九年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合問題華東師大版

1、九年級(jí)九年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合問題二次函數(shù)的綜合問題華東師大版華東師大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 二次函數(shù)的綜合問題【典型例題典型例題】 例 1. 已知拋物線與 x 軸交于（2，0），（4，0），且頂點(diǎn)為()192， 求：函數(shù)的解析式 解解 1：設(shè)解析式為，則yaxbxc2 0420164921214 abcabcabcabc解得： 函數(shù)解析式為yxx1242 解解 2：設(shè)解析式為ya xx()()24 頂點(diǎn)坐標(biāo)為()192， 9212 1412aa()()， 函數(shù)解析式：yxx1224()() 1242xx 解解 3：設(shè)解析式為ya x() 1922 則有0992

2、12aa， 函數(shù)解析式：yx121922() 1242xx 例 2. 已知二次函數(shù)的圖象與 x 軸交于 A（2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值是 2， （1）求：二次函數(shù)圖象的解析式 （2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 P，求：ABP 的面積 分析：分析：與幾何知識(shí)結(jié)合的函數(shù)問題，要注意幾何量的大小與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系。 解：解：（1）二次函數(shù)的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A（2，0），B（3，0） 設(shè)解析式為ya xx()()23 即ya xa()122542 ， 2542825aa 所求解析式為yx 8251222() 另解：圖象過（2，0），（3，0） 對(duì)稱軸為x 12 頂點(diǎn)為（）122，

3、設(shè)，把代入即可ya xx()()23()122， （2），| | |ABOAOB 5 AB 邊上的高即 P 到 x 軸的距離，為函數(shù)最大值 2 SABP 12525 例 3. 如圖，在矩形 ABCD 中，BD20，ADAB，設(shè)ABD，已知 sin 是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn) E、F 分別是 BC、DC 上的點(diǎn)，ECCF8，設(shè)25351202xxBEx，AEF 的面積等于 y （1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng) E、F 兩點(diǎn)在什么位置時(shí)，y 有最小值？并求出最小值 解：解：（1）解方程可得25351202xxsinsin3545或 ADAB，sin45 在 RtABD 中，ADBDs

4、in204516 ABBDAD2222201612 設(shè) BE 為 x，則有，CExFCCEx1688，DFFCx1220 SSSSSAEFABCDABECEFADF矩形 yxxx x1612121212162012168()()() 1210962xx()816x （2）yxxx12109612104622() 當(dāng)時(shí)，y 有最小值是 46x 10 故當(dāng) BE10，CF2 時(shí)，y 有最小值是 46 例 4. 如圖，ABC 中，BC4，B45，M、N 分別是 AB、AC 上AB 3 2的點(diǎn)，MNBC，設(shè) MN 為 x，MNC 的面積為 S。 （1）求出 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量

5、x 的取值范圍。 （2）是否存在平行線段 MN，使MNC 的面積等于 2，若存在，求出 MN 的長；若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：解：（1）過點(diǎn) A 作 ADBC，垂足為 D， 則有AD 3 2453sin 設(shè)MNC 的 MN 上的高為 h MNBC xhhx4331234， SMNhxxxxx 121212343832042() （2）若存在這樣的平行線段 MN，使則方程必有SMNC， 23832202xx實(shí)數(shù)解，即方程必有實(shí)數(shù)解，但該方程的判別式3121602xx ()12432，說明它沒有實(shí)解，矛盾，所以不存在這樣的平行線段 MN，使16480 SMNC 2 例 5. 某商場購進(jìn)一批單價(jià)為

6、 16 元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤，商場決定提高銷售價(jià)格，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件 20 元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣 360 件，若按每件 25 元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣 210 件，假定每月銷售件數(shù) y（件）是價(jià)格 x（元/件）的一次函數(shù)。 （1）試求 y 與 x 之間的關(guān)系式 （2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少元？ 解：解：（1）設(shè)，依題意，得ykxb 解得：2036025210kbkbkb 30960 yxx 309601632() （2）設(shè)月利潤為 w，則wy x()16 ()()()30960

