復變函數(shù)與積分變換復旦大學修訂版全部習題答案

1、復變函數(shù)與積分變換 （修訂版）主編：馬柏林（復旦大學出版社） 課后習題答案 習題一1. 用復數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復數(shù).解解： 解： 解： 2.求下列各復數(shù)的實部和虛部(z=x+iy)R); ：設z=x+iy則,解：設z=x+iy,解：,解：,解：當時，；當時，3.求下列復數(shù)的模和共軛復數(shù)解：解：解：解：4、證明：當且僅當時，z才是實數(shù)證明：若，設，則有，從而有，即y=0z=x為實數(shù)若z=x，x，則命題成立5、設z,w，證明： 證明6、設z,w，證明下列不等式并給出最后一個等式的幾何解釋證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了下面證 從而得證幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的

2、和7.將下列復數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式解：其中解：其中解：解：.解：解：8.計算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.i的三次根解：-1的三次根解：的平方根解：9.設. 證明：證明：，即又n2 z1從而11.設是圓周令,其中.求出在a切于圓周的關于的充分必要條件.解：如圖所示因為=z: =0表示通過點a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA過C作直線平行，則有BCD=，ACB=90故-=90所以在處切于圓周T的關于的充要條件是-=9012.指出下列各式中點z所確定的平面圖形，并作出草圖.解：(1)、argz=表示負實軸(2)、|z-1|=|z|表示直線z=

3、(3)、1|z+i|Imz解：表示直線y=x的右下半平面5、Imz1，且|z|2解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。習題二1. 求映射下圓周的像.解：設則 因為,所以所以 , 所以即，表示橢圓.2. 在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設或. （1）； （2）; (3) x=a, y=b.(a, b為實數(shù))解：設所以(1) 記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即(2) 記，則映成了w平面上扇形域，即(3) 記，則將直線x=a映成了即是以原點為焦點，張口向左的拋物線將y=b映成了 即是以原點為焦點，張口向右拋物線如圖所示.3. 求下列極限. (1) ;解：令,則.于是.(2) ;

4、解：設z=x+yi，則有顯然當取不同的值時f(z)的極限不同所以極限不存在.（3） ；解：=.（4） .解：因為所以.4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) 解：因為,若令y=kx,則,因為當k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2) 解：因為,所以所以f(z)在整個z平面連續(xù).5. 下列函數(shù)在何處求導？并求其導數(shù).(1) (n為正整數(shù))；解：因為n為正整數(shù)，所以f(z)在整個z平面上可導.(2) .解：因為f(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導.從而f(z)除外可導.(3) .解：f(z)除外處處可導，且.(4)

5、.解：因為.所以f(z)除z=0外處處可導，且.6. 試判斷下列函數(shù)的可導性與解析性.(1) ;解：在全平面上可微.所以要使得， , 只有當z=0時,從而f(z)在z=0處可導，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有當z=0時,即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有當時，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導，在全平面不解析.(4) .解：設，則所以只有當z=0時才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導，處處不解析.7. 證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1) ;證明：因為，所以,.所以u,v為

6、常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2) 解析.證明：設在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3) Ref(z)=常數(shù).證明：因為Ref(z)為常數(shù)，即u=C1, 因為f(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4) Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因為f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5. |f(z)|=常數(shù).證明：因為|f(z)|=C，對C進行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z) 0,但，即u2+v2=C2則兩邊對x,y分別求偏導數(shù)，有利用C-R

7、條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6) argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得 C-R條件 解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8. 設f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因為f(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9. 試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導數(shù).(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導，處處解析.(2) .證明：

8、處處可微，且所以, 所以f(z)處處可導，處處解析.10. 設求證：(1) f(z)在z=0處連續(xù)(2)f(z)在z=0處滿足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在證明.(1)而同理f(z)在z=0處連續(xù)(2)考察極限當z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有當z沿實軸趨向于零時，z=x，有它們分別為滿足C-R條件(3)當z沿y=x趨向于零時，有不存在即f(z)在z=0處不可導11. 設區(qū)域D位于上半平面，D1是D關于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析證明：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因為f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程

9、，即，得故(x,y),(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件從而在D1內(nèi)解析13. 計算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 設z沿通過原點的放射線趨于點，試討論f(z)=z+ez的極限解：令z=rei，對于，z時，r故所以 15. 計算下列各值(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導性解：顯然g(z)=|z|在復平面上連續(xù)，lnz除負實軸及原點外處處連續(xù)設z=x+iy，在復平面內(nèi)可微故g(z)=|z|在復平面上處處不可導從而f(x)=|z|+lnz

10、在復平面上處處不可導f(z)在復平面除原點及負實軸外處處連續(xù)17. 計算下列各值(1) (2)(3)18. 計算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2解：(2)解：即(3)解：即(4)解：20. 若z=x+iy，求證(1) sinz=sinxchy+icosxshy證明：(2)cosz=cosxchy-isinxshy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明：21. 證明當y時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大證明：而當y+時，e-y0，ey+有|sinz|當y

