初中幾何添加輔助線的99條規(guī)律

1、01-規(guī)律 1如果平面上有n（n 2）個(gè)點(diǎn)，其中任何三 點(diǎn) 都 不 在 同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫一條直 線 ，一共可以畫出 n（n1）條 。規(guī)律 2平面上的n條直線 最 多可把平面分成n（n+1）/2+1個(gè)部分。規(guī)律 3如 果 一 條 直 線 上 有 n 個(gè) 點(diǎn) ，那 么 在 這 個(gè) 圖 形 中 共 有 線 段 的 條 數(shù) 為 n（n1）條 。規(guī)律 4線段（或延長(zhǎng)線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的 距離等于線段長(zhǎng)的一半。規(guī)律 5有公共端點(diǎn)的n 條射線所構(gòu)成的角的個(gè)數(shù) 一 共 有 n（n1）個(gè)。規(guī)律 6如果平面內(nèi)有n 條直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則 可 構(gòu) 成 小 于 平角 的角 共有 2n（

2、 n1） 個(gè) 。規(guī)律 7如 果 平 面 內(nèi) 有 n 條 直 線 都 經(jīng) 過(guò) 同 一 點(diǎn) ， 則 可 構(gòu) 成 n（ n1） 對(duì) 對(duì)頂角。規(guī)律 8平面上若有 n（n 3）個(gè) 點(diǎn) ， 任 意三 個(gè)點(diǎn) 不在 同 一 直 線 上 ， 過(guò) 任意三點(diǎn)作三角 形一 共可 作 出 n（n1）（n2）個(gè) 。規(guī)律 9為 鄰 補(bǔ) 角 的 兩 個(gè) 角 平 分 線 所 成 的 角 的 度 數(shù) 為 90 規(guī) 律 10平 面 上 有 n 條 直 線 相 交 ， 最 多 交 點(diǎn) 的 個(gè) 數(shù) 為 n（n1）個(gè) 。規(guī) 律 11互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半。規(guī) 律 12當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平

3、行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分 線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直。規(guī) 律 13在證明直線和圓相切時(shí)，常有以下兩種引輔助線方法：（1） 當(dāng)已知直線經(jīng)過(guò)圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可。（2） 如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長(zhǎng)度等于半徑的長(zhǎng)即可。-02-規(guī) 律 14成 “8”字 形 的 兩 個(gè) 三 角 形 的 一 對(duì) 內(nèi) 角 平 分 線 相 交 所 成 的 角 等 于 另 兩個(gè)內(nèi)角和的一半。規(guī) 律 15在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出 來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在 一個(gè)

4、或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。注 意 ：利 用 三角 形三 邊 關(guān) 系定 理及 推論 證 題 時(shí)，常通 過(guò)引 輔 助 線 ，把求證的量（或與求證有關(guān) 的量）移到同一個(gè)或幾 個(gè)三 角形中去然后再證題。規(guī) 律 16三 角 形 的 一 個(gè) 內(nèi) 角 平 分 線 與 一 個(gè) 外 角 平 分 線 相 交 所 成 的 銳 角 ，等 于第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī) 律 17三 角 形 的 兩 個(gè) 內(nèi) 角 平 分 線 相 交 所 成 的 鈍 角 等 于 90o 加 上 第 三 個(gè) 內(nèi)角的一半。規(guī) 律 18三 角 形 的 兩 個(gè) 外 角 平 分 線 相 交 所 成 的 銳 角 等 于 90o 減 去

5、 第 三 個(gè) 內(nèi)角的一半。規(guī) 律 19從 三 角 形 的 一 個(gè) 頂 點(diǎn) 作 高 線 和 角 平 分 線 ，它 們 所 夾 的 角 等 于 三 角 形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值）的一半。注 意 ：同 學(xué) 們 在 學(xué) 習(xí) 幾 何 時(shí) ，可 以 把 自 己 證 完 的 題 進(jìn) 行 適 當(dāng) 變 換 ， 從而 使自 己通 過(guò)解一道 題掌 握一類題 ，提 高自 己舉 一反三、靈 活 應(yīng)變的能力。規(guī) 律 20在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等 關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角 形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的 位置上，再利用外角定理證題。規(guī)律

