簡單復合函數(shù)的求導法則

1、復習：兩個函數(shù)的和、差、積、商的復習：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導公式。求導公式。1、 常見函數(shù)的導數(shù)公式：常見函數(shù)的導數(shù)公式：0C1)(nnnxxxxcos)(sinxxsin)(cos2、法則、法則1 )()()()(xvxuxvxu法則法則2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x , ( )( )Cu xCu x 法則法則3 2(0)uu vuvvvv復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)新授課新授課函數(shù)函數(shù) ， ， 構成間的關系？構成間的關系？2uy 23 xu2)23( xy可由可由 與與 復合得到復合得到 2uy 23 xu2)23( xy例

2、例1 指出下列函數(shù)的復合關系：指出下列函數(shù)的復合關系： 32)2(xy （1）2sin xy （2） xy4cos （3）)13sin(ln xy（4） 由由 復合而成復合而成 32)2(xy 232,xuuy 解解：（：（1）（2 2） 由由 復合而成復合而成 2sin xy 2,sinxuuy （3 3） 由由 復合而復合而成成 xy4cos xuuy 4,cos （4 4） 由由 復合而復合而成成 )13sin(ln xy13,sin,ln xvvuuy復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)新授課新授課例例2 寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)：寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)： （1） （2 2）21,c

3、osxuuy xuuyln,ln 解解：（：（1 1）).ln(lnxy )1cos(2xy （2）1.復合函數(shù)的概念:( ),( ),( )( )( )yfxuxyf uuuxxyfx對 于 函 數(shù)令若是 中 間 變 量 的 函 數(shù) ，是 自 變 量 的 函 數(shù) ， 則 稱是復自 變 量 x的合 函 數(shù) .二、講授新課：*如何對復合函數(shù)求導呢？引例引例 一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，其面積成一個圓形油膜，其面積 是半徑是半徑 的函數(shù)：的函數(shù)：Sr 油膜半徑油膜半徑 隨著時間隨著時間 的增加而擴大，其函數(shù)關的增加而擴大，其函

4、數(shù)關系為：系為：tr2)(rrfS12)(ttr 問：油膜面積問：油膜面積 關于時間關于時間 的瞬時變化率是多的瞬時變化率是多少？少？St分析：分析：油膜面積油膜面積 關于時間關于時間 的新函數(shù)：的新函數(shù)：St2)12()(ttfS)12(4)48()(tttf)144()12()(2tttftf由于由于所以由導數(shù)的運算法則可得：所以由導數(shù)的運算法則可得：2)(,2)(trrrf)()12(2)12(2)(ttfttf定理定理 設函數(shù)設函數(shù) y = f (u)， u = (x) 均可導，均可導，則復合函數(shù)則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導也可導.且且( )( )xyf ux，xuxuy

5、y 或或復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則即：即：因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.( .( 鏈式法鏈式法則則 ) )注意：1、法則可以推廣到兩個以上的中間變量；2、求復合函數(shù)的導數(shù),關鍵在于分清函數(shù)的復合關系,合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導. xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 即即證證設變量設變量 x 有增量有增量 x，. 0lim0 ux所所以以由于由于 u 可

6、導，可導， 相應地變量相應地變量 u 有有增量增量 u，從而從而 y 有增量有增量 y.復合函數(shù)復合函數(shù) 中，令中，令 ，則，則)(xfy)(xu)()()(xufxf注意：注意：注意：注意：不要寫成不要寫成 ！)(xf對對x求導求導對對 求導求導)(x復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)若若 ， ，求，求 23,2 xuuy)(,xfuyxu 2)23()( xxf并分析三個函數(shù)解析式以及導數(shù)之間的關系并分析三個函數(shù)解析式以及導數(shù)之間的關系新授課新授課128)4129()23()(22 xxxxxfuyu2 3 xu12183)23(232 xxuuyxu函數(shù)函數(shù) 可由可由 復合而成復合而成23,2

7、 xuuy)(xfxuuyxf )(例例1：求：求xy2sin的導數(shù)的導數(shù)分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sinsincos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x復合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)例題講解例題講解例例2 求求 的導數(shù)的導數(shù)5)12( xy解：設解：設 ， 則則 12,5 xuuyxuxuxxuuyy) 12()(5 444) 12(102) 12( 525 xxu（1）首先要弄

8、清復合關系，特別要注意中間變量；）首先要弄清復合關系，特別要注意中間變量；（2）盡可能地將函數(shù)化簡，然后再求導；）盡可能地將函數(shù)化簡，然后再求導；（3 3）要注意復合函數(shù)求導法則與四則運算的綜合要注意復合函數(shù)求導法則與四則運算的綜合運用；運用；（4）復合函數(shù)求導法則，常被稱為）復合函數(shù)求導法則，常被稱為“鏈條法則鏈條法則”，一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。復合函數(shù)求導法則的注意問題：復合函數(shù)求導法則的注意問題： 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)。的導數(shù)。13 xy例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)。的導數(shù)。3)12(xy 利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時，首先要利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)

