全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題教師

1、全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求全等三角形的性質(zhì)及判定會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題會運用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題知識點睛基本知識把圖形繞平面上的一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，點叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，象與原象是全等形很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對集中，以便于

2、諸條件的綜合與推演重、難點重點：本節(jié)的重點是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ)，也是學好全章的關(guān)鍵。同時全等三角形的判定也是本章的重點，特別是幾種判定方法，尤其是當在直角三角形中時，HL的判定是整個直角三角形的重點難點：本節(jié)的難點是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個是條件，決定哪個結(jié)論，如何用數(shù)學符號表示，即書寫格式，都要在講練中反復強化例題精講【例1】 如圖，有四個圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個圖案與其余三個圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是(

3、 )【解析】 A【例2】 如圖，同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心( )A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到 B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到 D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到【解析】 D【例3】 已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形求證：【解析】 、是等邊三角形，【點評】此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形【例4】 如圖，C是線段BD上一點，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊ABC和等邊CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有( )A1

4、對 B2對 C3對 D4對【解析】 C【補充】已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形求證：平分 【解析】 過點作于，于，由，利用進而再證，可得到，故平分【補充】如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形請你證明：；平分【解析】 此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊含了許多等量關(guān)系與三角形各內(nèi)角相等，及平行線所形成的內(nèi)錯角及同位角相等；全等三角形推導出來的對應(yīng)角相等推到而得的：；，；，；，；為等邊三角形、是等邊三角形，由易推得，所以，又，進而可得為等邊三角形易得過點作于，于，由，利用進而再證，可得，故平分【例5】 如圖，三點共線，且與是等邊三角形，連結(jié)，分別交，于，點求證：【解析】 與都是等邊三角形，及，

5、三點共線，在與中 ，在與中 ，【例6】 (2008年懷化市初中畢業(yè)學業(yè)考試試卷)如圖，四邊形、都是正方形，連接、求證：【解析】 在和中 【補充】(年全國初中數(shù)學競賽海南區(qū)初賽)如下圖，在線段同側(cè)作兩個等邊三角形和()，點與點分別是線段和的中點，則是( )A鈍角三角形 B直角三角形C等邊三角形 D非等腰三角形【解析】 易得所以可以看成是繞著點順時針旋轉(zhuǎn)而得到的又為線段中點，為線段中點，故就是繞著點順時針旋轉(zhuǎn)而得所以且，故是等邊三角形，選C【例7】 如圖，等邊三角形與等邊共頂點于點求證：【解析】 是等邊三角形，同理，在與中， ，【例8】 如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形，是中點，是中點，求證：

6、是等邊三角形【解析】 ，又、分別是、的中點，是等邊三角形【例9】 如圖，是等邊內(nèi)的一點，且，問的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由 【解析】 連接，將條件，這兩個條件，易得()，得，由，(公共邊)，知()，故的度數(shù)是定值【例10】 (2005年四川省中考題)如圖，等腰直角三角形中，為中點，求證：為定值 【解析】 連結(jié)由上可知，而，【補充】如圖，正方形繞正方形中點旋轉(zhuǎn)，其交點為、，求證：【解析】 正方形中，而，【例11】 (2004河北)如圖，已知點是正方形的邊上一點，點是的延長線上一點，且 求證：【解析】 證明：因為四邊形是正方形，所以，因為，所以，所以 ，故，故 【補充】如

7、圖所示，在四邊形中，于，若四邊形 的面積是16，求的長【解析】 如圖，過點作，延長交于點，容易證得(實際上就是把逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)正方形的面積等于四邊形面積為，【例12】 (1997年安徽省初中數(shù)學競賽題)在等腰的斜邊上取兩點、，使，記，則以、為邊長的三角形的形狀是( ) A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D隨、的變化而變化 【解析】 如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，則，又易得，在中，有，故應(yīng)選(B)【鞏固】如圖，正方形的邊長為，點在線段上運動，平分交邊于點求證：設(shè)()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時的值及若不存在，請說明理由【解析】 證明： 如圖，延長至點，使得，連

