基本初等函數(shù)

1、一、指數(shù)函數(shù)（Exponential Function）（一）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相關(guān)運算1. 計算：（1）；（2）47. （3）（4）（5）解：(1) 原式=；(2) 原式= 2. 化簡：(1) ；(2) 解：(1) 原式= ；(2) 原式 3. 已知則的值為_變式1：已知，則 變式2：已知，求下列各式的值：（1）； （2）4. （1）若，則使之成立的x的取值范圍為 （2）若，則使之成立的x的取值范圍為 5. 計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）（1）；（2）6. 計算下列各式：（1）；（2）7. 計算下列各式：（1）； （2）（3）8. (2010年珠海質(zhì)檢)某種細(xì)胞在培養(yǎng)過程中正常情況下，時刻t(單

2、位：分鐘)與細(xì)胞數(shù)n(單位：個)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：t02060140n128128根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測繁殖到1000個細(xì)胞時的時刻t最接近于_分鐘10009. 若函數(shù)在上的值域為，則先定單調(diào)性，由函數(shù)圖像可得10. 已知集合，且試求實數(shù)的值及集合11. 若方程的解為，則 12. 已知，求的值. 因為，所以， 而，所以，所以 13. 14. 等式成立的的條件是 15. 已知，則 3（先化簡，再求值）16. 我們知道，對任意正整數(shù)和正數(shù)，若，則；若，則，探索并證明：對任意的正有理數(shù)，與1之間的關(guān)系如何？（反證法）（二）指數(shù)函數(shù)的概念1. 已知指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，求的值（三）指數(shù)函數(shù)的圖像1. 下圖是底數(shù)分

3、別為5，6，的指數(shù)函數(shù)的圖像，請具體指出2. 將函數(shù)圖象的左移2個單位，再下移1個單位所得函數(shù)的解析式 _3. 畫出函數(shù)的草圖4. 畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：（1）的單調(diào)區(qū)間是什么？（2）k分別為何值時，方程|3x1|=k無解？只有一解？有兩解？5. 在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是 6. 若方程|有一解，則= 7. 當(dāng)a0時，函數(shù)y=ax+b和y=bax的圖象只可能是 變式1：當(dāng)0a1,b0且a1)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，那么一定有_ 0a0 0a1且0b1且b1且b08. 函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是 9. 在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2bxc與函數(shù)y=(

4、)x的圖象可能是10. 若直線與函數(shù)的圖像有兩個公共點，則實數(shù)的210y/m2t/月23814取值范圍是 11. 給定函數(shù) , , , ,其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是 12. 如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積()與時間(月)的關(guān)系:,有以下敘述: 這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2; 第5個月時,浮萍的面積就會超過; 浮萍從蔓延到需要經(jīng)過1.5個月; 浮萍每個月增加的面積都相等; 若浮萍蔓延到、所經(jīng)過的時間分別為、，則.其中正確的是 （填寫正確命題的序號）1、2、513. 已知函數(shù)在R上遞增，則a的取值范圍為_14. 已知實數(shù)a,b滿足等式，下列五個關(guān)系式： 0ba; ab0; 0ab;

5、 ba1，b0，且abab2，則abab的值等于_變式：已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1) 求a，b的值；(2) 若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范圍10. 已知，求函數(shù)的最大值和最小值. 1,211. 已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求時的取值范圍12. 函數(shù)的值域為 （五）指數(shù)函數(shù)的綜合問題1. （2013年梁豐高一數(shù)學(xué)10月月考）設(shè)函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，試判斷函數(shù)單調(diào)性（不需證明），并求不等式的解集；（3）若上的最小值為，求實數(shù)的值. 2. （蘇州2013年期初檢測）對于函數(shù),若在定義域

6、內(nèi)存在實數(shù),滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”（I）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”，并說明理由；（II）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（III）若為定義域為上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；3. 設(shè)，若0a1且0b1的解集為_10. 若，則下列式子成立的是 1、2、5（1）； （2）； （3）；（4） （5）11. 已知，且，則從大到小的順序是 12. 已知函數(shù)的零點依次為，則的大小關(guān)系是 13.作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）14. 函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_個 215. 若函數(shù)的圖象的對稱軸是，則非零實數(shù)的值為_.16. 已知函數(shù)若互不相等，

