高中數(shù)學復習提綱(總)

1、第一章 集合與簡易邏輯2第二章 函數(shù)4第三章 數(shù)列11第四章 三角函數(shù)15第五章 平面向量23第六章 不等式28第七章 立體幾何初步31第八章 直線和圓的方程41第九章 圓錐曲線方程44第十章 導數(shù)及其應(yīng)用49第十一章 統(tǒng)計和概率51第十二章 復數(shù)60第一章 集合與簡易邏輯集合及其運算一集合的概念、分類：二集合的特征： 確定性 無序性 互異性三表示方法： 列舉法 描述法 圖示法 區(qū)間法四兩種關(guān)系： 從屬關(guān)系：對象 、 集合；包含關(guān)系：集合 、 集合五三種運算： 交集： 并集： 補集：六運算性質(zhì)： ， 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若，則， ， ， 集合的所有子集的個數(shù)為，所有真

2、子集的個數(shù)為，所有非空真子集的個數(shù)為，所有二元子集（含有兩個元素的子集）的個數(shù)為簡易邏輯一邏輯聯(lián)結(jié)詞：1命題是可以判斷真假的語句的語句，其中判斷為正確的稱為真命題，判斷為錯誤的為假命題2邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”、“且”、“非”3不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，叫做簡單命題，由簡單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復合命題4真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二四種命題：1原命題：若則 逆命題：若P則q，即交換原命題的條件和結(jié)論； 否命題：若q則p，即同時否定原命題的條件和結(jié)論； 逆否命題：若P則q，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定2四個命題的關(guān)系： 原命題為真，它的逆命題

3、不一定為真； 原命題為真，它的否命題不一定為真； 原命題為真，它的逆否命題一定為真三充分條件與必要條件1“若則”是真命題，記做， “若則”為假命題，記做，2若，則稱是的充分條件，是的必要條件3若，且，則稱是的充分非必要條件； 若，且，則稱是的必要非充分條件； 若，且，則稱是的充要條件； 若，且，則稱是的既不充分也不必要條件4若的充分條件是，則； 若的必要條件是，則第二章 函數(shù)指數(shù)與對數(shù)運算一分數(shù)指數(shù)冪與根式：如果，則稱是的次方根，的次方根為0，若，則當為奇數(shù)時，的次方根有1個，記做；當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，正數(shù)的次方根有2個，其中正的次方根記做負的次方根記做1負數(shù)沒有偶次方根；2兩個關(guān)系式

4、：；3、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義：； 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：4、分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： ； ； ； ； ，其中、均為有理數(shù)，均為正整數(shù)二對數(shù)及其運算1定義：若，且，則2兩個對數(shù)： 常用對數(shù)：，； 自然對數(shù)：，3三條性質(zhì)： 1的對數(shù)是0，即； 底數(shù)的對數(shù)是1，即； 負數(shù)和零沒有對數(shù)4四條運算法則： ； ； ； 5其他運算性質(zhì)： 對數(shù)恒等式：； 換底公式：； ； 函數(shù)的概念一映射：設(shè)A、B兩個集合，如果按照某中對應(yīng)法則，對于集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一的一個元素與之對應(yīng)，這樣的對應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射二函數(shù)：在某種變化過程中的兩個變量、，對于在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，

5、按照某個對應(yīng)法則，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記做，其中稱為自變量，變化的范圍叫做函數(shù)的定義域，和對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的變化范圍叫做函數(shù)的值域三函數(shù)是由非空數(shù)集到非空數(shù)集B的映射四函數(shù)的三要素：解析式；定義域；值域函數(shù)的解析式一根據(jù)對應(yīng)法則的意義求函數(shù)的解析式；例如：已知，求函數(shù)的解析式二已知函數(shù)的解析式一般形式，求函數(shù)的解析式；例如：已知是一次函數(shù)，且，函數(shù)的解析式三由函數(shù)的圖像受制約的條件，進而求的解析式函數(shù)的定義域一根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域： 整式： 分式：分母不等于0 偶次根式：被開方數(shù)大于或等于0 含0次冪、負指數(shù)冪：底數(shù)不等于0 對數(shù)：底數(shù)大于0，且不等于1