8、結(jié)因為是正方形，所以在和中，又 是的平分線，即，即，得證 ，由知，所以在中，由上式可知，當達到最大值時，最大而，所以，當時，最大值為【例13】 、分別是正方形的邊、上的點，且，為垂足，求證： 【解析】 延長至，使，連結(jié)，易證，再證，全等三角形的對應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，則有【例14】 (通州區(qū)2009一模第25題)請閱讀下列材料：已知：如圖1在中，點、分別為線段上兩動點，若探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明； 當動點在線段上，動點運動

9、在線段延長線上時，如圖2，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明 【解析】 證明：根據(jù)繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，在中即又即 關(guān)系式仍然成立證明：將沿直線對折，得，連，又，又， 在中即【補充】(1)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD求證：EFBEFD;(2) 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 【解析】 證明：延長EB到G，使BG=DF，聯(lián)結(jié)AG ABGABC=D， ABAD，AGAF， GAE=EAF又AEAE，EGEF

10、EG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的結(jié)論仍然成立 【例15】 (北京市數(shù)學競賽試題，天津市數(shù)學競賽試題) 如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長 【解析】 如圖所示，延長到使在與中，因為，所以，故因為，所以又因為，所以 在與中，所以，則，所以的周長為【例16】 在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點M，N，D為外一點，且，探究：當點M，N分別愛直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長L的關(guān)系如圖，當點M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時=_如

11、圖，當點M，N在邊AB，AC上，且時，猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，則Q=_(用x，L表示)【解析】 BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE 由是等邊三角形，在與中的周長=而等邊的周長(3)【例17】 平面上三個正三角形，兩兩共只有一個頂點，求證：與平分【解析】 連接與，在與中在與中為平行四邊形，互相平分【例18】 已知：如圖，、都是等邊三角形，且、共線，求證：也是等邊三角形【解析】 連結(jié)，所以，并且與的夾角為，延長交于，則又因為，所以所以，【例19】 (199

12、7年安徽省競賽題)如圖，在外面作正方形與，為的高，其反向延長線交于，求證：(1);(2)【解析】 證明;(2)作，先證，再證【補充】以ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG，求證：CE=BG，且CEBG 【解析】 易證，故，又，故【例20】 (北京市初二數(shù)學競賽試題) 如圖所示，在五邊形中，求此五邊形的面積 【解析】 我們馬上就會想到連接、，因為其中有兩個直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積并不容易，至此思路中斷我們回到已知條件中去，注意到，這一條件應(yīng)當如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時我們常用的“截長補短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如圖所示)？據(jù)此，連接，則發(fā)現(xiàn)，

13、且，是底、高各為的三角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為【例21】 (希望杯全國數(shù)學邀請賽初二第二試試題) 在五邊形中，已知，連接求證：平分 【解析】 連接由于，我們以為中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點與點重合，而，所以、在一條直線上，點旋轉(zhuǎn)后落在點的位置，且，所以在與中，因為，故，因此，即平分家庭作業(yè)【習題1】 如圖，已知和都是等邊三角形，、在一條直線上，試說明與相等的理由【解析】 ，又【習題2】 (湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學考試)已知：如圖，點是正方形的邊上任意一點，過點作交的延長線于點求證：【解析】 在和中【習題3】 (2008山東)在梯形中，是中點，試判斷與的位置關(guān)系，并寫出推理過程 【解析】 延長交延長線于點是中點，在和中，又，在和中，【習題4】 已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形、分別是、 的高求證：【解析】 由，利用進而再證，可得到月測備選【備選1】 在等腰直角中，是的中點，點從出發(fā)向運動， 交于點，試說明的形狀和面積將如何變化 【解析】 連接因為且，所以因為是的中點，所以，且，