【四維備課】高中數(shù)學(xué) 1.2.2 第1課時 函數(shù)的三種表示法備課資料素材庫 新人教A版必修1

1、第1課時 函數(shù)的三種表示法其他版本的例題與習(xí)題1.(北師大版) 如圖某質(zhì)點在30 s內(nèi)運動速度v是時間t的函數(shù)，它的圖象如圖.用解析法表示出這個函數(shù)，并求出9 s時質(zhì)點的速度.解：速度是時間的函數(shù)，解析式為v(t)= &10+t,t0,5,&3t,t5,10,&30,t10,20,&-3t+90,t20,30.由上式可得，t=9 s時，質(zhì)點的速度v(9)=3×9=27(cms).2.（人教實驗B版)（1)已知函數(shù)fx=x2,求f(x-1);(2)已知函數(shù)fx-1=x2,求f(x).分析：（1)函數(shù)fx=x2,即xx2,表示自變量通過“平方運算”得到它的

2、函數(shù)值，與我們選擇什么符號表達自變量沒有關(guān)系.函數(shù)yy2,tt2,uu2,都表示同一個函數(shù)關(guān)系.同樣自變量換為一個代數(shù)式，如x-1,平方后對應(yīng)的函數(shù)值就是x-12，這里f(x-1)表示自變量變換后得到的新函數(shù).（2)為了找出函數(shù)y=f(x)的對應(yīng)法則，我們需要用x-1來表示x2.解：1fx-1=x-12=x2-2x+1;(2)因為fx-1=x2=x-12+2（x-1)+1,所以ft=t2+2t+1,即fx=x2+2x+1.3.（人教實驗B版)設(shè)x是任意的一個實數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，試問x和y之間是否是函數(shù)關(guān)系？如果是，畫出這個函數(shù)的圖象.解:對每一個實數(shù)x，都能夠?qū)懗傻仁剑簒=y+,其中

3、y是整數(shù)，是一個小于1的非負(fù)數(shù).例如，6.48=6+0.48,6=6+0,=3+0.141 592,-1.35=-2+0.65,-12.52=-13+0.48,.由此可以看到，對于任一個實數(shù)x，都有唯一確定的y值與它對應(yīng)，所以說x和y之間是函數(shù)關(guān)系.這個“不超過x的最大整數(shù)”所確定的函數(shù)通常記為y=x.這個函數(shù)的定義域是實數(shù)集R，值域是整數(shù)集Z.例如，當(dāng)x=6時，y=6=6;當(dāng)x=時，y=3;當(dāng)x=-1.35時，y=-1.35=-2.這個函數(shù)的圖象，如圖所示. 4.（人教實驗B版)已知函數(shù)y=f(n)，滿足f(0)=1,且f(n)nf(n-1),nN+.求f(1),f(2),f(3),f(4)

4、,f(5).分析：這個函數(shù)用兩個等式定義，第一個等式首先給出自變量的初始值對應(yīng)的函數(shù)值，然后由這個函數(shù)值用第二個等式依次遞推地計算下一個函數(shù)值.解：因為f(0)=1,所以f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1,f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×12，f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6,f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24,f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120.備選例題與練習(xí)1.已知

5、f(x)= & 1-x2x1,&xx<-1,&1x>1,求f(f(x).解：當(dāng)x>1時，f(x)=1-1,1，f(f(x)= 1-12=0；當(dāng) &x 1時，f(x)= 1-x20,1， f(f(x)= 1- 1-x22=|x|；當(dāng)x<-1時，f(x)=|x|>1， f(f(x)=1.綜上可知，f(f(x)= &0x>1,&xx1,&1x<-1.點評：本題可以用直接法求復(fù)合函數(shù)的表達式，解這類問題要特別注意內(nèi)層函數(shù)的值落在外層函數(shù)的定義域的哪一段，進而選取不同的解析式.2.畫出函數(shù)y= &1

6、-x21+ &x的圖象.思路分析：要去掉絕對值符號，可按1-x2和x的零點(x=-1,0,1)把定義域(-,+)劃分為(-,-1)，-1,0)，0,1，(1,+)四部分分別進行化簡. 解：當(dāng)x(-,-1)時，y= y= &1-x21+ &x=x2-11-x=-x-1；當(dāng)x-1,0)時，y=1-x21-x=1+x；當(dāng)x0,1時，y=1-x21+x=1-x；當(dāng)x(1,+)，y=x2-11+x=x-1.即y= &-x-1,x-,-1,&x+1,x-1,0,&-x+1,x0,1,&x-1,x1,+.可畫出此函數(shù)的圖象，如圖.3.設(shè)x(-,+)，求