6、，真數(shù)大于0二根據(jù)對應(yīng)法則的意義求函數(shù)的定義域： 例如：已知定義域為，求定義域； 已知定義域為，求定義域；三實際問題中，根據(jù)自變量的實際意義決定的定義域函數(shù)的值域一基本函數(shù)的值域問題：名稱解析式值域一次函數(shù)二次函數(shù)時，時，反比例函數(shù)，且指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)二求函數(shù)值域（最值）的常用方法：函數(shù)的值域決定于函數(shù)的解析式和定義域，因此求函數(shù)值域的方法往往取決于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數(shù)換元與三角換元）、常數(shù)分離法、單調(diào)性法、不等式法、*反函數(shù)法、*判別式法、*幾何構(gòu)造法和*導數(shù)法等反函數(shù)一反函數(shù)：設(shè)函數(shù)的值域是，根據(jù)這個函數(shù)中，的關(guān)系，用把表示出，得到若對于中

7、的每一值，通過，都有唯一的一個與之對應(yīng)，那么，就表示是自變量，是自變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作,習慣上改寫成二函數(shù)存在反函數(shù)的條件是：、一一對應(yīng)三求函數(shù)的反函數(shù)的方法： 求原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域 反解，用表示，得 交換、，得 結(jié)論，表明定義域四函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系： 函數(shù)與的定義域與值域互換 若圖像上存在點，則的圖像上必有點，即若，則 函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱函數(shù)的奇偶性：一定義：對于函數(shù)定義域中的任意一個，如果滿足，則稱函數(shù)為奇函數(shù)；如果滿足，則稱函數(shù)為偶函數(shù)二判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如果對稱可進一步驗證，如果不對稱；2驗證與的關(guān)系，

8、若滿足，則為奇函數(shù)，若滿足，則為偶函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)二奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱三已知、分別是定義在區(qū)間、上的奇（偶）函數(shù)，分別根據(jù)條件判斷下列函數(shù)的奇偶性奇奇奇奇奇偶偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶五若奇函數(shù)的定義域包含，則六一次函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是； 二次函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)的周期性：一定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，則為周期函數(shù)，為這個函數(shù)的一個周期2如果函數(shù)所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期如果函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的最小正周期為函數(shù)的單調(diào)性一定義：一般的，對于給定區(qū)

9、間上的函數(shù)，如果對于屬于此區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時滿足： ，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)； ，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)二判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：1定義法： 取值； 作差、變形； 判斷： 定論：*2導數(shù)法： 求函數(shù)f(x)的導數(shù)； 解不等式，所得x的范圍就是遞增區(qū)間； 解不等式，所得x的范圍就是遞減區(qū)間3復合函數(shù)的單調(diào)性： 對于復合函數(shù)，設(shè)，則，可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復合函數(shù)，具體判斷如下表：增增減減 增減增減 增減減增4奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同函數(shù)的圖像一基本函數(shù)的圖像二圖像變換： 將圖像上每一點向上或向下平移個單位，可得的圖像 將圖像上每一點向

10、左或向右平移個單位，可得的圖像 將圖像上的每一點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得的圖像 將圖像上的每一點縱橫坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的，可得的圖像 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱 將位于軸左側(cè)的圖像去掉，再將軸右側(cè)的圖像沿軸對稱到左側(cè)，可得的圖像 將位于軸下方的部分沿軸對稱到上方，可得的圖像三函數(shù)圖像自身的對稱關(guān)系圖像特征關(guān)于軸對稱關(guān)于原點對稱關(guān)于軸對稱關(guān)于直線對稱關(guān)于直線軸對稱關(guān)于直線對稱周期函數(shù)，周期為四兩個函數(shù)圖像的對稱關(guān)系圖像特征與關(guān)于軸對稱與關(guān)于軸對稱與關(guān)于原點對稱與關(guān)于直線對稱與關(guān)于直線對稱與關(guān)于軸對稱第三章 數(shù)列數(shù)列的基本概念一數(shù)列是按照一定的順序排列的一列數(shù)

