第5講 曲線曲面造型基礎(chǔ)-1

1、 5.1曲線曲面造型概述 5.1.1 曲線曲面造型研究內(nèi)容 5.1.2 曲線曲面造型發(fā)展歷程5.2曲線曲面表示方法5.2.1 曲線曲面的基本概念5.2.2 曲線曲面的解析表達5.2.3 曲線曲面的參數(shù)化表達5.3Bezier曲線5.3.1 Bezier曲線表示方法5.3.2 三次Bezier曲線計算與繪制5.3.3 Bezier曲線基本性質(zhì)5.3.4 Bezier曲線拼接5.3.5 任意階次Bezier曲線（選學）第第5 5講講 曲線曲面造型基礎(chǔ)曲線曲面造型基礎(chǔ) 曲線曲面概述及曲線曲面概述及BezierBezier曲線曲線 1掌握曲線曲面基本概念2熟練掌握CAD系統(tǒng)中Bezier曲線表示方法本

2、章目的本章目的 5.1.1曲線曲面研究內(nèi)容工業(yè)產(chǎn)品的表面形狀大致可分為兩類：工業(yè)產(chǎn)品的表面形狀大致可分為兩類：第一類：僅由初等解析曲面(例如平面、柱面、錐面、球面、環(huán)面等)組成，大多數(shù)機械零件屬于此類，可用機械制圖的方法完全清楚表達和傳遞所包含的全部形狀信息。5.1曲線曲面造型概述 第二類：是不能由初等解析曲面組成，而以復雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機、汽車、船舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機械制圖是不能表達清楚的，成為工程師們首要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。 曲面造型(Surface Modeling)是計算機輔助幾

3、何設(shè)計 (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和計算機圖形學的一項重要內(nèi)容，主要研究： 曲線曲面的數(shù)學表示 工程中曲線曲面的設(shè)計方法 曲線曲面的顯示技術(shù) 曲線曲面的品質(zhì)分析代數(shù)解析曲面適合構(gòu)造簡單曲面，但曲面方程表達受坐標變換影響，不適合構(gòu)造自由曲面；不同類型曲面拼接光滑連續(xù)難以保證；不同曲面求交公式不一，程序?qū)崿F(xiàn)量大；工程設(shè)計交互性差，不能滿足復雜曲面工程設(shè)計的要求。CAD系統(tǒng)中除簡單代數(shù)曲面外，必須具有強大的自由曲線和曲面造型能力。自由曲線和曲面因不能由畫法幾何與機械制圖方法表達清楚，成為工程師們首要解決的問題。人們尋求用數(shù)學方法唯一定義自由曲線和曲面

4、的形狀。 5.1.2曲線曲面造型發(fā)展歷程曲面造型起源于汽車、飛機、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)過四十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(Rational B-spline Surface)為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計和隱式代數(shù)曲面(Implicit Algebraic Surface)表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)這二種手段為骨架的幾何理論體系。 早期數(shù)學上曲線常以代數(shù)多項式表達為主（Polynomial equations），如：30iii332210u

5、auauauaaz(u)y(u)x(u)P(u)3210,aaaa為多項式系數(shù)，沒有明顯的幾何意義。因此傳統(tǒng)的數(shù)學表示方法控制幾何形狀不直觀，不易用于工程設(shè)計。 早在1963年，美國波音飛機公司的佛格森（Ferguson）引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。 1964年，MIT孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。 1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面

6、的方法。 1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。 00/00 )()()()()( 0 1)(111, 111,10,kttuNutttuNtuuNtutuNikikikiikikiikiiii其它若nikiiuNu0,)()(PCniniiuBu0,)()(PPmjmjninijivBuBvu0,0,)()(),(PPNi+1，3（u）Ni+2，3（u）Ni+3，3（u）Ni，3（u）u10101010101010titi3ti1ti2ti4ti5ti6ti7 1975年，美國錫拉丘茲（Syra

7、cuse）大學的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期，皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條(NURBS)方法，并已成為當前曲線和曲面造型的主流行技術(shù)。00/00k tt(u)u)N(ttt(u)Nt(u(u)N 0tut 1(u)N1i1ki1k1,i1kiiki1ki,iki,1iii,0其它若 m0in0jlj,ki,ji,m0in0jlj,ki,ji,ji,(v)(u)NN(v)(u)NNPv)(u,P 非均勻有理B樣條（NURBS）成為當前大多數(shù)商用CAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達技術(shù)。Solid Edge CATIAUG

