圓錐曲線解答題基礎練習題

1、圓錐曲線解答題基礎練習1求曲線的離心率。2若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，且離心率為，一條準線的方程為，求橢圓的標準方程。3已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩個焦點的距離分別為和，過作焦點所在軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程。4設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，求的最大值和最小值。5求橢圓的長軸長和短軸長、離心率、焦點和頂點坐標及準線方程。6試證明：橢圓與曲線有相同的焦點。7求以橢圓的兩頂點為焦點，以橢圓的焦點為頂點的雙曲線方程。8已知橢圓的長軸是短軸的倍，且過點，并且以坐標軸為對稱軸，求橢圓的標準方程。9已知方程表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍。10已知橢圓的左焦

2、點到直線的距離為，求橢圓的方程。11分別是橢圓的左右焦點，點在橢圓上，是面積為的正三角形，求的值。12已知點與橢圓的左焦點和右焦點的距離之比為，求點的軌跡方程。13求與橢圓共焦點，且過點的橢圓方程。14已知橢圓經(jīng)過點，求橢圓的標準方程。15已知橢圓的兩焦點為和，并且過點，求橢圓的方程。16橢圓的離心率為，長軸長為，在橢圓上有一點到左準線的距離為，求點到右準線的距離。17設是橢圓的一個焦點，相應準線為，離心率為。（1）求橢圓的方程；（2）求過另一焦點且傾斜角為的直線被曲線所截得的弦長。18（本小題滿分14分）橢圓與直線相交于兩點，且（為原點）.（1）求證：為定值；（2）若離心率，求橢圓長軸的取值

3、范圍。19橢圓的焦距是長軸長與短軸長的等比中項，求橢圓的離心率。20已知中，且三邊的長成等差數(shù)列，求頂點的軌跡。21如果橢圓的一個焦點坐標為，求的值。22如果方程表示焦點在軸上的橢圓，求實數(shù)的取值范圍。23根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程。（1）與雙曲線有公共焦點，且過點；（2）經(jīng)過點和點24已知方程表示焦點在軸上的雙曲線，求的范圍。25已知的雙曲線與橢圓有相同焦點，求雙曲線的方程。26求焦距為，的雙曲線的標準方程。27已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點。（1）求此雙曲線的方程；（2）若點在雙曲線上，求證：。28橢圓與雙曲線且有相同的焦點，求值。29已知橢圓的標準方程為：

4、，一個過點的雙曲線的長軸的端點為橢圓的焦點，求雙曲線的標準方程。30已知雙曲線的一個焦點坐標為，雙曲線上一點到的距離的差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程。31設雙曲線與橢圓有共同的焦點，且與橢圓的一個交點的縱坐標為，求雙曲線的方程。32的兩個端點是,另兩邊所在的直線的斜率之積等于，求頂點的軌跡方程。33經(jīng)過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，與雙曲線交于兩點，求：（1）；（2）的周長（是雙曲線的左焦點）。34 求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率以及漸近線的方程。35已知雙曲線的離心率，虛半軸長為，求雙曲線的方程。36過點的直線交雙曲線于兩個不同的點，是坐標原點，直線與的斜率之和為，求直

5、線的方程。37求經(jīng)過點且的雙曲線的標準方程。38已知雙曲線，雙曲線存在關(guān)于直線對稱的點，求實數(shù)的取值范圍。39已知直線與雙曲線交于兩點，（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)的值。40如果直線與雙曲線的右支有兩個公共點，求的取值范圍。41雙曲線的一條準線是，求的值。42在雙曲線的一支上有不同的三點，它們與點的距離依次成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求證：線段的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求出定點的坐標。43若雙曲線的右支上存在與右焦點和左準線距離相等的點，求離心率的取值范圍。44求的準線方程。45在直角坐標系中，設動點到定點的距離與到定直線的距離相等，記的軌跡為又直線的一個方

6、向向量且過點，與交于兩點，求的長46（本題滿分12分）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F和橢圓的右焦點重合，直線過點F交拋物線于A、B兩點（1）求拋物線C的方程；（2）若直線交y軸于點M，且，m、n是實數(shù)，對于直線，m+n是否為定值？若是，求出m+n的值，否則，說明理由47(本小題滿分13分)已知拋物線上一動點,拋物線內(nèi)一點,為焦點且的最小值為。求拋物線方程以及使得|PA|+|PF|最小時的P點坐標;過(1)中的P點作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點,直線CD是否過一定點? 若是,求出該定點坐標; 若不是,請說明理由。48（本小題滿分12分）已知直線經(jīng)過拋物線的焦點

7、，且與拋物線交于兩點，點為坐標原點.XOBYAF（）證明：為鈍角.（）若的面積為，求直線的方程;49(本小題13分)曲線上任意一點M滿足, 其中F(-F( 拋物線的焦點是直線yx1與x軸的交點, 頂點為原點O.（1）求，的標準方程；（2）請問是否存在直線滿足條件：過的焦點；與交于不同兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由 50已知拋物線C的準線為x =（p>0），頂點在原點，拋物線C與直線l:y =x-1相交所得弦的長為3，求的值和拋物線方程參考答案1【解析】由得，。2【解析】，橢圓的方程為。3橢圓的方程為或【解析】設兩焦點為，且，由橢圓的定義知：，。，由題意知為直角三