11、，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項二如果數(shù)列中的第項與項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公事，它實質(zhì)是定義在正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)解析式三數(shù)列的分類： 按項的特點可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、搖擺數(shù)列 按項數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列四數(shù)列的前項和：與的關(guān)系：五如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法如：在數(shù)列中，其中即為數(shù)列的遞推公式，根據(jù)數(shù)列的遞推公式可以求出數(shù)列中的每一項，同時可根據(jù)數(shù)列的前幾項推斷出數(shù)列的通項公式，至于猜測的

12、合理性，可利用數(shù)學歸納法進行證明如上述數(shù)列，根據(jù)遞推公式可以得到：，進一步可猜測等差數(shù)列一定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示二通項公式： 若已知、，則；若已知、，則三前項和公式： 若已知，則；若已知、，則注： 前項和公式的推導使用的是倒序相加法的方法 在數(shù)列中，通項公式，前項和公式均是關(guān)于項數(shù)的函數(shù)，在等差數(shù)列通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系，前項和公式是關(guān)于的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)關(guān)系 在等差數(shù)列中包含、這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數(shù)列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本

13、量四如果、成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項，且五證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法：1利用定義證明：2利用等差中項證明：3利用通項公式證明：4利用前項和公式證明：六性質(zhì)：在等差數(shù)列中，1若某幾項的項數(shù)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項也成等差數(shù)列，即：若，則2若兩項的項數(shù)之和與另兩項的項數(shù)之和相等，則對應(yīng)項的和也相等，即：若，則3依次相鄰每項的和仍成等差數(shù)列，即：，成等差數(shù)列4，仍成等差數(shù)列，其公差為三等比數(shù)列一定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用宇母表示二通項公式： 若已知、，則；若已知、，則三前項和公式： 當公比時， 當公比

14、時，若已知、，則 若已知、，則注： 等比數(shù)列前項和公式的推導使用的是錯位相減的方法 在等比數(shù)列中包含、這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數(shù)列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量四若、成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項，且、 滿足關(guān)系式五證明數(shù)列是等比數(shù)列的方法：1利用定義證明：2利用等比中項證明：3利用通項公式證明：六性質(zhì)：在等比數(shù)列中，1若某幾項的項數(shù)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項成等比數(shù)列，即：若，則2若兩項的項數(shù)之和與另兩項的項數(shù)之和相等，則對應(yīng)項的積相等，即：若，則3若數(shù)列公比，則依次相鄰每項的和仍成等比數(shù)列，即，成等比數(shù)列。4，仍成等比數(shù)列，其公比為數(shù)列求和1常見數(shù)列的

15、前n項和： 自然數(shù)數(shù)列：1，2，3，n， 奇數(shù)列：1，3，5， 偶數(shù)列：2，4，6， 自然數(shù)平方數(shù)列：， 2等差、等比數(shù)列：利用等差、等比數(shù)列的求和公式3數(shù)列滿足：，其中、為等差或者等比數(shù)列方法：拆項，轉(zhuǎn)化成兩個等差或等比各項的和（差）4數(shù)列滿足：，其中是公差為的等差數(shù)列；是公比為的等比數(shù)列方法：錯位相減 5若數(shù)列滿足：，其中、均為常數(shù)方法：裂項法，設(shè)，其中為可確定的參數(shù)第四章 三角函數(shù)一角度與弧度制1弧度與角度的互化：2終邊相同角：與角有相同終邊的角的集合可以表示為：3特殊角的集合： 各個象限的角的集合 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 角的終邊在各個坐標軸上的角的集合

16、 終邊在軸的角： 終邊在軸的角： 終邊在坐標軸上的角： 終邊在第一三象限角平分線上： 終邊在第二四象限角平分線上：4弧長公式和扇形面積公式 設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則 弧長， 扇形的面積任意角三角函數(shù)的定義：一定義：以角頂點為原點，始邊為軸的非負半軸建立直角坐標系。在角的終邊上任取不同于原點的一點，設(shè)點與原點的距離為，則，則角的六個三角函數(shù)依次為： ， ， ， ， 二三角函數(shù)的定義域與值域：定義域值域RRR三三角函數(shù)值的符號： 四三角函數(shù)線正弦線、余弦線正切線以角的終邊與單位圓的公共點作軸的垂線軸，垂足為，則過點作軸的垂線交的終邊或終邊的延長線于點，則：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系：、商