7、且，則的取值范圍是_. 17. 已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是_. 18. 若，則從小到大的順序為_. 19. 若函數(shù)f(x)log2|ax1|(a0)，當(dāng)x時，有f(x)f(1x)，則a_20. 4. 單調(diào)性1. 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；2. 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；3. 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .4. 已知y（2ax）在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是_5. 若定義在區(qū)間（1，0）內(nèi)的函數(shù)滿足，則a的取值范圍為 6. 若，則實數(shù)的取值范圍是_7. 設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為_8. 函數(shù)在區(qū)間上恒有,則實數(shù)的取值范圍是_變式1：已知函數(shù)，其中為不等于1

8、的正數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間上總有，則的取值范圍為_變式2：已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）若在上遞增且恒取正值，求滿足的關(guān)系式.9. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；（2）解不等式：10. 函數(shù)的定義域是_；單調(diào)減區(qū)間是_；值域是_11. 比較下列數(shù)的大小 （分類討論）變式：的大小順序從小到大依次為_（1） （2） 12. 已知函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),g(x)=-f(|x|),若g(lgx)0)若函數(shù)f(x)在10，)上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為_15. 若在上恒正，則實數(shù)的取值范圍是 16. 函數(shù)f(x)=在R不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 17. 已知函數(shù)（1）判斷的奇偶性并證

9、明；（2）若的定義域為()， 判斷并證明在定義域上的單調(diào)性；18. 已知，若，則19. 若，試比較，的大小 20. 設(shè)偶函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是 21. 若，函數(shù)，則使的的取值范圍_22. 設(shè)，且，則函數(shù)的最大值為 023. 已知集合，集合，若，且的最小值為，則= . 224. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，設(shè).（1）求函數(shù)的解析式及定義域；（2） 試問在函數(shù)的圖象上是否存在兩個不同的點和，使直線恰好與軸垂直？若存在，求出和的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. （單調(diào)遞減）25. 已知函數(shù)，其中且.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)在區(qū)間上為增函數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍.

10、26. 已知，當(dāng)時，試比較與的大小.（寫出比較過程）.27. 已知函數(shù)（1）若的值域為，試求實數(shù)的值；（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.5. 奇偶性1. 函數(shù)的奇偶性為 2. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則a 3. 設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，值為_4. 已知函數(shù)(),如果(),那么的值是 . -35. 設(shè)且若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù),則的取值范圍是 . （四）對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用1、已知函數(shù)，（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若在（-1，5內(nèi)有意義，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，判斷并證明的單調(diào)性解：（1） ；（2）（3）當(dāng)時，f(x)在定義域上為減函數(shù)由，得f(x)定義域為（1，），令 ，

11、，即在(1,a)為減函數(shù)2、解（）因為，由，得所以的定義域關(guān)于原點對稱又因為所以函數(shù)是奇函數(shù)（）當(dāng)時，則的定義域為，設(shè)則 因為，所以即，所以故，所以函數(shù)是減函數(shù)當(dāng)時，同上可得，函數(shù)是增函數(shù)（）因為，且，所以（）所以探究與交點個數(shù)，即探究方程在上根個數(shù)亦即方程在上根的個數(shù)令，因為對稱軸，由得或，又，當(dāng)時，則，方程有一個實根當(dāng)時，則，方程無實根當(dāng)時，則，方程無實根3、已知函數(shù)()是偶函數(shù)（1）求k的值；（2）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，求b的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍. (1) 因為為偶函數(shù)，所以，即 對于恒成立.于是恒成立,而x不恒為零，所以. (2

12、) 由題意知方程即方程無解.令，則函數(shù)的圖象與直線無交點.因為任取、R，且，則，從而.于是，即，所以在上是單調(diào)減函數(shù).因為，所以.所以b的取值范圍是 (3) 由題意知方程有且只有一個實數(shù)根令，則關(guān)于t的方程(記為(*)有且只有一個正根.若a=1，則，不合, 舍去；若，則方程(*)的兩根異號或有兩相等正跟.由或3；但，不合，舍去；而；方程(*)的兩根異號綜上所述，實數(shù)的取值范圍是 4. 已知函數(shù)，（，且）（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的值為正數(shù)的的取值范圍5. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性6. 函數(shù),，關(guān)于的方程在上有解，則的取值范圍為_

13、7. 已知函數(shù)，其中且.（1）求函數(shù)的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；（2）對于函數(shù)，當(dāng)時，求實數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)時，的值恒為負(fù)數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.8. 設(shè)函數(shù)的定義域區(qū)間為,其中.() 求的長度(注:區(qū)間的長度定義為);() 判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;() 給定常數(shù),當(dāng)時,求區(qū)間長度的最小值.解：（）由，得， 2分。 1分（）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 1分設(shè)，則2分， 2分在上是增函數(shù) 1分同理可證，在上是減函數(shù) 1分（）， 1分由（）可知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)的最小值為中較小者； 2分2分的最小值為 1分9. 已知函數(shù)，其中，若是奇函數(shù)（1）求的值并確定的定