8、NXPro/EInventor 插值插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等(Interpolation)。逼近逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線(Approximation)。擬合擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合（fitting）。InterpolationApproximation插值插值(interpolation)逼近逼近(Approximation)5.2 曲線曲面的表示方法 曲線：活動

9、標架、弧長、位置矢、切矢、主法矢、副法矢、曲率、 撓率、 法平面、密切面、從切面。曲面：法矢、切平面、法曲率高斯曲率、主曲率平均曲率等。 5.2.2曲線曲面的解析表達在高等數(shù)學中，解析曲面表示有顯式和隱式之分：顯式表示：如曲面方程 z = f (x，y)，式中每個z值對應唯一的x、y值，如圖所示。該表示計算非常方便，但無法描述多值或封閉面（如橢球）。隱式表示：如曲面 f (x, y，z) = 0，該表示不便于由已知參量 x，y 計算 z 值，但能表達多值于封閉曲面。如圖所示。 曲線參數(shù)表達：曲線參數(shù)表達： 空間曲線上一點p的坐標被表示成參數(shù)u的函數(shù)： x=x(u), y=y(u), z=z(u

10、) 合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)： P P(u) = x y z = x(u) y(u) z(u) 例如：由端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為： P P(t) = P P1 + ( P P2 - P P1 )u u0, 15.2.3曲線曲面的參數(shù)表達 三維空間曲面通常表示成雙參數(shù)u和v的矢函數(shù)： P(u,v) = X Y Z = x(u,v) y(u,v) z(u,v) 參數(shù)區(qū)間u1uu2、v1vv2所表示的參數(shù)平面上為一個矩形基本概念：切矢、法矢、切平面、法曲率、主方向、高斯曲率、平均曲率XYZ曲面參數(shù)空間曲面參數(shù)空間曲面三維歐氏空間曲面三維歐氏空間曲面切矢及法矢曲面切矢及法矢切

11、平面及法曲率切平面及法曲率 1. 1.易滿足易滿足幾何不變性幾何不變性要求要求，可對參數(shù)方程直接進行幾何變換，計算效率高幾何不變性：曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標系的選 擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移等圖形變換下不變的性質(zhì)。3.有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。一條二維三次曲線的顯式表示為：（4個系數(shù)控制曲線形狀）而二維三次曲線的參數(shù)表達式為：（8個系數(shù)控制曲線形狀）dcxbxaxy23 1 , 0uuuuuuu)u(432231432231bbbbaaaaP2.易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。 4.易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。5.易于計算曲線、曲面上的點。而隱式方程需求解非線性或超

12、越方程，另外，求導、等距的計算也被簡化；6.參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學公式處理幾何分量。 定義：給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則定義的n次Bezier參數(shù)曲線上各點坐標的插值公式是： 其中: 1）參數(shù)取值范圍取值范圍【0 0，1 1】，或稱參數(shù)區(qū)間參數(shù)區(qū)間； 2）P Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形（控制多邊形）特征多邊形（控制多邊形）； 3）Bi,n(u)是n次Bernstein基函數(shù)基函數(shù)，也稱調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。 1 ,0 )(

13、)(0,uuBuniniiPPiniinniuuCuB)1()(,5.3.1Bezier曲線表示方法5.3Bezier曲線 5.3.2、三次Bezier曲線計算與繪制由P0、P1、P2、P3四個控制點定義的3次Bezier曲線，其基函數(shù)為：333,232,231,330,uuBu13uuBu13uuBu1uB上式分別展開為： 3,2,1 ,0iu1uCuBi3ii33, i三次Bezier基函數(shù)曲線圖示 由此，所定義的由此，所定義的3 3次次BezierBezier曲線則進一步表示為：曲線則進一步表示為： UMPPPPPPPPPPP321000010033036313311uuu uBuBuB

14、uBuBu23T32103,33,23,13,03, i30iiP0P1P2P3P(0.5)uu0u1u0. 5BezierBezier曲線參數(shù)空間到歐式空間的映射關(guān)系曲線參數(shù)空間到歐式空間的映射關(guān)系 三次Bezier曲線計算及繪圖方法在參數(shù)空間t0,1進行均勻插值，計算對應的坐標點，然后連接成線，這條線就是折線逼近的Bezier曲線 。 32103210210100321032102101003322103322103322120333221203y3y3yyB3y6y3yB3y3yByBx3x3xxA3x6x3xA3x3xAxAtBtBtBBtytAtAtAAtxytyt13tyt13ty