17、數(shù)關(guān)系：、平方關(guān)系：正弦、余弦的誘導公式：； ； ； ； ； ； ； ； ； 誘導公式可簡單的概括為：“奇變偶不變，符號看象限”，其中“奇變偶不變”的含義為：當為奇數(shù)時，的三角函數(shù)值為的余函數(shù)，當為偶數(shù)時，的三角函數(shù)值為的原函數(shù)；“符號看象限”的含義為在的三角函數(shù)前加上一個把看作銳角時原三角函數(shù)值的符號.兩角和與差的三角函數(shù)：一基本公式： 二常見關(guān)系：1輔助角公式： 如：； ；2兩角和與差的正切公式的變形： 二倍角公式一基本公式： 二常見關(guān)系式：1 2 三角函數(shù)的圖像：一正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像：1正弦函數(shù)2余弦函數(shù)2正切函數(shù)二三角函數(shù)的圖象變換：1：將圖象上各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或

18、壓縮為原來的倍得到2：將圖象上各點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍得到3：將的圖象向右或向左平移個單位得到4函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象分別經(jīng)過下面的兩種方法得到： 將的圖象向左或向右平移個單位，可得到函數(shù)圖象； 將得到圖象點的縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍，得到函數(shù)圖象； 將新圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得函數(shù)圖象 將圖象點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍，可以得到函數(shù)圖象； 將得到的圖象向左或向右平移個單位就得到函數(shù)圖象； 將新的圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得函數(shù)的圖象三形如的函數(shù)圖像的畫法 五點法，即

19、根據(jù)分別取、時對應(yīng)的與的值描點作出的一個周期的圖像三角函數(shù)的性質(zhì)函 數(shù)名 稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義域RR值 域R最 值圖 象分 布最小正周 期奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱軸對 稱中 心單調(diào)性增減三角形中的邊角關(guān)系一正弦定理： 在一個三角形中，各邊和他所對角的正弦的比都等于該三角形外接圓的直徑，即： 二余弦定理： 三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即： 推論：；三相關(guān)結(jié)論：在中，角、所對的邊分別為、， ， ， ， ， 根據(jù)正弦定理：， 三角形面積公式： 三角形的面積等于三角形任意一邊與對應(yīng)邊上的高的乘積的一半，即： 三角形的面積等于三角形的任意兩邊與

20、其夾角的正弦值乘積的一半，即：第五章 平面向量向量的基本概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一條有向線段來表示2向量的長度：向量的大小，也就是向量的長度（也稱為的模），記作3零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的4單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量5平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共線向量，若向量、平行，記作6相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量的加法與減法：1兩個向量的和：已知向量、，平移向量，使的起點與的終點重合，那么以的起點為起點，的終點為終點的向量叫做向量與向量的和求兩個向量和的運算叫做向量的加法2向量加法的三角

21、形法則：根據(jù)向量和的定義，以第一個向量的終點A為起點作第二個向量，則以的起點O為起點，以的終點B為終點的向量就是與的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的三角形法則 3向量加法的平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線就是，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則4向量加法運算律： 交換律： 結(jié)合律：5相反向量：與向量方向相反的向量叫做的相反向量，記作規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量性質(zhì)： 6兩個向量的差：加上的相反向量叫做與的差，即： 7向量的減法：求兩個向量差的運算叫做向量的減法。法則：如圖所示，已知向量、，在平面內(nèi)任取一

22、點O，作，則，即表示從向量的終點指向的終點的向量實數(shù)與向量的積：1實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： 當時，的方向與的方向相同； 當時，的方向與的方向相反2實數(shù)與向量的積所滿足的運算律：設(shè)、為實數(shù)，那么： ； 3向量共線的充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得4平面向量基本定理： 如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使平面向量的坐標運算：1平面向量的坐標：分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于一個向量，有且只有一對實數(shù)、，使得，則稱為向量的坐標，記做2向量的坐標與起點為