14、義域；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍10. 已知且，函數(shù)，記（1）求函數(shù)的定義域及其零點；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實數(shù)的取值范圍.（1）（且） ，解得，所以函數(shù)的定義域為令，則（*），即 解得， 經(jīng)檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為所以函數(shù)的零點為. （2）（）設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時，此時，所以若，則，方程有解；若，則，方程有解11. 設(shè),其中且,若在區(qū)間上有恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 12. 已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，有，求函數(shù)的解析式. 解（1）由，得.由得.

15、因為，所以，.由得. （2）當(dāng)x1,2時，2-x0,1，因此. 13. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；定義域為；時，定義域為（2）若在上有意義，求實數(shù)的取值范圍. 14. 已知函數(shù)（1）若的兩個零點為，且滿足，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在最值，求實數(shù)的取值范圍. 15. 圖1是定義在R上的二次函數(shù)的部分圖象，圖2是函數(shù)的部分圖象 (1)分別求出函數(shù)和的解析式；(2)如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.16. 設(shè)，為常數(shù)）當(dāng)時，且為上的奇函數(shù)（1）若，且的最小值為，求的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：由得, 3分若，則無最小值 要使取最小值為0，必須

16、，,當(dāng)，則， 又， 又 ， (2)，令，則，13分當(dāng)，或，或時，為單調(diào)函數(shù)綜上所述：實數(shù)的取值范圍是或17. 已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點.（1）證明點C、D和原點O在同一直線上；（2）當(dāng)BC平行于x軸時，求點A的坐標(biāo).18. 函數(shù)，且），若都是正實數(shù)，判斷與的大小，并加以證明. 變式：對于任意，若函數(shù)，判斷與的大小，并加以證明.18. 若，為常數(shù)，且（）求對所有實數(shù)成立的充要條件（用表示）；（）設(shè)為兩實數(shù)，且,若.求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）19. 已知函數(shù)是奇

17、函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）當(dāng)時，函數(shù)的值域是，求實數(shù)與的值. 20. 已知函數(shù).（1）如果，求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的最大值；（3）如果對中的任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍三、冪函數(shù)（Power Function）1. 已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù) 2. 若，則使函數(shù)的定義域為R，且在（，0）上單調(diào)遞增的值為 3. 已知冪函數(shù)的圖象過點，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍 4. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，(1) 求的值，并確定的解析式； 1(2) 當(dāng)時，討論在2，3上的單調(diào)性；增(3) 若在2，3上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.5. 若冪函數(shù)的定義

18、域為，則實數(shù)的值為 6. 點都在冪函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是.又在軸上的射影分別為，記的面積為，的面積為.（1）求和的表達(dá)式；（2）比較和的大小，并證明你的結(jié)論.7. 若，則的取值范圍是_. 8. 函數(shù)是冪函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，則實數(shù)的取值集合為_.9. 對冪函數(shù)（1）當(dāng)時，圖象恒過_和_兩點；其中當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象在圖象的_方；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象在圖象的_方.（2）當(dāng)時，圖象恒過_和_兩點；其中當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象在圖象的_方；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象在圖象的_方.（3）當(dāng)時，圖象恒過_點. 10. 已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)是奇函數(shù)，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和

19、的所有不等于0的實數(shù)恒成立的一個等式，并加以證明. 11函數(shù) 的圖象和的圖象的交點個數(shù)是_ 個.12. 已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若函數(shù)的零點在區(qū)間上，求的值答：（1）2個；（2）或.13. 已知冪函數(shù)yxm22m3(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足的a的范圍解：，解得：14. 若冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點，則實數(shù)的值為 .1或215. 已知的圖像在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為 . 16. 四、函數(shù)的應(yīng)用（一）函數(shù)與方程1. 求“方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞減，且，所以原方程有唯一解類比上述解題思路，方程的解集為 1，2解：（*）構(gòu)造函數(shù)，易得函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，則（*）式方程可寫為2. 已知不等式ax25xb0的解集為x|3x2，求不等式6x25xa0的解集3. 關(guān)于x的不等式ax2bx256,滿足要求；當(dāng),解得: 因此接受能力56及以上的時間是分鐘,小于12分鐘. 所以老師不能在所需的接受能力和時間狀態(tài)下講述完這個難題 . 15分3. 某市居民自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：當(dāng)每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.8元；當(dāng)用水超過4噸時，超過部分