15、t1tyxtxt13txt13txt1tx其中達：進一步展開為多項式表P0P1P2P3P(0.5)想一想：根據(jù)第2講的內(nèi)容，怎樣繪制復雜曲線？ 三次Bezier曲線計算及繪圖方法編程實現(xiàn) 也可寫成矩陣表達式，表達更通用，更易編程。式中若求PX（t）的值，則取Pi的x坐標進行計算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具體如下： Px（t） B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0 x P1x P2x P3x T Py（t） B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0y P1y P2y P3y T Pz（t） B0,3(t) B1,3(t) B2

16、,3(t) B3,3(t) P0z P1z P2z P3z T 注意：上式基函數(shù)的計算僅需一次，不必三次。P0P1P2P3P(0.5)例：利用上面的計算方法可分別求出 t0.0, 0.1, 0.2, , 0.9, 1.0 時曲線上的點，依次連接相鄰兩點為直線段，即可繪出近似的曲線圖形。 特征控制點對Bezier曲線的影響A）改變控制點的影響）改變控制點的影響B(tài)）多重控制點的影響）多重控制點的影響C）構(gòu)造封閉曲線）構(gòu)造封閉曲線D）構(gòu)造光滑封閉曲線）構(gòu)造光滑封閉曲線 三次三次BezierBezier曲線演示曲線演示演示軟件：演示軟件：VCADVCAD 1 1） 幾何變換不變性幾何變換不變性 即對其

17、曲線進行平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換不改變曲線形狀uBuBu3, i30ii3, i30iiPTPTPT5.3.3、Bezier曲線性質(zhì)（以三次Bezier曲線為例） 2 2） 端點插值性質(zhì)端點插值性質(zhì) 曲線過控制頂點的首末頂點。將u0和1分別代入表達式P P( u )中可知P P( 0 ) = P P0, P P( 1 ) = P P3 。 3 3） 端點切矢性質(zhì)端點切矢性質(zhì) 曲線在首末兩點相切于多邊形的起、止邊。對三次Bezier曲線求一階導數(shù): 230131,30PPPPPP 0P 1P 0P 1P 5.凸包性：即曲線不會越出特征多邊形的頂點所圍成的凸包即曲線不會越出特征多邊形的頂點所圍成的凸包

18、 4 4） 對稱性：對稱性： 將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q36.定比分割特性：后面詳細介紹 BezierBezier曲線具有可分割特性。曲線具有可分割特性。例如，給定三次Bezier曲線（參數(shù)域 t0,1）上t1/3的點，把定義域分成長度為1/3 : (1-1/3)的兩段：1）依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分割點就是第一級遞推生成的中間頂點P01、P11、P21；2）對這些中間頂點構(gòu)成的多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點P02、P12 ；3）重復進行下去，直到第3級遞推得到一個中間頂點P

19、03，即為所求曲線上的點 P（t 1/3 ）。其過程如下圖所示。 上述分割特性隱含說明：任一三次Bezier曲線均可被分割為兩段三次Bezier曲線。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為0,1/3;第二段由P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為1/3,1,分割后曲線形狀不變。 上述Bezier曲線分割特性可用如下Bezier曲線的遞推公式進行計算：上述公式表明Bezier曲線的計算可由線性遞推計算得出，即高次計算可轉(zhuǎn)化為線性計算，有利于提高計算速度。 三次Bezier曲線分割特性的動畫演示： 5.3.4、Bezier曲線拼接工程實際中不可能用一條Bezier曲線擬合出復雜

20、的曲線，但可采用分段Bezier曲線拼接成復雜曲線。工程應用中，希望各段曲線在連接處光滑。函數(shù)連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)性：利用函數(shù)的可微性，把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到 n 階連續(xù)導矢，這類光滑度稱之為C n 或 n 階參數(shù)連續(xù)性（也稱函數(shù)連續(xù)性）。思考提問：思考提問：1）參數(shù)化表達曲線，一階函數(shù)連續(xù)曲線一定光滑嗎 ? ?2）參數(shù)化表達曲線，光滑一定要至少滿足一階函數(shù)連續(xù)嗎 ? 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性組合曲線在連接處滿足不同于C n的某一組約束條件，稱為具有 n 階幾何連續(xù)性，簡記為G n。G0幾何連續(xù)性，與C0參數(shù)連續(xù)性的定義相同G1幾何連續(xù)性，一階導數(shù)在鄰接點處成比例G2幾何連續(xù)性，相鄰曲線

