組合預測模型

1、平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07組合預測模型(平頂山學院 王安2012-07-07)本節(jié)首先為充分利用各種單項預測方法所主耍能準確提供的全局的個別部分 信息和達到提高整個系統(tǒng)預測椿度的目的，引入門甘間因子的概念，并給出了連 續(xù)性時間因子的性質(zhì)然后從單項預測模型出發(fā)，并給出r«r-遺傳算法的求解單 項預測模型權系數(shù)步驟，由此便得出組合預測的預測值，4木農(nóng)最后通過實例分 析證明了組A預測在保持預測穩(wěn)定性的同時，可以提高預測的粘:度。1模型準備在預測中，由于各種單項預測具有不穩(wěn)定性，各種預測方法都存在時好時壞的 特點，我們提出了組介預測的方法，通過結介歷史預測數(shù)據(jù)與實際值，我們給

2、定一 個各種預測的最優(yōu)權幣:紐介，使得這吐歷史預測數(shù)據(jù)在加權之后，總誤差最小，可 以看出，這種加權預測的方法，結合r大量的歷史數(shù)據(jù)，使得預測結果呈現(xiàn)穩(wěn)定的 趨勢,但由丁場史數(shù)據(jù)太多，各種數(shù)據(jù)缺乏主次巫要性，使得預測結果并不十分粘: 確.因此，我們依據(jù)實際情況，確定出一個合適的呈平滑上升趨勢的時間因子序列, 在歷史數(shù)據(jù)的謀差中加上相應的時間因子使得近期數(shù)據(jù)的重要性增大，從而達到 在保證穩(wěn)定性的前提下,提高了組合預測的預測準確性.這樣經(jīng)過時間因子加權后 確定的最優(yōu)權重組合，更具有實際意義。為了加強時間的連續(xù)性影響，削弱時間的滯后性影響，在謀差平方和最小的 基礎上，加入了時間因子，使得根據(jù)誤差平方和

3、最小原理求出的預測值與真實值 保持一致變化，求出下一時段的組合權巫。根據(jù)預測量隨時間變動的特點，以下 引入了時間因子的定義。定義ii時間因子定義：時間因子是反映不同時間數(shù)據(jù)對預測值影響程度 的一種權重=卩,卩+1,“。性質(zhì)ii如果預測對象具有連續(xù)性，則時間因子弘是關丁r的遞增函數(shù)或數(shù)列結合實際情況，給出兩個連續(xù)性時間因子序列，其具體構造過程如下：1.求各期適應度：1E(x->J2r)-1作適應度的無序列：做X。的累加序列得到連續(xù)性時間因子序列心屮,，久)其中：力廠人 + ： , ht = fp + fi (/= P + 1,P+2,-,/)Lr=p44E (r= p,p+1, ,/)(4

4、.1)l=p2.通過 p+l個時段內(nèi)的真實値和預測值的歷史數(shù)據(jù)，預測第舁+1個時段 的預測值，山遠期到近期的權重依次為：TV '*,"+1，,"(42) (p+n)(n-p+)連續(xù)性時間因子的作用是提高近期數(shù)據(jù)的良好影響，削弱遠期數(shù)據(jù)的滯后影 響，對丁組介預測模型來說，時間因子可以使近期預測效果好的單項預測模型的 權系數(shù)H動適當放大，使得權系數(shù)的確定具有時變性，結合組合預測的方法進而 提高預測的穩(wěn)定性和精確度；在具有時間因子的組介預測模型中，時間因子的設置可以提島近期數(shù)據(jù)對預 測的影響，使預測容納更多的隱含信息，可以提高預測的穩(wěn)定性和桔確性，使預 測的結果更具有實際