6、21有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律22有 以 線 段 中 點(diǎn) 為 端 點(diǎn) 的 線 段 時(shí) ，常 加 倍 延 長(zhǎng) 此 線 段 構(gòu) 造 全 等 三 角 形。規(guī) 律 23在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形。規(guī) 律 24截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段； 補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等。這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法。當(dāng) 已 知 或 求 證 中 涉 及 到 線 段a、 b、 c、 d 有 下 列 情 況 之 一 時(shí) 用 此種方法： a> b a± b=c a± b=c± d規(guī) 律 25證明兩

7、條線段相等的步驟： 觀察要證線段在哪兩個(gè)可能 全 等 的 三 角 形 中 ，然后證這兩個(gè)三角形全等。 若圖中沒(méi)有全等三角形，可以 把 求 證 線 段 用 和 它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。如果沒(méi)有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形。規(guī) 律 26在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相 等來(lái)證明兩個(gè)角相等。規(guī) 律 27三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等。規(guī) 律28條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形。規(guī) 律29連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)題。規(guī)律30有和角平分 線 垂 直 的 線 段 時(shí) ，通 常 把 這 條 線 段 延

8、長(zhǎng) ?？?歸 結(jié) 為 “角分垂等腰歸 ”。規(guī)律31當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái) 構(gòu)造全等三角形。規(guī) 律 32當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供 條件。規(guī) 律 33有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平 分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。規(guī) 律 34有等腰三角形時(shí)常用的輔助線（1） 作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線（2） 有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線（3） 將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題（4） 常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線（5） 常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線（6） 常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等 邊 三

9、 角 形規(guī) 律 35有二倍角時(shí)常用的輔助線（1） 構(gòu)造等腰三角 形 使 二 倍 角 是 等 腰 三 角 形 的 頂 角 的 外 角（2） 平分二倍角3） 加 倍 小 角規(guī)律36有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。規(guī)律37有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律38有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律39當(dāng) 涉 及 到 線 段 平 方 的 關(guān) 系 式 時(shí) 常 構(gòu) 造 直 角 三 角 形 ，利 用 勾 股 定 理 證題。規(guī) 律 40條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中。-03-規(guī)律41平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半。規(guī)律42平 行 四 邊 形 被 對(duì) 角 線 分 成

10、 四 個(gè) 小 三 角 形 ，相 鄰 兩 個(gè) 三 角 形 周 長(zhǎng) 之 差等于鄰邊之差。規(guī)律43有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律44有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段。規(guī) 律 45平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等。規(guī) 律 46平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩 個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一 半。規(guī) 律 47平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形 中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一 半。規(guī) 律 48任 意 一 點(diǎn) 與 同 一 平 面 內(nèi) 的 矩 形 各 點(diǎn) 的 連 線 中 ，不 相 鄰

11、的 兩 條 線 段 的平方和相等。規(guī) 律 49平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。規(guī)律50有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線。規(guī)律51直角三角形常用輔助線方法：（1） 作斜邊上的高（2） 作斜邊中線，當(dāng) 有 下 列 情 況 時(shí) 常 作 斜 邊 中 線 ：有斜邊中點(diǎn)時(shí)有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)規(guī)律52正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)到另一條對(duì)角線上的兩端距離相等。規(guī)律53有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)。規(guī) 律 54利 用 正 方 形 進(jìn) 行 旋 轉(zhuǎn) 變 換 。旋 轉(zhuǎn) 變 換 就 是 當(dāng) 圖 形 具 有 鄰 邊 相 等 這 一 特 征 時(shí) ，可 以 把 圖 形 的 某 部 分 繞 相 等 鄰 邊 的

12、 公 共 端 點(diǎn) 旋 轉(zhuǎn) 到 另 一 位 置 的 引 輔 助 線 方 法 。旋 轉(zhuǎn) 變 換 主 要 用 途 是 把 分 散 元 素 通 過(guò) 旋 轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而 為證題創(chuàng) 造必 要的條件 。旋 轉(zhuǎn)變 換經(jīng) 常用于等 腰三角形、等邊三角形及正方形中。規(guī) 律 55有以 正方 形一 邊中點(diǎn)為 端點(diǎn) 的線段時(shí) ，常 把這 條線 段延長(zhǎng)，構(gòu) 造 全等三角形。規(guī) 律 56從 梯 形 的 一 個(gè) 頂 點(diǎn) 作 一 腰 的 平 行 線 ，把 梯 形 分 成 一 個(gè) 平 行 四 邊 形 和一個(gè)三角形。規(guī) 律 57從 梯 形 同 一 底 的 兩 端 作 另 一 底 所 在 直 線 的 垂 線 ，把 梯 形 轉(zhuǎn) 化

