大一高數(shù)試題及解答

1、大一高數(shù)試題及答案、填空題（每小題1分，共1 0分）的定義域為）處的切線方程是1 .函數(shù) y = a r c s i n v71 xVr * 2 * 1 x 2/f (X2 + Y2 ） dy化為極坐標下的累次積分為3d yd x 32d y)22 的階數(shù)為OOOO10.設(shè)級數(shù)匯 an發(fā)散，則級數(shù)匯n=1n=1000f ( Xo+ 2 h) f ( Xo 3 h)3 .設(shè) f (X)在 Xo 可導(dǎo)且 f ' (Xo) = A,則 1 i mhfo4.設(shè)曲線過（0, 1）,且其上任意點（X, Y）的切線斜率為2 X,則該曲線的方程 是單項選擇題(在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答

2、案，將其碼寫在題干的()內(nèi)，1-10每小題1分，1 12 0每小題2分，共3。分)(一)每小題1分，共1 0分11 .設(shè)函數(shù) f ( X ) = ,g(x)=lX,則 fg(x)=()X10 . x > 0 時，x s i n+ 1 是 ( )x無窮大量無窮小量有界變量無界變量()若若若若f ( X )在X =Xo連續(xù),則f (X )在X= Xo可導(dǎo)f ( X )在X =Xo不可導(dǎo)，則f ( f ( X )在X =Xo不可微，則f (X )在X= Xo不連續(xù)X )在X= Xo極限不存在f ( X )在X =Xo不連續(xù)，則£ ( X )在X= Xo不可導(dǎo)4 .若在區(qū)間(a , b

3、 )內(nèi)恒有 f ' ( x ) 0 , f " ( x )0 ,則在(a , b) ()上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧5 .設(shè) F '(x)= G '(x)，則 ()F (X) + G (X)為常數(shù)F (X) - G (X)為常數(shù) F (X) - G (X) = 0 d f F ( x ) d xd x16 . f | x | d x =-17 .方程2 x + 3 y = 1在空間表示的圖形是平行于x o y面的平面平行于o z軸的平面過。z軸的平面直線一 、一一,、3328 .設(shè) f (x, y)=x + y + x ytg則f(tx, ty)=

4、 ()2tf(x,y)t f(x,y)13 t f ( x , y )f ( x , y )2ta n + 19. 設(shè)a n> 0 , 且 1 i m = p , 則級數(shù)n8an=1ooU a n ()在p1時收斂，p1時發(fā)散在p > 1時收斂，p1時發(fā)散在p < 1時收斂，p > 1時發(fā)散在p1時收斂，p1時發(fā)散21 0 .方程 y+3xy = 6x y 是 （）一階線性非齊次微分方程齊次微分方程可分離變量的微分方程二階微分方程（二）每小題2分，共2。分1 1 .下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）CD y = e x y = x3+l3y=x cosxy=ln|x12 .設(shè)

5、f （x）在（a, b）可導(dǎo)，ax iX2 使（）,則至少有一點 Z C （a , b） f (b)f (a)=f ' «) (b a) f (b)f (a)=f ' «) (x2xi) f (x2)f (x i)=f' (Z) (b a) f (X2)f(X I)=f'(Z) (X2X1)13 .設(shè)£ (X)在X = Xo的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是f(X)在X=Xo可導(dǎo)的 ()充分必要的條件 必要非充分的條件 必要且充分的條件 既非必要又非充分的條件d14 .設(shè)2 f ( x ) c o s x = f ( x )且切線斜率為4 x

6、3的曲線方程為 x 4+cDx 4+ 14x-022 x + y2)17 . 1 i mx-0.3) 81 8 .對微分方程 y " = f ( y , y '),降階的方法是()設(shè) y'=p，則 y"=p'd p設(shè) y'=p，貝 U y"=d yd p設(shè) y'=p，貝 U y"=pd y1dp設(shè) y ' = p，貝U y "=Pd y1 9 .設(shè)備級數(shù)E anXn在Xo( XoW°)收斂,n=on=o絕對收斂條件收斂發(fā)散 收斂性與a n有關(guān)s 1 n xx V xs i n x / d

7、 x f d y0 xx所圍成，則/ d b =X1 1s i n x/ d x f d y0 xx1 V y s i n x / d y f d xs 1 n xd x0 yxx ( x + 3 )三、計算題（每小題5分，共4 5分）2sin (9x16)2 .求 1 i m x-4/35 x-4o)2.計算 /x(1 + et1d y4.設(shè) x= f (cosu) arctgudu, y = / (sinu) arctgu d u ,求o0td x1 ) , B ( 1 , 1 , 2 )的直線方程。6 .設(shè) u = e x+V y +sinz,求 du 。x asin07 .計算 f f