8、角形，在中，。因為焦點可以在軸上，也可能在軸上，橢圓的方程為或。4當時，最小，為【解析】由定義得，由三角形的性質(zhì)，當、共線時取“=”號，+得，同樣，設，=，當時，最大為，當時，最小，為。5略【解析】把已知方程化為標準方程，這里，因此橢圓的長軸長為，短軸長為，離心率為，焦點坐標為，橢圓的四個頂點為，準線方程為：。6證明略【解析】證明：當時，表示焦點在軸上的雙曲線，與橢圓有相同的焦點；當時，表示焦點在軸上的橢圓，此時曲線也與有相同的焦點，綜上，曲線與有相同的焦點。7【解析】橢圓的焦點為，頂點、，而，故所求的雙曲線的方程為8橢圓的方程為：或【解析】解法一：若橢圓的焦點在軸上，設方程為由題意得：，解得

9、，橢圓方程為；若焦點在軸上，設方程為，由題意得：，解得，橢圓的方程為，綜上得：橢圓的方程為：或。解法二：設橢圓的方程為：，則由題意得：或，解得：或，所以橢圓的方程為：或。9【解析】由題意得，解得。名師點金：與原題中的焦點在軸上相比，變式中焦點在軸上，相應地求得的的范圍發(fā)生了變化，另外，本題也可以改成：方程表示橢圓，求的范圍，則相應地應分兩種情況，所得的的范圍恰好是原題的解集與變式解集的并集。10【解析】橢圓方程可化為：，左焦點為，由解得：，所求的橢圓方程為。11【解析】設，由是正三角形，知點的坐標為。，所以。又點在橢圓上，即。，又，即。12【解析】由知：兩焦點的坐標分別為：，設，則由題意知：，

10、即，化簡得：，這就是點的軌跡方程。名師點金：原題和變式可以合寫為：已知點與點，的距離之比為一定值，求點的軌跡方程，這里要分開進行討論。13【解析】橢圓可先化為：，焦點為、，且過點，而點到、的距離之和為：=，橢圓方程為14【解析】不能確定橢圓的焦點在哪個軸上，若焦點在軸上，可設方程為，將點，分別代入方程得，看成是和的二元一次方程組，解得，橢圓方程為，若焦點在軸上，可設方程為，把兩點的坐標代入后同樣可以得到（舍去），所求橢圓的方程為：。15【解析】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設其方程為，焦點為和，橢圓方程可改寫為，把點的坐標代入后解得：，橢圓的方程為：。名師點金：把原題中的焦點在軸上換成了焦點在軸

11、上并將這一條件與焦距為合寫成一個條件：兩焦點為和，再通過代入一點得出橢圓的方程。雖然兩者的本質(zhì)都是利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，但是變式對能力的要求更高。1610【解析】，兩準線的方程為，兩準線之間的距離為=，又到左準線的距離為，到右準線的距離為，即點到右準線的距離為。17【解析】（1）設橢圓上動點，由圓錐曲線的共同性質(zhì)知，化簡得：。（2）橢圓的另一焦點為，過的傾斜角為的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，設，則，由焦半徑公式=。18（1）略 （2）【解析】（1）由，得，設，即，又， 代入，得，故 （2），而 代入得 所以橢圓長軸的取值范圍是. 19【解析】由題設得：，又，展開后等式兩邊同除以得：，即

12、，即，。20【解析】。設點的坐標為，則，化簡得。21【解析】。橢圓的方程可以化為：，而焦點的坐標為，所以，。22【解析】方程化為標準形式，因為曲線表示焦點在軸上的橢圓，故23【解析】（1）方法一：雙曲線的焦點為，=，方程為，方法二：焦點為，只須，因此可設雙曲線的方程為，將點代入得或，將舍去，所以所求方程為。（2）方法一：若焦點在軸上，設方程為，將點的坐標代入方程解得（舍去）。若焦點在軸上，設方程為，將點的坐標代入方程解得，所求雙曲線的方程為：。方法二：設所求雙曲線的方程為：，將點的坐標代入方程得：，所求雙曲線的方程為：。24【解析】由題意得得。本題可以改為：方程表示橢圓，求的取值范圍。這時除了

13、外，還應當注意到。25雙曲線的方程為?！窘馕觥坑傻?，橢圓焦點（也就是雙曲線的焦點）為，又，又焦點在軸上，雙曲線的方程為。26當焦點在軸上時，方程為；當焦點在軸上時，方程為?！窘馕觥?，當焦點在軸上時，方程為；當焦點在軸上時，方程為。27略【解析】（1）由離心率得，設雙曲線方程為，將代入得，此雙曲線的方程為。（2）將代入雙曲線方程，得，則。28【解析】由得，焦點在軸上，。29【解析】方法一：由橢圓的標準方程為知：橢圓的長軸端點為和，所以，雙曲線的焦點為，焦點在軸上且。設所求雙曲線的標準方程為：，由雙曲線的定義知，=。，又，。雙曲線的標準方程。方法二：由橢圓的標準方程是，知橢圓長軸的端點為和，所以，