11、-時，e-y+，ey0有|sinz|同理得所以當y時有|cosz|習題三1. 計算積分,其中C為從原點到點1+i的直線段.解 設直線段的方程為,則. 故 2. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點0到點1+i的直線段;(2) 沿拋物線y=x2，從點0到點1+i的弧段.解 (1)設. (2)設. 3. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點-i到點i的直線段;(2) 沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點-i到點i;(3) 沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點-i到點i.解 (1)設. (2)設. 從到(3) 設. 從到6. 計算積分,其中為.解 在所圍的區(qū)域內(nèi)解析從而故7. 計算積分,其中積分

12、路徑為（1） （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個奇點.（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個奇點.故（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點,故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點,故10.利用牛頓-萊布尼茲公式計算下列積分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2) 中心位于點,半徑為的

13、正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點(2) 內(nèi)包含了奇點,19. 驗證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設, 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設, 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ,從而是調(diào)和函數(shù). ,從而是調(diào)和函數(shù).但 不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因為 所以 令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有由，得C=023.設,其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的

14、零點的個數(shù).證明: 不妨設閉路C內(nèi)的零點的個數(shù)為k, 其零點分別為24.試證明下述定理(無界區(qū)域的柯西積分公式): 設f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因為 在上解析，且所以，當Z在C外部時，有即設Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習題四1. 復級數(shù)與都發(fā)散,則級數(shù)和發(fā)散.這個命題是否成立?為什么?答.不一定反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2.下列復數(shù)項級數(shù)是否收斂,是絕對收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1)

15、 因為發(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散 又因為所以發(fā)散(3) 發(fā)散,又因為收斂,所以不絕對收斂.(4) 因為所以級數(shù)不絕對收斂.又因為當n=2k時, 級數(shù)化為收斂當n=2k+1時, 級數(shù)化為也收斂所以原級數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級數(shù)絕對收斂.證明:設因為和收斂所以收斂又因為,所以且當n充分大時, 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級數(shù)絕對收斂.4.討論級數(shù)的斂散性解 因為部分和，所以，不存在.當而時（即），cosn和sinn都沒有極限,所以也不收斂.故當和時, 收斂.5.冪級數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設，則當時，級數(shù)收斂，時發(fā)散.若

16、在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散6.下列說法是否正確?為什么?(1)每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點.答: (1) 不正確,因為冪級數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因為收斂的冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。解： 因為所以 8.證明：若冪級數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當時, (2) 當時, (3) 當時, 證明：考慮正項級數(shù)由于，若，由正項級數(shù)的根值判別法知，當，即，收斂。當，即，不能趨于零,級數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當時

17、, ,級數(shù)收斂且.若,對當充分大時,必有不能趨于零,級數(shù)發(fā)散.且9.求下列級數(shù)的收斂半徑，并寫出收斂圓周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時絕對收斂,收斂半徑收斂圓周10.求下列級數(shù)的和函數(shù).(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2) 令：故R=, 由逐項求導性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：，A, B待定。所以 11.設級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因為級數(shù)收斂設若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條

18、件矛盾。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知，必有，所以12.若在點處發(fā)散，證明級數(shù)對于所有滿足點都發(fā)散.證明：不妨設當時，在處收斂則對，絕對收斂，則在點處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù),(到項),并指出其收斂半徑.解:因為奇點為所以又于是，有展開式14.用直接法將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù),(到項)解：為的奇點，所以收斂半徑又于是，在處的泰勒級數(shù)為 15.用間接法將下列函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處 (5) 在處 解 （1）(2) (3) (4) (5)因為從

19、沿負實軸不解析所以,收斂半徑為R=116.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級數(shù)時，展開式的系數(shù)都是實數(shù)？答：因為當取實數(shù)值時，與的泰勒級數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級數(shù)展開式的系數(shù)是實數(shù).17.求的以為中心的各個圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級數(shù).解:函數(shù)有奇點與,有三個以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級數(shù).分別為：19.在內(nèi)將展開成羅朗級數(shù).解:令則而在內(nèi)展開式為所以,代入可得20.有人做下列運算,并根據(jù)運算做出如下結(jié)果因為,所以有結(jié)果你認為正確嗎?為什么?答:不正確,因為要求而要求所以,在不同區(qū)域內(nèi)21.證明: 用z的冪表示的羅朗級數(shù)展開式中的系數(shù)為證明:因為

20、和是的奇點，所以在內(nèi)，的羅朗級數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點的簡單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點嗎?為什么?解: 因為的奇點有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點，當時，z=0。從而不是的孤立奇點.23.用級數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點的級.解：故z=0為f(z)的15級零點24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點，并確定奇點的類型：；解: 是的孤立奇點因為所以是的本性奇點.(2)因為所以是的可去奇點.25. 下列函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出其點： 解: (1)所以是奇點,是二級極點.解: (2) 是奇點,是一級極點,0是二級極點.解: (3) 是的二級零點而是的一級零點, 是的一級零點所以是的二級極

