1）畫畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；：畫出線性約束條件所表示的可行域； 小小 結(jié)結(jié) 幾個結(jié)論：幾個結(jié)論：1

14、、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话恪⒕€性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得。處取得。2、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義在在y軸上的截距或其相反數(shù)。軸上的截距或其相反數(shù)。練習(xí)練習(xí)3解下列線性規(guī)劃問題：求解下列線性規(guī)劃問題：求z=2x+y的最大值，的最大值，使式中使式中x、y滿足下列條件：滿足下列條件：探索結(jié)論, 0, 1yxyyx答案:當(dāng)x=1，y=0時，z=2x+y有最大值2。線性規(guī)劃 作業(yè)線性規(guī)劃 作業(yè)練習(xí)練習(xí)4 解下列線性規(guī)劃問題：

15、求z=3x+y的最大值，使式中x、y滿足下列條件：探索結(jié)論3x+y=03x+y=29答案：當(dāng)x=9,y=2時，z=3x+y有最大值29.00672432yxyyxyx簡單的線性規(guī)劃第三講第三講 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用線性規(guī)劃的實際應(yīng)用解線性規(guī)劃問題的步驟：解線性規(guī)劃問題的步驟： （2 2）移移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行 線中，利用平移的方法找出與可行域有公共線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；點且縱截距最大或最小的直線； （3 3）求求：通過解方程組求出最優(yōu)解；：通過解方程組求出最優(yōu)解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （

16、1 1）畫畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；：畫出線性約束條件所表示的可行域；一一.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧使使z=2x+y取得取得最大值最大值的可行解的可行解 ，且最大值為且最大值為 ；復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1.已知二元一次不等式組已知二元一次不等式組x-y0 x+y-10y-1（1）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域；）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域；滿足滿足 的的解解(x,y)都叫做可行解；都叫做可行解；z=2x+y 叫做叫做 ；（2）設(shè)）設(shè)z=2x+y，則式中變量則式中變量x,y滿足滿足的二元一次不等式組叫做的二元一次不等式組叫做x,y的的 ；y=-1x-y=0 x+y=12x+y=0返回返回(-1,-1)(2,

17、-1)3xy0使使z=2x+y取得取得最小值最小值的可行解的可行解 ，且最小值為且最小值為 ；這兩個這兩個可行解可行解都叫做問題的都叫做問題的 。.23,2020,. 1的最小值和最大值求滿足約束條件已知yxzyyxyxyxxyO2 y0 yx02 yx練習(xí)練習(xí)變式z=-3x+2y線性規(guī)劃的實際應(yīng)用例例1 某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級子棉噸需耗一級子棉2噸、二級子棉噸、二級子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉一級子棉1噸、二級子棉噸、二級子棉2噸，每噸，每1噸甲種棉紗的利潤是噸甲種棉紗的利潤是600元，每

18、元，每1噸乙種棉紗的利潤是噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產(chǎn)這元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二噸、二級子棉不超過級子棉不超過250噸噸.甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確精確到噸到噸)，能使利潤，能使利潤 總額最大總額最大?線性規(guī)劃的實際應(yīng)用解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：1、理清題意，列出表格；、理清題意，列出表格；2、設(shè)好變元，列出線性約束條件（不、設(shè)好變元，列出線性約束條件（不 等式組）與目標(biāo)函數(shù)；等式組）與目標(biāo)函數(shù)；3、準(zhǔn)確作圖；、準(zhǔn)確作圖；4、根據(jù)題設(shè)精度計算。、根據(jù)題設(shè)精度計算。線性規(guī)

19、劃的實際應(yīng)用產(chǎn)品 資源甲種棉紗（噸）x乙種棉紗（噸）y資源限額（噸）一級子棉（噸）21300二級子棉（噸）12250利潤（元）600900例例1 某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一噸需耗一級子棉級子棉2噸、二級子棉噸、二級子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二噸、二級子棉級子棉2噸，每噸，每1噸甲種棉紗的利潤是噸甲種棉紗的利潤是600元，每元，每1噸乙種棉紗的利噸乙種棉紗的利潤是潤是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過不超過30

20、0噸、二級子棉不超過噸、二級子棉不超過250噸噸.甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少多少(精確到噸精確到噸)，能使利潤總額最大，能使利潤總額最大?線性規(guī)劃的實際應(yīng)用解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，則0025023002yxyxyxZ=600 x+900y作出可行域，可知直線Z=600 x+900y通過點M時利潤最大。解方程組25023002yxyx得點M的坐標(biāo)x=350/3117y=200/367答：應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為117噸、67噸，能使利潤總額達(dá)到最大。線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 例例2 已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別

21、為200萬噸和萬噸和300萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能萬噸煤，西車站每年最多能運運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為格分別為1元元/噸和噸和1.5元元/噸，乙煤礦運往東車站和西車噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為站的運費價格分別為0.8元元/噸和噸和1.6元元/噸噸.煤礦應(yīng)怎樣煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運方案，能使總運費最少編制調(diào)運方案，能使總運費最少?線性規(guī)劃的實際應(yīng)用煤礦 車站甲煤礦（元/噸）乙煤礦（元/噸）

22、運量（萬噸）東車站10.8280西車站1.51.6360產(chǎn)量（萬噸）200300 例例2 已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和萬噸和300萬噸，萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為和西車站的運費價格分別為1元元/噸和噸和1.5元元/噸，乙煤礦運往東車噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為站和西車站的運費價格分別為0.8元元/噸和噸和1.6元元/噸噸.煤礦應(yīng)怎樣編煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運方案，能使總運費最少制調(diào)運方案，能使總運費最少?線性規(guī)劃的實際應(yīng)用360)300()20