全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02

1、2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題021、 填空題（每小題8分，共64分）1. 在如下圖所示的正方體中，二面角等于 （用反三角函數(shù)表示）2. 如果三角形的三個內(nèi)角滿足依次成等差數(shù)列，則角的最大值是 3.實(shí)數(shù)列滿足條件：，則通項(xiàng)公式 。4.是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，如果的面積為1，則 5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像恰有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 6. 已知正實(shí)數(shù)與非負(fù)實(shí)數(shù)滿足(1) ;(2) ，則 的最大值為_7. 已知20塊質(zhì)量為整數(shù)克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質(zhì)量最小值為_克8.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像與軸所圍成圖形的面積

2、是 2、 簡答題（本大題共3小題，共56分）9. （16分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10. （20分）設(shè)是多項(xiàng)式方程的三個根。（1）已知都落在區(qū)間之中，求這三個根的整數(shù)部分；（2）證明：11. （20分）如下圖，橢圓是橢圓上的兩點(diǎn)，直線是上的一個動點(diǎn)，是過點(diǎn)且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點(diǎn)，求證：三條直線和共點(diǎn)。2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02一、 填空題（每小題8分，共64分）1.在如下圖所示的正方體中，二面角等于 解：2.如果三角形的三個內(nèi)角滿足依次成等差數(shù)列，則角的最大值是 解：.記，則.由于至多一個負(fù)數(shù)，故，且.即.消去后，得到，方程有實(shí)根，所

3、以，故即且時等號成立3.實(shí)數(shù)列滿足條件：，則 解：.計(jì)算前幾項(xiàng)可以猜出結(jié)果，再用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.4.是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，如果的面積為1，則 解：.不妨假定設(shè).則的斜率為，的斜率為，因此，解得又，所以，點(diǎn).從而，所以5.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像與軸所圍成圖形的面積是 6. 已知正實(shí)數(shù)與非負(fù)實(shí)數(shù)滿足(1) ;(2) ，則 的最大值為_解：.由均值不等式知: ,于是 ,即.取滿足條件,且取到最大值.7. 已知20塊質(zhì)量為整數(shù)克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質(zhì)量最小值為_克解：147.設(shè)這20塊砝碼質(zhì)量為.首先用歸納法證明: .（1）當(dāng)時,顯然,

4、 （2）設(shè)結(jié)論對成立，若，則由知克的物品無法稱量，矛盾！于是，所以，所以，即，又當(dāng)，時，符合條件，故最小值為 147克8.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像恰有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 二、 簡答題（本大題共3小題，共56分）9.（16分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10.（20分）設(shè)是多項(xiàng)式方程的三個根。（1）已知都落在區(qū)間之中，求這三個根的整數(shù)部分；（2）證明：11.（20分）如下圖，橢圓是橢圓上的兩點(diǎn)，直線是上的一個動點(diǎn)，是過點(diǎn)且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點(diǎn)，求證：三條直線和共點(diǎn)。解答三：利用賽瓦定理2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02

5、一（本題滿分40分）對任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，求所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積二（本題滿分40分）如圖，在中，為的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且滿足，點(diǎn)在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.三（本題滿分50分）整數(shù)滿足.求的最小值,并求出一切達(dá)到最小值的四元數(shù)組四（本題滿分50分）設(shè)整數(shù),，對，記為滿足，的數(shù)組的個數(shù)，類似定義，.證明：.2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02一（本題滿分40分）對任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，求所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積解：根據(jù)運(yùn)算“”的定義，為整數(shù)，進(jìn)而， 其中表示的小數(shù)部分同理可知 比較、可知，當(dāng)且僅當(dāng)由于，而

6、與均是偶數(shù)，故上式成立的充分必要條件是，且 若，則，若，則，若，則，當(dāng)取自、中不同的區(qū)間時，不成立對，記，則根據(jù)上述討論知，所對應(yīng)的平面區(qū)域面積，因此點(diǎn)集所對應(yīng)的平面區(qū)域面積為二（本題滿分40分）如圖，在中，為的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且滿足，點(diǎn)在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.證明：聯(lián)接并延長交的外接圓于點(diǎn)，作與的外接圓交于點(diǎn)，易知關(guān)于對稱，故,因此，由此推出，故為外接圓的直徑.又由，結(jié)合知四邊形為平行四邊形，所以過點(diǎn).設(shè)為在上的射影，延長交的外接圓于點(diǎn)，由得，共圓，以為直徑.由有，所以（相等的圓周角所對弦長相等），故有.由得，所以，結(jié)合有，由此推出，所以點(diǎn)共線，由得，

7、四點(diǎn)共圓.過點(diǎn)作外接圓的切線，由知，也是圓的切線，故的外接圓與的外接圓相切，證畢.三（本題滿分50分）整數(shù)滿足.求的最小值,并求出一切達(dá)到最小值的四元數(shù)組解:設(shè)原式,易知: .(1),則,故同號, 同號.由于,故只須考慮如下兩種情況:(i) ； (ii);.對于(i),由,知:.對于(ii),由,知: .(2).則,所以.若,則,等號成立當(dāng)且僅當(dāng).同理，若,則,等號成立當(dāng)且僅當(dāng).(3).此時,若,則.若,則,取等號時有.但此時,與為整數(shù)矛盾!故等號取不到.若,則,取等號時有.但,這不可能!故,取等號時,.由知:.由知,中必有.若,則,故或.同理，若,則,或.綜上所述,最小值為,取等號當(dāng)且僅當(dāng)為之一