7、函數(shù)y=2|x-1|-3|x|的最大值.思路分析：本題為絕對值函數(shù)，應(yīng)先由零點分段討論法去掉絕對值符號，再畫出分段函數(shù)的圖象，然后解之.解：當(dāng)x1時，y=2(x-1)-3x=-x-2；當(dāng)0x<1時，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；當(dāng)x<0時，y=-2(x-1)+3x=x+2.因此y=&-x-2, x1,&-5x+2, 0x<1,&x+2, x<0.依上述解析式作出圖象如圖.由圖象可以看出，當(dāng)x=0時，ymax=2.4.某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格P（元)與時間t（天)組成有序數(shù)對(t,P)，點(t,P)落在如圖所示的兩條線段上，該股票

8、在30天內(nèi)（包括30天)的日交易量Q（萬股)與時間t（天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示. 第t天4101622Q（萬股)36302418（1)根據(jù)提供的圖象，寫出該種股票每股交易價格P（元)與時間t（天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q（萬股)與時間t（天)的一次函數(shù)關(guān)系式；（3)在（2)的結(jié)論下，用y（萬元)表示該股票日交易額，寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出這30天中第幾日交易額最大，最大值為多少？解：（1)P= &15t+2,0<t20,tN*.&-110t+8,20<t30,tN*.（2)設(shè)Q=at+b(a,b為常數(shù))，將(4,36)與(10,3

9、0)的坐標(biāo)代入，得 &4a+b=36,&10a+b=30，解得 &a=-1,&b=40.日交易量Q（萬股)與時間t（天)的一次函數(shù)關(guān)系式為Q=40-t,0<t30,tN*.（3)由（1)（2)可得y= &15t+2×40-t,0<t20，tN*&-110t+8×40-t,20<t30,tN*.即y= &-15t2+6t+80,0<t20,tN*,&110t2-12t+320,20<t30,tN*.當(dāng)0<t20時，當(dāng)t=15時，ymax=125；當(dāng)20<t30時，y=11

10、0t2-12t+320在 &20,30 上結(jié)合二次函數(shù)圖象知，y<y(20)<y(15)=125.所以，第15日交易額最大，最大值為125萬元.課外拓展函數(shù)解析式的確定方法1.直接變換法(配湊法)如果已知復(fù)合函數(shù)f（g(x)的表達式，要求f(x)的解析式，若f（g(x)表達式右邊易配成g(x)的運算形式，則可用直接變換法(配湊法).例1已知fx+1x=x2+1x2+1x，求f(x).思路分析：利用配湊法將函數(shù)右邊x2+1x2+1x配湊成含“x+1x”的形式.解： fx+1x=x2+1x2+1x=x+1x2-2xx2+1x=x+1x2-1x=x+1x2-x+1x+1， fx=

11、x2-x+1(x1).點評：函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)是由自變量x確定y值的關(guān)系式，其實質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系f：xy.因此這類問題的關(guān)鍵是弄清對“x”而言，“f”是怎樣的對應(yīng)關(guān)系.整體替換后，不要忽視新“元”的取值范圍.2.換元法換元法又稱變量替換法，即根據(jù)所要求解的式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設(shè)置新的變量來替代原來表達式中的某些式子或變量，對新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果.例2已知f( x+1)=x+2 x，求f(x).思路分析：采用整體思想，可把f( x+1)中的“ x+1”看作一個整體，然后采用另一參數(shù)替代.解：令t= x+1，則x=t-12(t1).代入原式有ft=t-12+2t-1=t

12、2-1. fx=x2-1(x1).點評：將接受對象“ x+1”換作另一個元(字母)“t”，然后從中解出x與t的關(guān)系，代入原式中便可求出關(guān)于“t”的函數(shù)關(guān)系，此即為函數(shù)解析式，但在利用這種方法時應(yīng)注意自變量的取值范圍的變化情況，否則就得不到正確的表達式.此法是求函數(shù)解析式的常用方法.3.待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要方法.當(dāng)某個恒等式中出現(xiàn)某些尚待確定的系數(shù)時，我們利用恒等式的性質(zhì)求出這些尚待確定的系數(shù)的方法，就叫做“待定系數(shù)法”.當(dāng)已知函數(shù)為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等形式時，一般的方法是設(shè)出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)題設(shè)條件求待定系數(shù).例3如果f(f(x)=2x-1，則一次函數(shù)f(x

13、)=.思路分析：由于f(x)是一次式，故可設(shè)為f(x)=ax+b(a0)的形式，然后只需將a,b確定下來即可.解： f(x)為一次函數(shù)，設(shè)f(x)=ax+b(a0).則ffx=afx+b=aax+b+b=a2x+ab+b，則由 &ffx=2x-1&ffx=a2x+ab+b &a2=2，&ab+b=-1，解得 &a= 2，&b=1- 2，或 &a=- 2，&b=1+ 2. f(x)= 2x+1- 2，或f(x)=- 2x+1+ 2.點評：已知所求函數(shù)為一次函數(shù)，故可設(shè)為f(x)=ax+b(a0)，a0的條件不要遺漏，此時目標(biāo)明確：只