7、16302419202xxx ，w 有最大值。a 300 當(dāng)時(shí)，w 最大，最大利潤為 1920 元。x 24 例 6. 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力 y 隨著時(shí)間 t 的變化規(guī)律有如下關(guān)系式： ytttttt224100010240102073802040()()() （1）講課開始后，第 5 分鐘時(shí)與講課開始后第 25 分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？ （2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分

8、鐘？ （3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解 24 分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？ 解：解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，x 5y 195x 25y 205 講課開始后第 25 分鐘時(shí)學(xué)生的注意力比講課開始后第 5 分鐘更集中 （2）當(dāng)時(shí)，該圖像的對(duì)稱軸為010tyttt 222410012244()，在對(duì)稱軸左側(cè)，y 隨 t 的增大而增大，所以，當(dāng)時(shí)，y 有最大值 240，當(dāng)t 12t 10時(shí)，y 隨 t 的增大而減小，所以，當(dāng)時(shí)，y 有最大值2040tyt 7380t 20240 所以，講課開始后 10 分鐘時(shí)，學(xué)生的注

9、意力最集中，能持續(xù) 10 分鐘 （3）當(dāng)時(shí)，令010tytt 224100180 t 4 當(dāng)時(shí)，令，2040tyt 7380180t 2857. 所以，學(xué)生注意力在 180 以上的持續(xù)時(shí)間為（分鐘）285742457. 所以，老師可經(jīng)過適當(dāng)安排，能在學(xué)生的注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目。 例 7. 如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn) A（3，6），并與 x 軸交yxbxc122于 B（1，0）和點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 P （1）求這個(gè)二次函數(shù)解析式 （2）設(shè) D 為 OC 上一點(diǎn)，滿足DPCBAC，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)。 解：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，6），B（1，0） 所以有612330121

10、22()()bcbc bc 132 因此，所求的二次函數(shù)解析式為yxx12322 （2）yxxx1232121222() 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2） 由方程，解得123202xxxx1231 ， C（3，0） 如圖，作 AE、PF 垂直于 x 軸，垂足分別是 E、F，那么AE6，ECEOOC336，AECE 即ABC 是等腰直角三角形，ACE45 同理可得PFC 是等腰直角三角形，PCF45 設(shè)點(diǎn) D（a，0），那么 DCOCOD3a PCDACB，DPCBAC，DPCBAC ，解得DCBCPFAEa，即33126a 53 D（）530， 例 8. 已知，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線與 y

11、軸交于點(diǎn)yaxbxc2C（0，4），與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)，tan，且：BCOSABC14，求：此拋物線的解析式。SBOC： 41 解：解：（1）當(dāng) A、B 兩點(diǎn)在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，如圖 1圖 1 ，tanBCO 14OBOC14 C（0，4），OC4，OB1 B（1，0） SSABBOABABCBOC：，：，即444 A（5，0） 設(shè)二次函數(shù)解析式，由于拋物線過點(diǎn) Cya xx()()15 4545aa， ，yxx4515()() 即二次函數(shù)解析式y(tǒng)xx4524542 （2）當(dāng) A、B 兩點(diǎn)在原點(diǎn)異側(cè)時(shí)，如圖 2圖 2 tan，BCOOBOC1414 又C（0，4）

12、，OC4，OB1，B（1，0） 由SSABOBABCBOC：，：44 即 AB4，A（3，0） 設(shè)二次函數(shù)解析式為，由于拋物線過點(diǎn) Cya xx()()13 4343 aa， yxx 4313()() 即二次函數(shù)解析式為yxx 438342 例 9. 已知一次函數(shù)yxyx12221，二次函數(shù) （1）根據(jù)表中給出的 x 值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并填在表格中：yy12，x 3 2 1 0 1 2 3 yx12 yx221 （2）觀察第（1）問表中有關(guān)數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于 x 的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立。yy12 （3）試問：是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，2），