23、原點的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系，即： 向量向量點3平面向量的坐標運算： 設(shè)，則： ； ； 若點，則4向量與共線的充要條件是平面向量的數(shù)量積及運算律：1兩個向量的夾角：已知兩個非零向量，作，則（）叫做向量與的夾角當時，與同向；當時，與反向，如果與的夾角是時，則稱與垂直，記作2兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積，記作，即：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即3向量數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影，其中當為銳角時，它是正值，當為鈍角時，它是負值，當時，它是0，當時，它是的幾何意義是：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積4向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向

24、量，是與的夾角，則： （是與方向相同的單位向量） 當與同向時，； 當與反向時，；特殊的，或者 5向量的數(shù)量積的運算律： ； 6向量數(shù)量積的坐標運算： 設(shè)，則 若向量，垂直的充要條件是 若，則 設(shè)，則線段的定比分點與平移1點分所成的比：設(shè)，是直線上的兩點，是上不同于，的任一點，存在實數(shù)，使，則叫做點分所成的比2定比分點坐標公式：設(shè)，若點分所成的比為，則點的坐標滿足：3中點坐標公式：若點為，的中點，則4平移公式：若點沿向量平移至點，則第六章 不等式不等式的性質(zhì)1兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)： 2反對稱性：如果，那么；如果，則3傳遞性：如果，且，那么4加法性質(zhì)：如果，那么 推論1：如果，那么 推論2：如果

25、，那么 推論3：如果，那么5乘法性質(zhì)：如果，那么； 如果，那么 推論1：如果，那么 推論2：如果，那么，且 推論3：如果，那么 *推論4：如果，那么6開方性質(zhì)：如果，那么，且7； 注： 當且僅當時取到等號； ；8絕對值不等式的性質(zhì)：不等式的解法：1一元一次不等式：RR2、一元二次不等式：兩個不等的實根、兩個相等的實根沒有實數(shù)根RRR3.高次不等式：穿線法：例如：第1步：將的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)，并分解為若干一次因式的乘積，即： 第2步：將方程的根標在數(shù)軸上，并從右上方依次穿過各點畫曲線，且奇穿過，偶回頭。 第3步：根據(jù)曲線顯示的的值的符號的變化規(guī)律，寫出不等式的解集。 或或4分式不等式：分式

26、化整式： 1. ； 2. ； 3. 5含絕對值的不等式： 1. 2. 3. 或或第七章 立體幾何初步一.空間直線與平面1直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)無數(shù)個公共點；（2）直線和平面相交有且只有一個公共點；（3）直線和平面平行沒有公共點用兩分法進行兩次分類它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，2線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行推理模式：3. 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：4 定義：如果一條直線l和一個平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條

27、直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面交點叫做垂足直線l與平面垂直記作：l5直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面6直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行 7點到平面的距離的定義：從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離8直線和平面的距離的定義：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離9 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂

28、直10三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：三垂線指PA，PO，AO都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用2. 空間平面與平面 沒有公共點兩平面平行1.兩個平面的位置關(guān)系有兩種： 有一條公共直線兩平面相交2.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行.定理的模式：推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行推論模式：3. 兩個平面平行的性質(zhì):（1）如果兩個

29、平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.【附】1. 證明兩平面平行的方法： （1）利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導出矛盾。 （2）判定定理：一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是： ab，a ，b ，a，b，則（3） 垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a，a則（4） 平行于同一個平面的兩個平面平行 .2. 兩個平面平行的性質(zhì)有五條：（1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記

30、為： “面面平行，則線面平行”。用符號表示是：，a ，則a （2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為： “面面平行，則線線平行”。用符號表示是：，=a，=b，則ab （3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證明線面垂直。用符號表示是：，a，則a （4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。 （5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行。5兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。6兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。7兩平面垂直

31、的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。3. 空間向量及運算1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示。同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3 共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是

32、同一直線，也可能是平行直線4共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使.推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.5向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點，有 式叫做平面的向量表達式7

33、空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使8 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.9向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.10向量的數(shù)量積： 已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度11空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）12空間向量數(shù)量積運算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）四.