5、意義。2符號說明y,:第/個時段的實際值/ = 1,2,y,:表示在第i個時段第丿種單項預測方法的預測值心1,2,/， ;=1,2,旳：表示第丿種預測方法的權重系數(shù)j = l,2,-,/n為=y廠九:為在第i個時段第j種單項預測方法的單項預測誤差Z：第i個時段的組合預測方法的預測值心1,2,，兒©:第i個時段的組合預測方法的預測值與真實值的誤差；n.:笫：個時段的時間因子即笫i個時段的組介預測方法的預測值與真實值的 誤差平方的系數(shù)。3模型建立第i個時段的組合預測方法的預測值：勺£唄(4.3)第i個時段的組合預測方法的預測值的絕對謀差：m= X-工忖(4.4)設叫，叫，叫分別

6、為川種單項預測方法的加權系數(shù)，為了使組介預測保持 無偏性，加權系數(shù)應滿足m工旳=1 0 < vv; < 1(4.5);=i時間因子對歷史數(shù)據(jù)的影響，能夠加強近期的數(shù)據(jù)的影響，削弱遠期歷史數(shù) 據(jù)的滯后影響，并保持數(shù)據(jù)變化的連續(xù)杵，從而對事物進行綜合精確的預測。這 能使預測值更有效的反應事物變化的規(guī)律。具有時間因子的組介預測模型的數(shù)學模型nn(m)*5(4.6)il/-I<嚴)ms.t. V vv. = 1 j = 12 Z(4.7)/In£ 7； = 1) = 1,2，加(4.8)i=i0 < w. < 1 j = 1,2,7(4.9)OS丿 <1

7、j = ,2,m(4.10)其中(4.6)表示具有時間因子的組合預測的總謀差平方和瑕小的日標函數(shù)：(4.7)表示具有時間因子組介預測方法的單項預測模型的權系數(shù)和為1； (4.8)農(nóng)示 具冇時間因子組介預測方法的權系數(shù)和為1; (4.9)表示具冇時間因子組介預測方 法的單項預測模型權系數(shù)在0到1之間：(4.10)表示具有時間因子組合預測方法 的時間因子在0到1之間。4模型的遺傳算法求解遺傳算法求解具有時間因子的組合權車系數(shù)的皋本步驟如下：Stepl首先將組合權值叫，叫，叫-各用8位二進制序列表示，得到長度為 8(舁一1)的二進制染色體序列，W”通過1-h; -VV, -來計算。初始化產(chǎn)生個體數(shù)為

8、30的群體pop。Scep2由T Stepl中產(chǎn)生的群體，有一部分超出了約束范圍，為了使所有個 體滿足約束條件，我們對樣體中的所有染色體進行解碼得出相應的 叫,，叫7。如果超出了叫,%，叫“的約束范圍(叫+ % + %+ w* =1, 叫+叫+些+”'_ VI)，我們重新產(chǎn)生該染色體的基因，直到滿足約束條 件為止。StepS由丁求解目標西數(shù)的般小值，因此目標隨數(shù)值小的個體適應度較人， 首先求出所有個體的累計倒數(shù)和：ssmn = l/(l)+l/(2)+-+l/(A/-l)然后求出個體的適應度=£型。同時我們用適應度最大個體替換適應 ssum度繪小個體，并將最優(yōu)個體放到種群繪后

9、，不進行交義變異。Scep4求岀個體累計適應度fitness = cunisiun (ff (1)。用輪盤貼法，隨 機產(chǎn)生概率，根據(jù)概率所在的區(qū)間選擇個體進行遺傳。Step5對所有個體隨機兩兩配對，然后按照交義概率匕，進行單點交義。Step6對所有個體的所有基因產(chǎn)生相應的概率，符介變異概率化的進行變異 操作。Step7不斷進行迭代操作，進行500次后，取出繪優(yōu)染色體序列，解倡輸出 最優(yōu)wl9w29.9wn值，算法結束。具體遺傳算法求解具有時間因子的組合預測模世權雨的算法流程圖如圖4.1 所示。3平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-075平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07圖4.1遺傳算

