淺談達(dá)朗貝爾判別法

1、淺談達(dá)朗貝爾判別法鄭媛媛（渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 121000 中國）摘要：通過學(xué)習(xí)了達(dá)朗貝爾判別法及其推論，我們了解到達(dá)朗貝爾判別法在判別正項級數(shù)的斂散性中是非常簡便適用的。但這種判別法仍存在著一些弊端，給我們在學(xué)習(xí)中造成了許多不便，為了便于我們今后的學(xué)習(xí)，本文簡單的介紹和研究了幾種達(dá)朗貝爾判別法的推廣方法，主要解決了達(dá)朗貝爾判別法在=1失效的情況下斂散性的判別。文中提到的方法，不但使用簡便，具有廣泛的適用性，而且更為精細(xì)。為正項級數(shù)斂散性的判定提供了更有力的工具。關(guān)鍵詞：正項級數(shù) 斂散性 TALK ABOUT J.DALEMBERTS PRINCIPLEZheng Yuanyuan(D

2、epartment of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract :The study of the DAlembert Discrimination Act and its corollary,We understand that dAlembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks

3、to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several dAlembert Criterion promotional measures,mainly to solve the DAlemberts Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions th

4、e method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool.Key words :positive series ; conbergence anddivergence.引言判別斂散性是無窮級數(shù)與無窮積分理論的首要課題，而正項級數(shù)的斂散性判別尤為重要。我們已經(jīng)在教材中學(xué)習(xí)了幾種判別正項級數(shù)斂散性的判別法其中達(dá)朗貝爾判別法的推論比值判別法和根值判別法用起來較比較判別法方便，其原因是它

5、只靠級數(shù)自身的特征來檢測，而比較判別法卻須去尋找一個恰當(dāng)?shù)谋容^對象然而，從比值判別法和根值判別法的證明可以看出，它們實質(zhì)上還是把所討論的級數(shù)同某一幾何級數(shù)作比較這兩種方法在實際應(yīng)用時，都會遇到失效的情況為什么會出現(xiàn)這種情況呢?這實質(zhì)上是，把所有級數(shù)和收斂的幾何級數(shù)相比，它的項比幾何級數(shù)的項數(shù)值 大，而和發(fā)散的幾何級數(shù)相比，它的項又比幾何級數(shù)的項數(shù)值小這也就是說，要想檢驗所論級數(shù)的斂散性，幾何級數(shù)這把尺子的精密度不夠。人們發(fā)現(xiàn)p級數(shù)是比幾何級數(shù)更精密的一把“尺子”，而級數(shù)： 又比p級數(shù)更為精密，稱為對數(shù)尺子。仿照建立比值判別法的辦法，人們將所論級數(shù)同一把比一把更精密的“尺子相比較，建立了一個比一

6、個適應(yīng)范圍更大但使用更加繁難的正項級數(shù)斂散性判別方法，如拉貝判別法，高斯判別法，等等但是，如此建立的判別方法，無論適應(yīng)范圍多大，仍然會有失效的情況發(fā)生我們在做題當(dāng)中發(fā)現(xiàn)了達(dá)朗貝爾比值判別法是正項級數(shù)斂散性判定中使用最簡便的方法之一，所以經(jīng)常使用,但由于精確度不夠,當(dāng)=1時，判別發(fā)失效.給我們帶來了很多不便。例如：級數(shù)和，都有= =1, =1.但前者發(fā)散而后者收斂。近年來，為了改進(jìn)達(dá)朗貝爾比值判別法，進(jìn)行了種種研究。如雙比值判別法的提出，本文簡單例舉出了比值判別法的幾種推廣，是眾多定理成為其特殊情況，而且使用簡便，為正項級數(shù)斂散性的判定提供了更有力的工具。一.預(yù)備知識引理1：對于P級數(shù),當(dāng)<

7、;P1時發(fā)散；當(dāng)P >1時收。對于級數(shù),級數(shù)發(fā)散，且滿足=1+ o（）級數(shù)發(fā)散，且滿足=1+級數(shù)收斂，且滿足=1+2：設(shè)級數(shù)和都是正項級數(shù)且存在自然數(shù)，使當(dāng)n時，有 ,則有(i)若收斂，則也收斂；(ii)若發(fā)散，則也發(fā)散。引理3：設(shè)有正項級數(shù)=+ , （）其中>,=,若是自然數(shù)列的一個子列，規(guī)定=，記=,=,.,又得到正項級數(shù)=(+)+(+)+ （）即對級數(shù)（）適當(dāng)添加括號得到級數(shù)（）.級數(shù)（），（）有相同的斂散性，且在它們收斂時有相同的和。引理4：給定兩個正項級數(shù)（）和（），若從某項起（如<時）,不等式,成立，則級數(shù)（）收斂蘊涵級數(shù)（）收斂;級數(shù)（）發(fā)散蘊涵級數(shù)（）發(fā)散。引