14、需用待定系數(shù)法求出a,b即可.4.消去法利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函數(shù)式子，從而得到f(x)的表達式，此種方法稱為消去法，也稱為解方程法.消去法的重要措施是：利用相應(yīng)的未知數(shù)去代換不需要的函數(shù)式子中的未知數(shù)，以達到消去不需要的函數(shù)式子，求出函數(shù)表達式的目的.例4設(shè)f(x)是定義在(1,+)上的一個函數(shù)，且有f(x)=2f &1x x-1，求f(x).思路分析：欲求f(x)，必須消去已知中的f &1x ，不難想到再尋找一個方程.可由x與1x的倒數(shù)關(guān)系，用1x去替換已知式中的x便可得到另一個方程.然后聯(lián)立解之可得.解：f(x)=2f &1x x-1， 用1x

15、代換x，得f &1x =2f(x) (1x)-1，將代入消去f &1x ，得f(x)=4f(x)-2 x-1，f(x)=23 x+13.又 x(1,+)， f(x)=23 x+13，x(1,+).點評：本題利用方程思想，采用解方程(組)的方法消去不需要的函數(shù)式子，從而得到f(x)的表達式.此類問題的解題關(guān)鍵是用“活”已知表達式，由于它對于一切有意義的x恒成立，因此x可以用1x代換，以便問題的解決.例5已知afxn+f-xn=bx，其中a1，n為奇數(shù)，求f(x).思路分析：n為奇數(shù)給我們一個啟示： -xn=-xn，所以用-x代換x聯(lián)立方程組進行求解.解： a1且n為奇數(shù)， 在原式

16、中用-x代換x，得af-xn+fxn=-bx，于是得： &afxn+f-xn=bx,&af-xn+fxn=-bx.聯(lián)立，消去f-xn得fxn=bxa-1，而a1，n為奇數(shù)， f(x)=b nx a-1.點評：在求解時，要抓住條件中的每一個細(xì)節(jié)，而這些細(xì)節(jié)往往就是解題的切入口.5.賦值法用常規(guī)方法直接求解比較困難或不必要直接求解，若根據(jù)條件中所提供的信息，選擇某些特殊情況進行分析，或選擇某些特殊值進行計算，或?qū)⒆帜竻?shù)換成具體數(shù)值代入，或以變量換變量，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，然后通過解方程組求出f(x)的解析式.例6設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)=1，并且對任意實數(shù)x,y

17、都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表達式.思路分析：聯(lián)系問題，對條件中一個變量進行賦值處理，以消去表達式中的一個變量.解法一：由f(0)=1，f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，得f(0)=f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)=1， fx=x2+x+1.解法二：令x=0，得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)，又f(0)=1. f(-y)=1-y(-y+1)，又令-y=x， f(x)=1+x(x+1)，即fx=x2+x+1.點評：（1)所給函數(shù)方程含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或者這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至

18、于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定；（2)通過取某些特殊值代入題設(shè)中的某式，可使問題具體化、簡單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式.6.實際問題確定目標(biāo)函數(shù)法根據(jù)實際問題求函數(shù)解析式，是應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定自變量后去尋求等量關(guān)系，以求得表達式，要注意函數(shù)定義域應(yīng)由實際問題確定. 例7如圖,等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，BAD=45°，作直線MNAD交AD于M，交折線ABCD于N，設(shè)AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.思路分析：對于應(yīng)用型問題，若要求函數(shù)y=f(x)的表達式，這樣就需準(zhǔn)確揭

19、示x,y之間的變化關(guān)系，建立正確的目標(biāo)函數(shù).依題意，可知隨著直線MN的移動，點N分別落在梯形ABCD的AB、BC及CD邊上，有三種情況，所以需要分類解答.解：作BHAD，H為垂足，CGAD，G為垂足，依題意，有AH=a2,AG=32a，如圖所示. (1)當(dāng)M位于點H的左側(cè)時，NAB，由于AM=x，A=45°， MN=x， y=SAMN=12x2,考察可知x滿足0xa2.(2)當(dāng)M位于HG之間時，由于AM=x，MN=a2，BN=x-a2. y=S直角梯形AMNB=12·a2x+x-a2=12ax-a28a2<x3a2.(3)當(dāng)M位于點G的右側(cè)時，由于AM=x，MN=2a-x. y=S梯形ABCD-SMDN=12·a2(2a+a)-122a-x2=3a24-124a2-4ax+x2=-12x2+2ax-5a24,考察可知x滿足32a<x2a.綜上可知，y= &12x2,x0,a2，&12ax-a28,xa2,3a2，&-12x2+2ax-5a24,x3a2,2a.來源:Zxxk.Com點評：求函數(shù)解析式時，若不同情形下的表達式不同，則要分段寫出.但要注意，分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，由實際問題確定的函數(shù)，不僅要確定函數(shù)的解析表達式，同時要求出函數(shù)的定義域(一般情況下都要受實際問題的約束).7.求分段函數(shù)的