14、雙曲線的焦點為，焦點在軸上且。設雙曲線的標準方程為：，又雙曲線過點，。又，舍去，雙曲線的標準方程。30【解析】雙曲線的焦點在軸上，所在設雙曲線的方程為：，所求雙曲線的方程為：。31【解析】橢圓的焦點為，橢圓與雙曲線的一個交點是代入，得，解之得或（舍去），所以所求的雙曲線的方程是。32【解析】設點，化簡得頂點的軌跡方程為：。333，【解析】（1）右焦點的坐標為，直線的方程為，把代入并整理得：。（2）由方程得：，兩點在雙曲線的兩支上，不妨設，。的周長是。34同解析【解析】雙曲線可化為，焦點的坐標為，離心率為，漸近線的方程為。35【解析】，所求的雙曲線的方程為。36直線的方程為【解析】設直線的方程為

15、代入中可得，當時，設，則，又，于是有，解得，并驗證這個結(jié)果是符合的約束的，直線的方程為。37【解析】，又雙曲線過點，雙曲線的焦點在軸上，設其方程為（），則，雙曲線的標準方程為。名師點金：此題的答案與變式的答案是相同的，變式的目的是幫助掌握等軸雙曲線的離心率為，另外，本題若改為：求經(jīng)過點且兩漸近線相互垂直的雙曲線的方程，結(jié)果仍是一樣的。38的取值范圍是?！窘馕觥慨敃r，顯然不成立，當時，由，可設直線的方程為，代入中得：，顯然，即-，由根與系數(shù)的關(guān)系，得中點的坐標：，在直線上，即-，把代入式得：，解得：。，即。的取值范圍是。39【解析】，應該將坐標化，再結(jié)合韋達定理來求解。（1）由消去得：，依題意得

16、：，即。（2）設，則，以為直徑的圓過原點，即，即，滿足。40【解析】聯(lián)立消去得方程：，由題意，這個方程有兩個不等的正根，即，解得：。41【解析】雙曲線為，且，解得。42證明略【解析】（1），為上焦點，上準線方程為，根據(jù)圓錐曲線的共同性質(zhì)有：，由知。（2）設的中點為，則，因此點的坐標為，在雙曲線上，作差得，故，的垂直平分線的方程為，令得，故的垂直平分線恒過定點。43【解析】設點在雙曲線的右支上，依題意，點到右焦點的距離等于它到左準線的距離，即，則，但是，。44【解析】，又焦點在軸上，準線的方程是。455【解析】試題分析：解 由拋物線的定義知，動點的軌跡是拋物線，方程 3分直線的方程為，即 6分設

17、、，代入，整理，得 8分所以 12分考點：直線與拋物線的位置關(guān)系點評：主要是考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的運用，屬于基礎題。46（1）（2）m+ n為定值-1【解析】試題分析：（1）橢圓的右焦點拋物線C的方程為 3分（2）由已知得直線l的斜率一定存在，所以設l：與y軸交于，設直線l交拋物線于由， 5分， 7分又由即m=,同理， 9分 11分所以，對任意的直線l，m+ n為定值-1. 12分考點：本小題主要考查拋物線標準方程的求解，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的判定和應用，和向量的坐標運算.點評：遇到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，一般離不開直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，此時不要忘記驗證判別式大

18、于零.47 (2,2). 過定點。【解析】試題分析：(1)過A,P分別做準線的垂線,設垂足為,則|PF|=|PH|,由圖象可知,當|PA|+|PF|取最小值即是點到準線的距離,此時P點為AA0與拋物線的交點.故,此時拋物線方程為, P點坐標為(2,2). (2)設,直線即即, 由PAPB有得代入到中，有,即即,故直線AB過定點?？键c：拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與拋物線的綜合應用。點評：拋物線的定義在考試中經(jīng)?？嫉?，我們要熟練掌握。此題的第一問解答的關(guān)鍵是：利用拋物線的定義把“的最小值”抓化為“點A到準線的距離?！?8(I)見解析；()直線方程為?！窘馕觥吭囶}分析：(I)依題意設直線的方程為：（必存在），設直線與拋物線的交點坐標為，則有，依向量的數(shù)量積定義，即證為鈍角() 由（I）可知: , , 直線方程為考點：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系；弦長公式。點評：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的坐標運算，將問題進行了等價轉(zhuǎn)化。49 (1) 的方程為：， 的方程為：。（2）存在直線滿足條件，且的方程為或【解析】試題分析：（1）由題意結(jié)合橢圓的定義和拋物線的焦點坐標，得到關(guān)系式。（2）假設存在這樣的直線，設