13、成 一 個(gè)矩形和兩個(gè)三角形。規(guī) 律 58從 梯 形 的 一 個(gè) 頂 點(diǎn) 作 一 條 對(duì) 角 線 的 平 行 線 ，把 梯 形 轉(zhuǎn) 化 成 平 行 四 邊形和三角形。規(guī)律59延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。規(guī)律60有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化 成平行四邊形。規(guī) 律 61有 梯 形 一 腰 中 點(diǎn) 時(shí) ，也 常 把 一 底 的 端 點(diǎn) 與 中 點(diǎn) 連 結(jié) 并 延 長(zhǎng) 與 另 一 底的延長(zhǎng)線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。規(guī)律62梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線。規(guī)律63任 意 四 邊 形 的 對(duì) 角 線 互 相 垂 直 時(shí) ，它 們 的 面 積 都 等

14、 于 對(duì) 角 線 乘 積 的一半。規(guī) 律 64有線段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的 推論證題。規(guī) 律 65有下列情況時(shí)常作三角形中位線。（1） 有一邊中點(diǎn)；（2） 有線段倍分關(guān)系；（3） 有兩邊（或兩邊以上 ） 中 點(diǎn) 。規(guī) 律 66有下列情況時(shí)常構(gòu)造梯形中位線（1） 有一腰中點(diǎn)（2） 有兩腰中點(diǎn)（3） 涉及梯形上、 下 底 和規(guī)律67連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形。規(guī)律68連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形。規(guī) 律 69連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。規(guī) 律 70連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為 正方形

15、。規(guī) 律 71連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點(diǎn)所得 的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。規(guī) 律 72等腰梯形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，梯形的高等于兩底和的一半（或 中位線的長(zhǎng)）。規(guī) 律73等腰梯形的對(duì)角線與底構(gòu)成的兩個(gè)三角形為等腰三角形。規(guī) 律74如 果 矩 形 對(duì) 角 線 相 交 所 成 的 鈍 角 為 120 o， 則 矩 形 較 短 邊 是 對(duì) 角 線長(zhǎng)的一半。規(guī) 律75梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰的乘積。規(guī) 律76若 菱 形 有 一 內(nèi) 角 為 120°， 則 菱 形 的 周 長(zhǎng) 是 較 短 對(duì) 角 線 長(zhǎng) 的 4 倍 。-04

16、-規(guī) 律 77當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線。規(guī)律 有中 形。規(guī)律 當(dāng)已（1）（2）構(gòu)造規(guī)律 當(dāng)已 理證78線時(shí)延長(zhǎng)中線（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊79知或求證中，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形。有 特 殊 角 時(shí) ， 如 有 30°、45°、60°、120°、135°角 時(shí) 。涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí)。直角三角形經(jīng)常通過(guò)作垂線來(lái)實(shí)現(xiàn)。-05-80知條 件中 有切線時(shí) ，常 作過(guò) 切點(diǎn)的半 徑，利用切線的 性質(zhì) 定 題。規(guī) 律 81兩圓相交時(shí)，常連結(jié)兩圓的公共弦。規(guī) 律 82任 意 銳 角 的 正 弦 值 等 于

17、它 的 余 角 的 余 弦 值 ；任 意 銳 角 的 余 弦 值 等 于它的余角的正弦值。規(guī) 律 83任 意 銳 角 的 正 切 值 等 于 它 的 余 角 的 余 切 值 ；任 意 銳 角 的 余 切 值 等 于它的余角的正切值。規(guī)律84三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。規(guī)律85等腰直 角三角 形 斜 邊 的 長(zhǎng) 等 于 直 角 邊 的 2 倍 。規(guī)律86在含有30°角的直角三 角 形 中 ，60°角所 對(duì) 的 直 角 邊 是30°角所對(duì)的直角 邊的3 倍 。規(guī)律87直角三角 形中， 如果較 長(zhǎng) 直 角 邊是較短 直 角 邊 的 2倍 ，則斜邊是較短直角 邊的5倍。規(guī)律88圓中解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即 弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二 是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。規(guī) 律 89有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧所對(duì)的圓心角。規(guī) 律90有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距。規(guī) 律91證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距。規(guī) 律 92有弧 中 點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn) ）時(shí) ，常 有 以 下 幾 種 引 輔 助 線 的 方 法 ：（1） 連結(jié)過(guò)弧中點(diǎn)的半徑