8、理5：設(shè)是正項級數(shù)，單調(diào)遞減，則存在1，+)上的單調(diào)遞減的連續(xù)可微函數(shù)，使得= （=. .）6：若函數(shù)在1，+)非負(fù)，連續(xù)，遞減，則級數(shù)與無窮積分同時收斂或同時發(fā)散。7：設(shè)是定義在，+）上的正值連續(xù)函數(shù)，函數(shù)在，+）嚴(yán)格遞增，連續(xù)可導(dǎo)且， ，+),若=，則（i）.當(dāng)<1.，無窮積分收斂；（ii）.當(dāng)>1，無窮積分發(fā)散；（iii）.當(dāng)=1，無窮積分可能收斂，也可能發(fā)散。引理8：（達(dá)朗貝爾判別法或稱比式判別）設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)q (<q <1).(i).若對一切>，成立不等式q,則級數(shù)收斂；(ii).若對一切>，成立不等式1,則級數(shù)發(fā)散。二.推廣

9、方法（一）.定理1：設(shè)是正項級數(shù)且滿足=1-+o(),則有（i）.若>1,則級數(shù)收斂；（ii）.若1，則級數(shù)發(fā)散。證明：(i).當(dāng)時，有=1+o()，另一方面，若令=,這里>，且1+<，那么=1+ o（）,從而= + o（）, ()即對充分大的，有<由引理1知級數(shù)=收斂，故再由引理2知收斂。（ii）.同理，當(dāng)時，有=1+o()，另一方面，若令=,這里>，且<1<1，那么=1 + o()從而=+ o(), ()即對充分大的，有由引理1知級數(shù)=發(fā)散，故再由引理2知發(fā)散。舉例應(yīng)用例：設(shè)>，討論級數(shù)的斂散性。解:因為=(1+ o（）)=1+ o（）=1+

10、 o()由結(jié)論知，于x>時收斂;于x時發(fā)散。綜合達(dá)朗貝爾判別法及定理1可得（二）.定理2：設(shè)是正項級數(shù)且滿足=+ o(),則有（i）.若<1或=1，>1,則級數(shù)收斂；（ii）.若>1或=1，1,則級數(shù)發(fā)散。證明：可由朗貝爾判別法及定理1證得。舉例應(yīng)用例：判定級數(shù)的斂散性。分析：本題應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法失效，因為出現(xiàn)=1，用定理2可判斷出收斂性。解：=.因為=1，此時達(dá)朗貝爾判別法失效，但由定理2有=1-+由結(jié)論知道=>1，故此級數(shù)收斂。（三）.定理3：對于正項級數(shù)及，若有的一個子列，<,使 (<)則（i）. 若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；（ii）. 若級數(shù)發(fā)散

11、，則級數(shù)發(fā)散。證明：因為 (<)取M=max,，對于任何自然數(shù)>，存在唯一的,使=+ (0)，于是= , 且+<,若+>，存在唯一的，使+=+(0)于是=, 且+<+注意到<依次下去，必可在有限步，不妨設(shè)到第步時，有+于是=M所以當(dāng)級數(shù)收斂時，級數(shù)收斂；當(dāng)級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散。推論：對正項級數(shù)，若=,=則（i）. 當(dāng)=max,<,級數(shù)收斂；（ii）.當(dāng)=min,>,級數(shù)發(fā)散。舉例應(yīng)用例：證明級數(shù)收斂。證明：因為=.=.=.( )=.=.()（四）.定理4：對于正項級數(shù)及，存在，對于任何>，都存在<，使得則有（i）. 若級數(shù)收斂，則級

12、數(shù)收斂；（ii）. 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。證明：一個級數(shù)增加，減少，改變有限項不改變其斂散性，不妨設(shè)對自然數(shù)，均有<，使即對自然數(shù)，存在<，使得依次下去，便得其中：>>>>>1，所以當(dāng)級數(shù)收斂時，級數(shù)收斂；當(dāng)級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散。：給定正項級數(shù)及，若存在正數(shù)，當(dāng)>時有則（i）. 若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；（ii）. 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。舉例應(yīng)用例：證明級數(shù)發(fā)散。證明:因為=級數(shù)發(fā)散，由推論知級數(shù)發(fā)散。（五）.定理5：對于正項級數(shù)（1），若存在自然數(shù)，（i）. 若，>， (<1)（）則（1）收斂；（ii）.若，>，1（）則（