9、時，首先要弄清復合關系，而選擇中間變量是復合函數(shù)求導的弄清復合關系，而選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。關鍵。分析：分析： 令令 ，則函數(shù)是由，則函數(shù)是由 與與 復合而成，由復合函數(shù)求導法則復合而成，由復合函數(shù)求導法則可知：可知：13)(xxu21)(uuuf13)(xxu解：解：1323321)()()13(xuxufx 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)。的導數(shù)。13 xy解：解： 令令 ，則函數(shù)是由，則函數(shù)是由 與與 復合而成，由復合函數(shù)求導法則復合而成，由復合函數(shù)求導法則可知：可知：12)(xxu12)(xxu3)(uuf223)12(623)()()12(xuxufx例例4 求函數(shù)求函數(shù)

10、的導數(shù)。的導數(shù)。3)12(xy（1）分解；（2）求導；（3）相乘；（4）回代。復合函數(shù)求導的基本步驟：復合函數(shù)求導的基本步驟：例例5 5、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度中，水面高度y y（單位：（單位：cmcm）。關于時間）。關于時間t t（單位：（單位：s s）的函數(shù)為）的函數(shù)為12100)(tthy，求函數(shù)在，求函數(shù)在t t=3=3時的導數(shù)，時的導數(shù)，并解釋它的實際意義。并解釋它的實際意義。12100)(tthyxxf100)(12)(ttx解：函數(shù)解：函數(shù)是由函數(shù)是由函數(shù)與與復合而成的，其中復合而成的，其中x x是中間變量。是中

11、間變量。22) 12(2002100)()()(txtxfthyt將將t t=3=3代入代入)(th得：得：49200)3( h（cm/s）。）。它表示當它表示當t=3時，水面高度下降的速度為時，水面高度下降的速度為 49200 cm/s。例例6 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：)(sin)2()()1(2xfyxfy 前面所求的都是具體的復合函數(shù)的導數(shù)，而此題前面所求的都是具體的復合函數(shù)的導數(shù)，而此題中的對應法則中的對應法則 f 是未知的，是抽象的復合函數(shù)。它們是未知的，是抽象的復合函數(shù)。它們的導數(shù)如何求得？的導數(shù)如何求得？ 而而對于抽象復合函數(shù)的求導對于抽象復合函數(shù)的求導, ,一方面要

12、從其形式一方面要從其形式上把握其結構特征，找出中間變量，另一方面要充上把握其結構特征，找出中間變量，另一方面要充分運用復合關系的求導法則。分運用復合關系的求導法則。分析分析: : 求復合函數(shù)的導數(shù)求復合函數(shù)的導數(shù), ,關鍵在于分清函數(shù)的復合關關鍵在于分清函數(shù)的復合關系，合理選定中間變量，明確求導過程中每次是哪系，合理選定中間變量，明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導。個變量對哪個變量求導。解：解：（1）函數(shù)是由）函數(shù)是由 與與 復合而成的，復合而成的， )(ufy 2)(xxu)(sincoscos)()()(xf xxufxufy)(22)()()(2xf xxufxufy由復合函數(shù)的

13、求導法則知：由復合函數(shù)的求導法則知：（2）函數(shù)由）函數(shù)由 與與 復合而成，復合而成，由復合函數(shù)的求導法則知：由復合函數(shù)的求導法則知：)(ufy xxusin)(xeyxycos110) 2() 25()(11. 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：2. 求曲線求曲線 在在 處的切線方程。處的切線方程。2)12(xxy6x)25(50 xyxexycos1sin014343 yx動手做一做動手做一做)1()2()1()(2xfyxfy1求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：動手做一做動手做一做)1(xf )1(12xfx)1(1222xfxx小結小結關鍵：分清函數(shù)的復合關系，合理選定中間變量。關鍵

14、：分清函數(shù)的復合關系，合理選定中間變量。 復合函數(shù)求導公式：復合函數(shù)求導公式：)()()(xufxf利用復合函數(shù)的求導公式可以求抽象函數(shù)的導數(shù)。利用復合函數(shù)的求導公式可以求抽象函數(shù)的導數(shù)。 對于抽象復合函數(shù)的求導對于抽象復合函數(shù)的求導, , 要從其形式上把握其要從其形式上把握其結構特征，找出中間變量；另外要充分運用復合關結構特征，找出中間變量；另外要充分運用復合關系的求導法則。系的求導法則。 抽象復合函數(shù)的導數(shù)：抽象復合函數(shù)的導數(shù)： 利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時，選擇中間利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時，選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。必須正確分析復合函數(shù)變量是復合函數(shù)求導的關鍵。必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清是由哪些基本函數(shù)