10、法求解H寸變組合權咆的算法流程圖#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-075實例仿真為了驗證和評價具有時間因子時變權車的組合預測模型的效果，本文分別選 取回！JI預測、指數(shù)平滑預測及灰色預測和本節(jié)提出的有三種方法組合方法種組介 模型方法對某煤礦1988-2004年原煤產(chǎn)帚進行預測，原煤產(chǎn)量見表4.1。首先用 1988年到2003年數(shù)據(jù)進行建模預測。農(nóng)4.1某煤礦原煤產(chǎn)磺歷史數(shù)據(jù)序巧123456年份198819891990199119921993產(chǎn)鼠1813.602020.102100.002111.002204.462392.29序號789101112年份199419951996199719

11、981999產(chǎn)量2633.292720.742986.003021.372926.912778.16序號1314151617年份20002001200220032004產(chǎn)量2798.902819.613098.673482.863749.405.1回歸預測模型冋歸預測模些，用1988年到2003年的煤礦產(chǎn)帚數(shù)據(jù)作為H變最兀，用1989年到2004年的煤礦產(chǎn)量數(shù)據(jù)作為耍使得y =。+加近似表達為。二 +加+ “然后利用最小二乘法原理估計參數(shù)。和b的值，得到回歸預測模 型y = 1.011x4-92.949(3-11)最后根據(jù)冋歸方程來預測1989年到2004年的產(chǎn)帚:，用SPSS進行數(shù)據(jù)分析 得

12、，方差分析結果表明其顯著性概率值假設檢驗的顯箸性概率Sig./b J* 0.05,所 以回UI方程有統(tǒng)計意義。具有較好預測效果的變量t的值應大丁 2或者小于-2, 回歸預測模型中主更參最檢驗的假設檢驗的顯苕性概率均小丁 0.05刃。冋歸預測模樂預測效果和相對誤差曲線如下圖4.2和圖4.3所示。<r®圖4.2預測值與真實值比較圖圖4.3相對誤差曲線圖5.2指數(shù)平滑預測模型指數(shù)平滑預測模型，設觀測的樣木序列為X二xj = 123,則一次平滑指數(shù)平滑式子為：S = axi + (-a)S式子為S尸為次指數(shù)平滑值：。為加權系數(shù)，且OSd 9,預測值為£* =+(&)&

13、#163;即以第，期指數(shù)平滑值作為卄期 的預測值。確定繪優(yōu)的加權系數(shù)使得預測值與真實值的誤茅平方和的均值故小。目標函數(shù):(3-12)7平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07s(3-13)指數(shù)平滑法算法步驟(程序見附錄三)Stepl輸入原始樣本序列為X =.£/= 1,2,3, oStep2依據(jù)一次指數(shù)平滑式S = axi + (l-a)S,_9求出指數(shù)平滑值£OStepS依據(jù)預測公式和+(1-°)£ ,把第i期的指數(shù)平滑值S,作為i + 1期 的預測值。Step4采用最小方差法確定預測值。初始值S產(chǎn)號方差表

14、達式為 52 = lyu-i,)2,求出當于最小時的4值。Step5輸出預測結果£ J = 12 3fO指數(shù)平滑預測模型預測效果和相對誤差曲線如下圖4.4和圖4.5所示。圖44預測值與真實值比較圖圖4.5相對誤差曲線5.3灰色GM(1,1)預測模型GM(1,1)預測模型，建立原煤產(chǎn)星的GM(1J)預測模型的方法如下： 令XQ = X®(1),X®(2),-,X®M)為歷史原煤產(chǎn)量，X為累加生成 序列，即X =£ X*),f = l,2,/m«lGM(1,1)模型的白化微分方程為dX-+ aXv 9 = udt其中，G為待辨識參數(shù),“為