13、且在yaxbxc32實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，若存在，yyy132求出函數(shù)的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由。y3 解：解：（1）x 3 2 1 0 1 2 3 yx12 6 4 2 0 2 4 6 yx221 10 5 2 1 2 5 10 （2）證明：yyxxxxx12222212110 ()() 當(dāng)自變量 x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)，均成立。yy12 （3）由經(jīng)過（5，2），得 y32552abc 當(dāng)時(shí)，xyyyabc12123 依題意，有 222abcabc， 由、可得baca425， yaxaxa32425() 恒大于 0，令wyyaxaxa13124225()()

14、 則滿足：aaa0310132() 令恒大于 0，則：wyya xaxa22321451()() 滿足10310132aaa() 綜上，可得abc134313， 解析式為yxx1343132 例 10. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（3，6），并與 x 軸交于點(diǎn)yxbxc122B（1，0）和點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 P （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式 （2）設(shè) D 為線段 OC 上一點(diǎn)，滿足DPCBAC，求：點(diǎn) D 的坐標(biāo) （3）在 x 軸上是否存在一點(diǎn) M，使以 M 為圓心的圓與 AC、PC 所在的直線及 y 軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：解：（1）將 A（3，6

15、），B（1，0）代入yxbxc122 得6923012132 bcbcbc解得 yxx12322 （2）過 A 作 AEx 軸，垂足為 E， 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于 F， 則AEC、CFP 均為等腰直角三角形 則EACFPC DPCBAC，EABFPD AEBPFD ，易求AEPFEBFDAEEBPF622， FDOD2323153， D()530， （3）存在：過 M 作 MHAC，MGPC 垂足分別為 H、G，設(shè) AC 交 y 軸于S，CP 的延長線交 y 軸于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的內(nèi)切圓圓心 MGMHON，且 OMMCOCMCOM2 ，得，23OMOMOM

16、 3 23M()3 230 ， 在 x 軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn) M， 同理：OMOCM C OMOCO M2 得OM3 23 ，即在 x 軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)。M()3 230，【模擬試題模擬試題】一、填空題： （1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_yxx244 （2）拋物線的對(duì)稱軸是_，有最_值是yx 4252()_ （3）有一個(gè)拋物線形橋拱，有最大高度為 16m，跨度為 40m，現(xiàn)把它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖 1 所示），則此拋物線的解析式為_圖 1 （4）二次函數(shù)的圖象如圖 2 所示，則函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng) x 的取值yxaxb2y 0范圍是_圖 2 （5）已知二次函數(shù)的圖象與 x 軸交于

17、A、B 兩點(diǎn)，在 x 軸上方的拋yxx223物線上有一點(diǎn) C，且ABC 的面積等于 10，則 C 點(diǎn)的坐標(biāo)為_ （6）已知二次函數(shù)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2 和 6，圖象與yaxbxc2y 軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 3，則這個(gè)二次函數(shù)是_ （7）把配方成的形式是_yxx1412ya xhk()2 （8）拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則 m 為_yxmx214()二、選擇題： （1）二次函數(shù)的圖象如圖 3 所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）yaxbxc2圖 3 A. abc000， B. abc000， C. abc000， D. abc000， （2）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)，它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)yaxbxc2yaxc系中的圖象可能是（ ）圖 4 （3）把拋物線的圖象向右平移 3 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位，所yxbxc2得圖象的解析式是，則有（ ）yxx235 A. B. bc37，bc 915， C. D. bc33，bc 921，三、解答題： （1）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，5）ymxmxm()()2322 求 m 的值，并寫出二次函數(shù)的解析式 求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸和最值 （2）拋物線經(jīng)過點(diǎn) P（4，5），與 x 軸交于 A（，0），B（yaxaxm22x1，0）兩點(diǎn)，x2xxSPAB1210，且