全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題1最新

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題一 試一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1在數(shù)列中，且，則 2設(shè)a，b，c是正整數(shù)，且成等比數(shù)列，是一個(gè)完全平方數(shù)，則 3一列數(shù)滿足對于任意正整數(shù)n，都有，則 4設(shè)，變量滿足，且的最小值為，則_5正整數(shù)，具有如下性質(zhì)：從集合中任取一個(gè)元素m，則m整除n的概率是，則n的最大值是 .6集合1,2,2011的元素和為奇數(shù)的非空子集的個(gè)數(shù)為 .7一個(gè)直徑的半圓，過作這個(gè)圓所在平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使，為半圓上一個(gè)動點(diǎn)，分別為在上的射影當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，_8直線交拋物線于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則 .二、解答題（第9題16分，第10、11題各20分，共56分）9.（

2、本小題滿分16分）設(shè)，證明不等式10.（本小題滿分20分）已知雙曲線：（，）的離心率為2，過點(diǎn)（）斜率為1的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，且，（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)為雙曲線右支上動點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 11.（本小題滿分20分） 設(shè)是不同的正實(shí)數(shù).證明：是一個(gè)等比數(shù)列的充分必要條件是：對所有整數(shù)，都有.加 試1. （本題滿分40分）實(shí)數(shù)a使得對于任意實(shí)數(shù)，不等式都成立，求a的最大值2. （本題滿分40分）在直角三角形ABC中，它的內(nèi)切圓分別與邊BC，CA，AB相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)P，連接PC，

3、PE，PF已知，求證：3（本題滿分50分）對正整數(shù)n，記為數(shù)的十進(jìn)制表示的數(shù)碼和(1) 求的最小值； (2) 是否存在一個(gè)正整數(shù)n，使得=100？ 4（本題滿分50分）求滿足如下條件的最小正整數(shù)n，在圓O的圓周上任取n個(gè)點(diǎn)，則在個(gè)角中，至少有2011個(gè)不超過參考答案一 試1. 0因?yàn)?，所以，自?項(xiàng)起，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值1，1，0，故=02 111由題意，所以，故，于是，36a是平方數(shù)，所以，a只可能為11，20，27，32，35，而a是的約數(shù)，故進(jìn)而，所以，3當(dāng)時(shí)，有，兩式相減，得 ，所以 故 4 由及得：，設(shè)若，即，則在處取最小值，因此，若，即，則在處取最小值，因此，（舍去）5 81

4、.由題設(shè)知，n恰有5個(gè)約數(shù).設(shè)n的質(zhì)因數(shù)分解是，則n的約數(shù)個(gè)數(shù)為，所以5，故n具有的形式，而，故n的最大值為81.6 22010令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x2011),問題中要求的答案為f(x)的展開式中，x的奇次項(xiàng)的系數(shù)和故所求的答案為(f(1)f(1)=22010.7易知，所以，從而，所以，因此，由得：，而，為斜邊長為的直角三角形，面積最大在時(shí)取到，此時(shí)，8 設(shè)，由，即，所以，因此，即，因直線過和，則，于是，再由，解得，所以9.注意到，所以 ，所以 同理，因?yàn)?，所?0.（1）由雙曲線離心率為2知，雙曲線方程化為又直線方程為由，得 設(shè)，則，因?yàn)?，所以 ，結(jié)合，解

5、得，代入，得，化簡得又且所以此時(shí)，代入，整理得，顯然該方程有兩個(gè)不同的實(shí)根符合要求故雙曲線的方程為 （2）假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)由（1）知，雙曲線右焦點(diǎn)為設(shè)（）為雙曲線右支上一點(diǎn)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?將代入，并整理得，于是 ，解得當(dāng)時(shí)，而時(shí)，符合所以符合要求滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為 11.必要性：若是一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)，則 .充分性：當(dāng)n2時(shí)，兩邊都等于1.當(dāng)n3時(shí)，有，化簡得，所以，成等比數(shù)列.假設(shè)成等比數(shù)列（），記，則，因?yàn)?，所以，即，從而成等比?shù)列.由數(shù)學(xué)歸納法知，是一個(gè)等比數(shù)列.加 試 1 a的最大值為因?yàn)楫?dāng)時(shí)，得又當(dāng)時(shí)，不等式恒成立事實(shí)上 ，所以，a的最大值為2連接DE，DF，則BDF是等腰直角

6、三角形于是，故又，所以PFD PDC，所以 又由，所以，AFP ADF，AEP ADE，于是 ，故由得 因?yàn)?，結(jié)合得，EPD EDC，所以，EPD也是等腰三角形，于是，所以，3（1）由于是大于3的奇數(shù)，故若，則只能為首位和末位為1，其余數(shù)碼為0的一個(gè)數(shù)，即=，k是大于1的整數(shù)于是，由于，所以于是，矛盾！故 又當(dāng)n=8時(shí)，=201，所以綜上所述，的最小值為3.（2）事實(shí)上，令，則，他的數(shù)碼和為由于100=9×11+1，所以，取，則=100.4首先，當(dāng)n90時(shí)，如圖，設(shè)AB是圓O的直徑，在點(diǎn)A和B的附近分別取45個(gè)點(diǎn)，此時(shí)，只有個(gè)角不超過，所以，n90不滿足題意當(dāng)n91時(shí)，下面證明至少有

7、2011個(gè)角不超過把圓周上的91個(gè)點(diǎn)看作一個(gè)圖的91個(gè)頂點(diǎn)，若，則在它們對應(yīng)的頂點(diǎn)之間連一條邊，這樣就得到一個(gè)圖G 設(shè)圖G中有e條邊，易知，圖中沒有三角形若e0，則有個(gè)角不超過，命題得證若，不妨設(shè)頂點(diǎn)之間有邊相連，因?yàn)閳D中沒有三角形，所以，對于頂點(diǎn)，它至多與中的一個(gè)有邊相連，所以，其中表示頂點(diǎn)v的度，即頂點(diǎn)v處引出的邊數(shù)因?yàn)?，而對于圖G中的每一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，都有，于是，上式對每一條邊求和可得，由柯西不等式，所以 ，故，所以，91個(gè)頂點(diǎn)中，至少有個(gè)點(diǎn)對，它們之間沒有邊相連，從而，它們對應(yīng)的頂點(diǎn)所對應(yīng)的角不超過 綜上所述，n但最小值為91目 錄第1講 集合與函數(shù)綜合問題 第2講 三角函數(shù)與反三角函數(shù) 第3講 等差數(shù)列與等比數(shù)列 第4講 遞歸數(shù)列 第5講 不等式 第6講 數(shù)學(xué)歸納法 第7講 復(fù)數(shù) 第8講 平面幾何問題(1) 第9講 平面幾何問題(2) 第10講 立體幾何 第11講