15、待辨識內(nèi)生變量。設待辨識向最& =，按最小9平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07乘法求得a = (B,B)B,y式中一扣+X)1X(o)(2)X®(3)X何B=冷(X(習+X(習)1弓(XW(-l)+X 何)1丁是可得到灰色預測的離散時間響應函數(shù)為xu)(r + i) = fx(0)(i)-L_<,/ + -a) a(f +1)為所得的累加的預測值，將預測值還原即為xw(r + l)= Xu)(/ + l)-Xu>(/),(/ = 1,2,3 -H)利用MATLAB編寫程序(程序見附錄四)實現(xiàn)了原煤產(chǎn)量的灰色預測的

16、求 解。模型求解精度表見表4.3,方差比C= 0.471660,小誤差概率p =1.000000程 序預測精度合格。表43模熨精度檢驗衷預測效果好合格勉強合格不合格CP0.95<C<lPS 0.350.8 v C 5 0.950.35 "v 0.50.7 v C 5 0.80.5<P< 0.65C<0.70.65<P<l#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07GM(1,1)模型預測值與實際值比較和相對誤羞曲線如圖4.7和圖4.8所示。“值 飢m値圖47預測值與實際值比較圖2.1Q0«對$<1®圖4.8相對謀差曲線

17、圖#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-07#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-075.4組合預測模型以回!TI預測模型、指數(shù)平滑預測模型和GM(1,1)預測模型預測結果為基礎, 利用4.1節(jié)提出的組合預測模型求解。(程序見附錄五)程序運行效果如圖410和圖411所示。?e979695x fl 4 <1 1 12 2 2 2 2W矣<0累戦2.193-? V2.191 -219-0 5D 10D1502002G0300350 ZCD 450 5CD送代次謝圖4.10組介預測模型謀差平方和與迭代次數(shù)變化圖#平頂山7院數(shù)學建模培訓2012-07-0708C.5D.60.4起2吳松

18、P汕匹0.2Wf圖4.11組合預測模型謀基半方和與權系數(shù)變化圖最優(yōu)解模型的最優(yōu)組介權重分別為；wl = 0. 5234 , w2 = 0. 1328, w3 = 0. 3438 得到組合預測模型為X二叫兒+ %, + %兒組介預測模型預測值與真實值和謀差曲線如圖4.12和圖4.13所示。3.20012.BOC3.0002.00C郴時認X,圖4.12預測值與實際值比較圖4.13相對誤差曲線5.5結果對比該煤礦原煤產(chǎn)M 1989-2003年原煤實際產(chǎn)帚具有時間的組介預測模型預測值 與單項預測模型的比較見表4.4和表4.5。衷4.4 JI仃時間的組介預測模型預測值與單項預測模型的預測結果對比衷年份產(chǎn)

19、量回歸預測值指數(shù)預測值灰色預測值組合預測旌19892020 11926 52060 120902000 45338199021002135272020 121632129 50899819912111221605210022392208 5287719922204 462227 17211123172242 62617819932392 292321 662204 523992332 69064419942633.29251L552392 324832485 8981L19952720.742755.212633325702675345154199629862S43622720 7266027

20、64 16766819973021373111 79298627532971.73308619982926 9L3147.55302142850302 8 4995919992778 163052 062926 929503000 35052420002798 92901 672778 230542937 64423820012819612922.642798 931612988 15549620023098 672943572819 6327230400210L820033482 863225 73098.733863263 94554表45組合預測模型與單項預測模型的預測結果相對謀差對比表

21、年份回歸預測指數(shù)預測灰色預測組合預測19890.04633434-0.019801-0 0346022470 009725619900016795240 038047619-0 03-00140521991-0 049763150 005210801-0 06063477-0 04621992-0.010301S40.04239587-0 051051051-001731319930.0295240130 078498008-0 0028048440 024913119940 0462311410 0915166960 0570730910 05597251995-0012669350 03213831500554040440 016684719960 0476825180088S479570 109176155007429081997-