21、點, 是的一級極點.26. 判定下列各函數(shù)的什么奇點？ 解: (1)當時, 所以, 是的可去奇點.(2)因為所以, 是的本性奇點.(3) 當時, 所以, 是的可去奇點.27. 函數(shù)在處有一個二級極點，但根據(jù)下面羅朗展開式：.我們得到“又是的本性奇點”，這兩個結(jié)果哪一個是正確的？為什么?解: 不對, z=1是f(z)的二級極點,不是本性奇點.所給羅朗展開式不是在內(nèi)得到的在內(nèi)的羅朗展開式為28.如果C為正向圓周，求積分的值(1) (2)解：（1）先將展開為羅朗級數(shù)，得而 =3在內(nèi)，,故(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開式為而=3在內(nèi)，,故習題五1. 求下列函數(shù)的留數(shù)(1)在z=0處解：在0|z|+的羅朗

22、展開式為(2)在z=1處解：在0| 1解：令 令z=ei，則得(3)，a0，b0解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級極點z=ia和ib故（4）. ，a0解：令，則z=ai分別為R(z)的二級極點故(5) ，0，b0解：而考知，則R(z)在上半平面有z=bi一個二級極點從而(6) ，a0解：令，在上半平面有z=ai一個一級極點7. 計算下列積分(1)解：令，則R(z)在實軸上有孤立奇點z=0，作以原點為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,-R, -r, Cr,r, R構(gòu)成封閉曲線，此時閉曲線內(nèi)只有一個奇點i,于是：而故：(2)，其中T為直線Rez=c, c0, 0a1解：在直線z=c+iy

23、 (- y 0. 0Im(z)0, 0y0. Im(w)0. 若w=u+iv, 則因為0y0, 0Im(z)0,Im(w)0, (以（,0）為圓心、為半徑的圓)3. 求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，問w=z2將經(jīng)過點z=i且平行于實軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個方向？并作圖.解：因為=2z,所以(i)=2i, |=2, 旋轉(zhuǎn)角arg=.于是, 經(jīng)過點i且平行實軸正向的向量映成w平面上過點-1，且方向垂直向上的向量.如圖所示.4. 一個解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2在z平面上每一點都具有這個性質(zhì)嗎？答：一個解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導數(shù)不為

24、零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在z=0處導數(shù)為零，所以在z=0處不具備這個性質(zhì).5. 求將區(qū)域0x0.解：(1) Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫成參數(shù)方程為， , .消去y得，像曲線方程為單位圓,即u2+v2=1.(2) |z|=2.是一圓圍，令.代入得化為參數(shù)方程. 消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓.即 (3) 當Im(z)0時，即,令w=u+iv得.即v0,故Im(z)0的像為Im(w)0.9. 求出一個將右半平面Re(z)0映射成單位圓|w|0,映射成|w|0, 映為單位圓|w|0).(1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2) 由f(1)=

25、1,得k=；由f(i)= ,得k=聯(lián)立解得.12. 求將|z|1映射成|w|1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：(1) f()=0, f(-1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, .解：將單位圓|z|1映成單位圓|w|1的分式線性映射，為 , |1.(1) 由f()=0，知.又由f(-1)=1，知.故.(2) 由f()=0，知，又，于是 .(3) 先求，使z=a，,且|z|1映成|1.則可知 再求w=g()，使=0w=a, ,且|1映成|w|1.先求其反函數(shù),它使|w|1映為|1,w=a映為=0，且,則 .因此，所求w由等式給出.13. 求將頂點在0，1，i的三角形

26、式的內(nèi)部映射為頂點依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得=.=.14. 求出將圓環(huán)域2|z|5映射為圓環(huán)域4|w|2映為|w|10.又w=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=-10，所以將|z|4，由此確認，此函數(shù)合乎要求.15.映射將z平面上的曲線映射到w平面上的什么曲線？解：略.16. 映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1) 直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2) 帶形區(qū)域;(3) 半帶形區(qū)域.解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,則z=x+iC2故將直線Re(z)映成

27、圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2） 令z=x+iy，,則故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3） 令z=x+iy，x0，0y0,0Im(z)1, ().17. 求將單位圓的外部|z|1保形映射為全平面除去線段-1Re(w)1映為|w1|1,再用分式線性映射.將|w1|0, 然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕-1,1的全平面.故.18. 求出將割去負實軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)0；再用將半平面映為有割痕(-,-1的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)

28、部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形0Im(w4)0；最后用映為所求區(qū)域，故.19. 求將Im(z)1去掉單位圓|z|0的映射.解：略.20. 映射將半帶形區(qū)域0Re(z)0保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：因為 可以分解為w1=iz ，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以（1） w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0Im(w1),Re(w1)0.（2） 將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|0.（3） 將區(qū)域映為下半平面Im(w)0時,令u=at.則當a0時,令u=at,則.故原命題成立.9.設證明.證明：10.設，證明：以及證明：同理：11.設計算.解：當時，若則故=0.若則若則故12.設為單位階躍函數(shù)，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習題八1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)， (2)，