9-3二重積分的應(yīng)用 (2)ppt課件

1、1;.一、問題的提出一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中. . DdyxfU ),( d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要計算的某個量若要計算的某個量U對于閉區(qū)域?qū)τ陂]區(qū)域D具有可加性具有可加性(即當閉區(qū)域即當閉區(qū)域D分成許多小閉分成許多小閉區(qū)域時，所求量區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在閉區(qū)，并且在閉區(qū)域域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，其中的形式，其中 在在

2、 內(nèi)這個內(nèi)這個 稱為所求量稱為所求量U的的元素元素，記為，記為 ，所求量的積分表達式為所求量的積分表達式為dU2;.二、曲面的面積二、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz3;.設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在,Dd 設(shè)設(shè)小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點點.),(,(的的切切平平面面上上過過為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則則有有，為為；截截切切平平面面為為柱柱面面，截截曲曲面面軸軸的的小小于于邊邊界界為為準準線線，母母線線平平行行以以如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o 4;.,面面上上的的投投影影在在為為xoydAd

3、 ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz 22)()(15;.設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得6;.例例1 求半徑為求半徑為a的球的表面積。的球的表面積。解：解：222zaxy則上半球面在則上半球面在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域D為為222:

4、D xya由于由于222222,zxzyxyaxyaxy取直角坐標系，使上半球面的方程為取直角坐標系，使上半球面的方程為7;.則則222221.zzaxyaxy由于其在圓周由于其在圓周222xya上不連續(xù)上不連續(xù),故先取閉區(qū)域故先取閉區(qū)域2221:,(0)Dxybba為積分區(qū)域為積分區(qū)域,再令再令ba取極限取極限,即得所求即得所求.8;.11222DaAdxdyaxy利用極坐標利用極坐標,有有1:0,02Db121222220022200222()bDbaaAdxdyddaxyaaaddaa aab9;.則半個球面的表面積為則半個球面的表面積為2221limlim 2()2babaAa aab

5、a從而球面的表面積為從而球面的表面積為2124.AAa10;.由由對對稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx11;.面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 12;.),(yx三、平面薄片的質(zhì)心三、平面薄片的質(zhì)心13;. 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，現(xiàn)求平面薄片的質(zhì)心的坐

6、標上連續(xù)，現(xiàn)求平面薄片的質(zhì)心的坐標在在D上任取一直徑很小的閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域d（也表其面積）（也表其面積）任取任取( , )x yd由由( , )x y的連續(xù)性知其在的連續(xù)性知其在d上變化很小上變化很小,d的質(zhì)量近似于的質(zhì)量近似于( , )dMx y d將其集中于一個質(zhì)點將其集中于一個質(zhì)點(x,y)處處,則則故故14;.,yxMM的微元的微元(元素元素),yxdMdM分別為分別為( , )( , )yxdMxdMxx y ddMydMyx y d將微元在將微元在D上積分上積分,得得( , ),( , ),( , )yDDxDMx y dMxx y dMyx y d15;.當薄片是均

7、勻的，質(zhì)心稱為當薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 則質(zhì)心坐標為則質(zhì)心坐標為16;.例例2 設(shè)設(shè)D為兩圓為兩圓2sin ,4sin 之間的之間的閉區(qū)域閉區(qū)域,求求D的形心的形心.24Cxy解解:( , )C x y必在必在y軸上軸上,即即0 x 又由又由1DyydA因因D關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱,故形心故形心17;.D的面積為兩圓面積之差的面積為兩圓面積之差,即即222143A:2sin4sin ,0D4sin2402sin00sin56sinsin356(cos44cos

8、23)/873DDydd ddddd 18;.故故177.33DyydA故所求的形心為故所求的形心為7(0, ).3C19;.解解先先求求區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy20;. 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐標標為為 ),(65 a.由由于于區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于直直線線ax 對對稱稱 ，21;.四、平面薄片

9、的轉(zhuǎn)動慣量四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量221()nziiiiIm xy22;.在在D上任取一直徑很小的閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域d（也表其面積）（也表其面積）任取任取( , )x yd由由( , )x y的連續(xù)性知其在的連續(xù)性知其在d上變化很小上變化很小,故故d的質(zhì)量近似于的質(zhì)量近似于( , )dMx y d將其集中于一個質(zhì)點將其集中于一個質(zhì)點(x,y)處處,則則23;.則轉(zhuǎn)動慣量的微元則轉(zhuǎn)動慣量的微元(或元素或元素)為為2222( , ),( , ),() ( , ).xyzdIyx y ddIxx y ddIxyx y d將這些微元在將這些微元在D上積分上積分,得得,),(2 DxdyxyI

10、 薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量x24;.),(2 DydyxxI 薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量y薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量z22() ( , ).zDIxyx y d25;.例例 4 4 設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長長分分別別 為為a、b，求求這這三三角角形形對對其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量.解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對對y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為,2dxdyxIDy 26;. babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：對對x軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為dxdyyIDx 2 .1213 ab 27;.幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）六、小結(jié)六、小結(jié)28;.思考題思考題.)0(cos,cos之間的均勻薄片的形心之間的均勻薄片的形心求位于兩圓求位于兩圓babrar 29;.ab xyo薄片關(guān)于薄片