13、1）發(fā)散。證明：當(dāng)=1，由達(dá)朗貝爾判別法命題成立。以下考慮的情形，設(shè),記=，=. 得到正項級數(shù)（），（i）.若，>，（）成立，則q （）因為m=m()=m(+1）同樣，= m（）；所以=取定自然數(shù)，使>，則對>K，因為1K，所以>，由（），當(dāng)=+1, =+,=+時，q，代入上式q= q,即>K，（<1）,由達(dá)朗貝爾判別法級數(shù)（）收斂，再由引理3級數(shù)（1）收斂。（ii）.若，>，（）成立，仿上可證K，>K, 1，由達(dá)朗貝爾判別法級數(shù)（）發(fā)散，再由引理3級數(shù)（1）發(fā)散。推論1：對于正項級數(shù)（1），若= =則 當(dāng)<，（1）收斂;當(dāng)>，（1）

14、發(fā)散，當(dāng)=，就得到的定理1。推論2：設(shè)m，對于正項級數(shù)（1），若=1。且= ,則當(dāng)<，（1）收斂;當(dāng)>，（1）發(fā)散。舉例應(yīng)用例：對于P級數(shù)（>），因為=1不能用達(dá)朗貝爾判別法其斂散性，m=當(dāng)>1，<，由推論，級數(shù)收斂。（六）.定理6：給定正項級數(shù)，若=（=, 11）,則當(dāng)<時,收斂；當(dāng)>時，發(fā)散。證明：當(dāng)<時，取>，使得+=<,由=，知：>，N，n,有<則有<+=<,又<<。所以,>1，使得<<<,令=，則收斂，且=所以，當(dāng)n >時，有>所以>>，由引

15、理4可知，收斂。當(dāng)>時，取>，>，由=.知:>，N，>,有<，則有>>.令=，則=發(fā)散，且=<.所以>>，由引理4知。發(fā)散。推論：給定正項級數(shù)，若=1，且=存在，則當(dāng)<時收斂；>時，發(fā)散。舉例應(yīng)用例：給定正項級數(shù)，若=，則當(dāng)<< 1時，=;當(dāng)>1時，=+（=,11）證明：由=,知>，N，n，有<即<<+=<*<即<<若<<1，取>，使得+<1，則<1，所以=.同理=.若>1，取>，使得>1，則>1.

16、所以=+.同理=+由此例題可以看出，凡是能用達(dá)朗貝爾判別法進(jìn)行判別的問題，用定理6也一定可行?？梢姡ɡ?優(yōu)于達(dá)朗貝爾判別法，（七）.定理7：設(shè)為正項級數(shù)，單調(diào)減少， 滿足 x，（x 1，+)且單調(diào)遞增的整系數(shù)多項式。如果（i）.存在滿足引理5的函數(shù)，使為單調(diào)函數(shù).（ii）= .則有（）當(dāng)<1，級數(shù)收斂；（）當(dāng)> 1，級數(shù)發(fā)散；（）當(dāng)=1，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。證明：由引理5及條件（i）.存在，+)上的單調(diào)遞減可微函數(shù)，使得 = （=.）=L.結(jié)合引理6，引理7即得。舉例應(yīng)用例：正項級數(shù)，取=，顯然=滿足定理條件，因=>1故根據(jù)定理結(jié)論，此級數(shù)發(fā)散。值得注意的是，此例用達(dá)

17、朗貝爾判別法失效。（八）.定理8：設(shè)是1，+) 上遞減正值連續(xù)函數(shù)，是1，+)上連續(xù)可微函數(shù)，且 >x，若= （）則當(dāng)<<1時，級數(shù)收斂；當(dāng)>1時，級數(shù)發(fā)散。證明：因為在1，+)上單調(diào)遞減，由積分判別法與同斂態(tài)，由于 >，所以可取單調(diào)遞增序列：= c（c1）, =()， =(),且=+.當(dāng)<<1時，取實數(shù)，使得<<1,由于有（）式，故>1.當(dāng)x>時，有<，即<。于是時,有<即<,<,固定，使，則=+<+=<=常數(shù)故收斂，從而級數(shù)收斂。當(dāng)>1時，存在>1，當(dāng)x>時，>，于是當(dāng)>時，>>固定，使>，有>(), ()故發(fā)散，從而級數(shù)發(fā)散。舉例應(yīng)用例：判斷級數(shù)的斂散性。解：因為=1 (+)所以，達(dá)朗貝爾判別法失效，利用定理8，令= ，= =>1級數(shù)發(fā)散。三.結(jié)束語綜上可見，文中所述定理及其推論是方便可行的，并完善了達(dá)朗