8、 rsin 0drd0 。0 0y + 18 .求微分方程d y = ( ) 2dx 通解 .x + 139 .將 f ( x )= 展成的哥級數(shù)(1 一 x) (2 + x)四、應(yīng)用和證明題（共1 5分）10 . （8分）設(shè)一質(zhì)量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為k0）求速度與時間的關(guān)系。_111 （ 7分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)x1時，2，x3 x 附：高數(shù)（一）參考答案和評分標準、填空題（每小題1分，共1 0分）2 . 2 x y+l = O3 . 5 A24 . y = x +1125 . arctgx +c26 . 17 . y c o s ( x y )兀

9、/2兀28 ./ d 0 f f(r )rdr009 .三階(2分)1 0 .發(fā)散（）內(nèi)，11 0每小題1分,1 1 -2 0每小題2分，共3 0分）（一）每小題1分，共1 0分1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .（二）每小題2分，共2。分8 .9 .1 0 . d1 1 .1 2 .13 .14.15 .1 6 .1 7 .三、計算題（每小題5分，共4 5分）118 .19.20.、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的1 .解：1 n y =In ( x 1 ) 1 n x 1 n ( x + 3 )1()(2 分)2 xl x x+3(1分)1

10、/xl111/()2vz x(x + 3) xl x x + 3一 一,一2 一 .、18xcos (9x16)2 . 解：原式=1 i m ( 3分)xf4/3321 8 (4/3) c o s 9 (4/3)-16= =8(2 分)3(2分)解：原式=fd xX2(1 + e ) d x(1分)XXX1 + e e(1 + e x) 21解:因為 d x = (cos(3分)d y所以=dXX)ret(1分)(1分)g t d t , dy= (sint) arc(s i n t ) arctgtdt(2分)dx(cost) arctgtdt5 .解：所求直線的方向數(shù)為 1 , 0 , 3

11、 ( 3分)x 1 y 1 z 2所求直線方程為 = (2分)10- 36 .解：d u = e x+Vy + s'nz d ( x + V y +sinx)(3 分)二課程代碼：00020、單項選擇題（本大題共 20小題，每小題2分，共40分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的 括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。一.一 .1 x .1 .設(shè)函數(shù)f()=，則f(2x)=(x x -11 -2x2(x -1)2x2 .已知 f(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,則 f(x)=()A.x+3B.x-3C.2xD.-2x3 . lim(

12、_x_) =()x x 1D.1A.eB.e-1C.二x= 34.函數(shù)y =-3一的連續(xù)區(qū)間是()(x 2)(x -1)A.(-二,-2)(1, ,二)B.(-二,-1) - (-1, ,二)C.(-1,-2)( -2, -1)(-1，二)D. 3,二(x 1) ln(x 1)5.設(shè)函數(shù) f(x) = () ()ax = 1 ,在x=-1連續(xù)，則a=(x = 1D.0A.1B.-1C.26 .設(shè) y=lnsinx,則 dy=()A.-cotx dxB.cotx dxC.-tanx dxD.tanx dxA.0C.lna8.設(shè)一產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量7 .設(shè) y=ax(a>0,a #1),貝U

13、 y x=0 ()B.1D.（lna）nx的函數(shù)C（x）,則生產(chǎn)xo個單位時的總成本變化率（即邊際成本）C(x)B.C. dC(x)dx9 .函數(shù)y=e-x-x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)(A.單調(diào)減小C.不增不減10 .如可微函數(shù)f(x)在xo處取到極大值D dC(x)dxXi0)B.單調(diào)增加D.有增有減f(x0)，則()A.f (X0)=0B.f (X0) 0C.f (xo)：二0D.f(X0)不一定存在11 . ff(x)+xf (x)dx =(A.f(x)+CB. xf (x)dxC.xf(x)+CD. x f (x)dx2 一12 .設(shè)f(x)的一個原函數(shù)是 x，則Jxf (x)dx =(3

14、x -A. C3B.x5+CC.2x3 C38 3x13. f e dx = .85 x D. 15A.08B. 23 一e Xdx2C. Edx14 .下列廣義積分中發(fā)散的是(A.B.1 dxC. 03xD.1 dx0.x1 dx0 .1 -x15 .滿足下述何條件oO，級數(shù)2 Un 一定收斂(nA. Z Ui有界i 1Un 1C. lim -1 =r ：二1 nf ： U nB. lim Un =0nT 二oOD.Z |Un |收斂n 10016扉級數(shù)Z (x -1)n的收斂區(qū)間是(A. 0,2C. 0,2B.(0,2)D.(-1,1)17 .設(shè) z=e丁，則在=()NA. eC. -2x

15、ey-y)B.(-1,2)D.(1,-2)18 .函數(shù) z=(x+1)2+(y-2)2 的駐點是(A.(1,2)C.(-1，-2)19 . J J cosx cos ydxdy =()0 9母0_y ：A.0B.1C.-120.微分方程以=1 *sinx滿足初始條件dxy(0)=2的特解是(D.2)A.y=x+cosx+1B.y=x+cosx+2C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3二、簡單計算題(本大題共5小題，每小題4分，共20分)21 .求極限l i mJn +3 -Vn)v'n -1.n122 .設(shè) y =x x ,求y (1).cos 2x23 .求不定積分fco*