34、空間向量的坐標運算（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)?？臻g兩點的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：。利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.。利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。ǚ较蛳嗤?，則為補角，反方

35、，則為其夾角）.。證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點不共線，則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.5. 空間的角1異面直線所成角的定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點O作直線a'/a，b/b',由于a'和b'所成角的大小與點O的選擇無關(guān)，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）2直線與平面所成角：（1）直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，則0度（2）直線與平面垂直，則90度（3）直線是平面的斜線，則定義為一個平面的斜線和它在這個平面內(nèi)的射影的夾角

36、，叫做斜線個平面所成的角（或斜線和平面的夾角）3最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角。4二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。5二面角的平面角：一個平面垂至于二面角-l-的棱l,且與兩個半平面的交線分別是射線OA、OB，O為垂足，則 AOB叫做二面角-l-的平面角。（二面角的大小范圍是0度180度）六.空間距離1點到平面的距離：一點到它在一個平面內(nèi)的正射線的距離叫做這一點到這個平面的距離。2直線到平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做這

37、條直線到平面的距離。3兩個平面的距離：兩個平行平面的公垂線的長度，叫做兩個平行平面的距離。4異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離。七.空間角.空間距離綜合八.棱柱1. 棱柱.直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體.棱柱具有的性質(zhì)：。棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.。

38、棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.。過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：。棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）。（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.。平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.注：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.注： 。有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（

39、15;）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）。各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）。對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）。棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）9. 棱錐棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.注：一個棱錐可以四各面都為直角三角形.一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.。正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.注：。. 正四棱

40、錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）。. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）。棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附： 以知，為二面角. 則。，。，。 。得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.。棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、

41、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.。特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：。棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.。棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.。棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.。棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.。三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.。三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.。每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；。每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面

42、角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.注：。. 各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）。. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：ABCD，ACBD BCAD. 令得，已知則.。. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.。. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.十.圓柱.圓錐圖形定義有關(guān)線軸直線直線母線有關(guān)面底面圓圓平行于底的

43、截面圓圓軸截面全等的矩形全等的等腰三角形側(cè)面及展開圖十一.球球：。球的截面是一個圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.。緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點的緯度是指經(jīng)過點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).經(jīng)度：地球上兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當經(jīng)過點的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點的經(jīng)度.附：圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為半徑，為高）。錐形體積：（為底面積，為高） (3). 。內(nèi)切球：當四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a，得.注：球內(nèi)切于四面體：。外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.十二.立體幾何綜合問題 第八章

44、直線和圓的方程1. 直線的方程1、傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為.斜率：當直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在。2、過兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=tan 若x1x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900.3.直線方程的種形式：名稱方程適用范圍斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)不含直線x=x0兩點式不含直線x=x1(x1x2)和直線y=y1(y1y2)截距式不含垂直于坐標軸

45、和過原點的直線二.直線與直線的位置關(guān)系（一）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種：重合、平行、相交。方程條件關(guān)系1、當直線不平行于坐標軸時，直線與圓的位置關(guān)系可根據(jù)下表判定l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0平 行K1=k2且b1b2重 合K1=k2且b1=b2相 交K1k2垂 直K1k2=-1A1A2+B1B2=02、當直線平行于坐標軸時可結(jié)合圖形進行考慮其位置關(guān)系。(二)點到直線的距離、直線與直線的距離1、 點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為：d=2、直線l1l2，且其方程分別為l1：Ax+By+C1=0,l2：

46、Ax+By+C2=0,則l1與l2的距離為：d=（三）兩條直線的交角公式若直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，則（1） 直線l1到l2的角滿足：tan.（2）直線l1與直線l2所成的角（簡稱夾角）滿足：tan說明：（1）當l1和l2的斜率都不存在時，所成的角為00；（2）當l1與l2的斜率有一個存在時，可畫圖、觀察，根據(jù)另一條直線的斜率得出所求的角；（3）l1到l2的角不同于l2到l1的角，它們滿足：.（4） 兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。三.線性規(guī)劃1、二元一次不等式表示平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域（半平面）不含邊界線不等式所表示的平面區(qū)域（半平面）包括邊界線(2)對于直線同一側(cè)的所有點(x,y)，使得的值符號相同。因此,如果直線一側(cè)的點使，另一側(cè)的點就使。所以判定不等式（或）所表示的平面區(qū)域時，只要在直線的一側(cè)任意取一點，將它的的坐標代入不等式,如果該點的坐標滿足不等式，不等式就表示該點所在一側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個點所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域。(3) 由幾個不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域