21、段在鄰接點處一階導數(shù)成比例，且曲率相等曲線p(t)和q(t)端點相同，在端點處切矢量的方向也相同，但切矢量的模長不同則形狀不同。 下圖所示，二條曲線p(t)和q(t)，參數(shù) t0,1。若要求結(jié)合處達到 G 0 連續(xù)（或C 0連續(xù)），則兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)，即： p(1) = q(0)p(1)q(0)參數(shù)曲線參數(shù)曲線 G0 連續(xù)連續(xù)幾何意義：幾何意義：理論上G 0 連續(xù)與C 0連續(xù)是等價的，上圖中也可清楚說明。圖（圖（a a）圖（圖（b b） 可見，當 1 時，G 1 連續(xù)與 C 1 連續(xù)完全一致。 若要求在結(jié)合處達到 G 1 連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 G 0 連續(xù)的條件下，并有公共

22、的切矢，如下圖所示：Q (0)P (1)P(1)Q(0)參數(shù)曲線參數(shù)曲線G1 連續(xù)幾何意義：連續(xù)幾何意義：G 1 連續(xù)條件可用下式表達： 圖（圖（a a）圖（圖（b b） 若要求在結(jié)合處達到G 2 連續(xù)，則兩條曲線在結(jié)合處在滿足G 1 連續(xù)的條件下，需有公共的曲率矢，于是： 由公共曲率矢得Q”(0)、P”(1)和P(1) 必須共面，即：即Q”(0)在P”(1)和P(1)確定的平面內(nèi)，為任意常數(shù)。當 1，0，G 2 時連續(xù)就成為C2 連續(xù)。以弧長作參數(shù)，C1 連續(xù)保證 G2 連續(xù)，但反過來不行。也就是說C n 連續(xù)條件比G n 連續(xù)條件更苛刻。參數(shù)曲線參數(shù)曲線G2 連續(xù)幾何意義（選學）連續(xù)幾何意

23、義（選學）將 代入左式得： 兩段三次Bezier曲線一階幾何連續(xù)拼接條件： 下圖為兩段三次Bezier曲線一階幾何連續(xù)拼接：Q1由圖中可看出，Q1的移動只要滿足共線要求即可滿足二曲線的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)），而不需滿足P（1）Q（0）（即一階導數(shù)連續(xù)）。也就是說一階幾何連續(xù)比一階導數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達的優(yōu)勢之一。回答前面第回答前面第2 2問：問：參數(shù)化表達曲線，光滑一定要至少滿足一階函數(shù)連續(xù)嗎 ? 5.3.5 任意階次Bezier曲線（選學）定義：給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則定義的n次Bezier參數(shù)曲線上各點坐標的插

24、值公式是： 1 ,0 )()(0,ttBtniniiPPt 0, 1 1）正性:2）端點性質(zhì): 3）權(quán)性:本質(zhì)上n次伯恩斯坦（Bernstein）基函數(shù)就是二項式t+(1-t)n的展開式。 4）對稱性)1()(,tBtBninni)1 ()1 (1 ()1 ()1 ()(,)(,tBttCttCtBnininnininniniinni5）遞推特性：即高次基函數(shù)是兩個低1次調(diào)和函數(shù)的線性組合，其計算過程表示為： n次Bezier曲線（右圖為7次）具有和三次Bezier曲線相同的幾何特性。端點性質(zhì)：曲線過控制頂點的首末頂點，分別令 t = 0 和 1 可得：切矢與端點切矢：首末兩端切矢相切于控制多

25、邊形的起止邊，即：N次Bezier曲線幾何特性: nn, in0ii0n, in0iiP1BP1PP0BP0P )P-P(1BP1P)P-P(0BP0P1-nnn, in0ii01n, in0iinn對稱性：曲線將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線 凸包性質(zhì)：凸包性質(zhì)：曲線不會越出特征多邊形頂點所圍成的凸多邊形（由正權(quán)性保證）升階與降階：升階與降階：低次Bezier曲線可增加頂點升階為高次Bezier曲線，曲線形狀保持不變， 可達到統(tǒng)一曲線階次目的。設(shè)Bezier曲線原控制點為Pi（i=0,1,n）， 新控制點 P*i（i=0,1,n+1），則升階公式為：此外，此外，BezierBezier曲線同樣具有曲線同樣具有幾何變換不變性、變差減小性幾何變換不變性、變差減小性等特性。等特性。而降階是升階的逆過程。0PP1,.,1 ,0P1P)11(P1n1-1-ii*i其中：ninini 1次Bezier曲線 2次