16、x-dx.1 sin x cosx24 .求函數(shù)z=ln(1+x 2+y2)當(dāng)x=1,y=2時的全微分.25 .用級數(shù)的斂散定義判定級數(shù)三、計算題(本大題共4小題，每小題6分，共24分)yz:z26 .設(shè) z =xy +xF(u), u = ' , F(u)為可導(dǎo)函數(shù)，求x _ +yx二 x二 y二 2 2所圍成的閉區(qū)域.27 .計算定禾/分yjxlnQdx.28 .計算二重積分I = JJcos(x2 +y2)dxdy淇中D是由x軸和yD29 .求微分方程xdy +y -ex =0滿足初始條件y(1)=e的特解. dx四、應(yīng)用題(本大題共 2小題，每小題8分，共16分)19 、一30

17、 .已知某廠生廣 x件某廠品的成本為 C=25000+200x+ x2.問40(1)要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)如產(chǎn)品以每件500元出售，要使利北最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？31 .求由曲線y =Vx,直線x+y=6和10 .設(shè)函數(shù)y=ln x,則它的彈性函數(shù) Ey = Ex 11 .函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)增加區(qū)間為 ，、 dx12 .不定積分=.2x 3 x22 一 .13 .設(shè) f(x)連續(xù)且f(t)dt=x +cos x,則 f(x)=14 .微分方程xdy-ydx=2dy的通解為二2z15 .設(shè) z=xe'y則=；x.y三、計算題(一)(本大題共5小題，每小題

18、5分，共25分)16.設(shè)函數(shù)f(x)=I xk -e=3x +1x > 0在x=0處連續(xù)，試求常數(shù)k.x _0x17 .求函數(shù) f(x)=2 +x arctan Jx 的導(dǎo)數(shù).sin x18.求極限2 x lim -xx0 xe -sin x19.計算定積分°2 sin 2xdx.1 x20.求不定積分 22 dx.1 x2四、計算題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)21 .求函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x-4在閉區(qū)間0, 2上的最大值和最小值.一，-3x、，5 .，、.22 .已知 f(3x+2)=2xe，計算 f f (x)dx .23 .計算二重積分 JJx

19、2ydxdy ,其中D是由直線y=x,x=1以及x軸所圍的區(qū)域D五、應(yīng)用題(本大題 9分)24 .已知矩形相鄰兩邊的長度分別為x,y,其周長為4.將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體圖）.問當(dāng)x,y各為多少時可使旋轉(zhuǎn)體的體積最大?-3/2-eA-1x- arctgx + C 3/2y + 2 = 0tA2f(x,y)-1/(2sqrt(x)sqrt(y)2pi/31/2(c_1x + c_2 ) eA(4x)解:原式=士 /-)i.r=lim inn 一丁丁u jr h sin"；，/、_ 紅g” 二 3)kji fjErcosSv rM:原衣二 I ”7T ax Jo &=(y

20、x ysin2x> I：21222324252627282930三31.32.33.”了rszaz-37 V 二 4解=工(143尸普十新=(1 + ¥)】門(1+y)&+h(1+y)i 435 .解木力=亨一、一1年一手£庫"毋IV1y £ 翁L I Ky36 .證令以=)=/Q)-gG)VA(a> /(a) g(c) 0 A(d) = /(A) g(A) - C 二對MG在OM上應(yīng)用歲爾定理得在Sg)內(nèi)至少有一點一使得hf(c> = 0 而 A,Cr) fix) - g (z)從而 /(c) =gf)37,證/<)&a

21、mp;" 5 & 5 + 38導(dǎo)*工 W 8從而=耳 -3 o 5 + 3cas?z 5由定積分性質(zhì)得；戶工3Y戶_14 v戶3.i y ax、二 £一Le I w ttzJo o Jo 5 + 3cO5-x J。 5即$<L 5+上0戶京、DCACABCCBADABAD-3/2-eA-1x- arctgx + C 3/2 y + 2 = 0tA2f(x,y)-1/(2sqrt(x)sqrt(y)2pi/31/2 (c_1x + c_2 ) eA(4x)解：原式=, /_1 出(l+") /= hm。J"” * liin -Jir-V JTJt-*4 sirT 工型 片1 CO2H J解：埠式I= I -3,1'tir o 6=C-z ysinST) JXA l解:噫=(+ WIMl + G=工(147尸工加=靠工+全21222324252627282930三31.32.33,34.35.=<1 + >尸】門(1+y)&+工(1+y)i4I 汆 |< 1 |-|<1四36.證:令以工)=八工)一雙工) /(a) g(cz) 0 h(S) = fW g(8) Q 二對Mm)在*以上應(yīng)用羅爾定理得在內(nèi)至少有一點j使得hfM = 0