教案：用一元一次方程解決工程問題

1、用一元一次方程解決工程問題【教材簡析】本節(jié)課所用教材為蘇教版七年級上冊數(shù)學(xué)課本。用一元一次方程解決實(shí)際問題這個(gè)章節(jié)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元一次方程概念、解法之后，逐步加深對利用方程解決實(shí)際問題的認(rèn)識，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。本節(jié)課為用一元一次方程解決工程問題，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了用一元一次方程解決行程問題等較為簡單的問題之后的層次遞進(jìn)。通過具體的工程問題展現(xiàn)“問題建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”這一數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)模型在解決實(shí)際問題中的重要作用和意義。在教學(xué)過程中要注意促進(jìn)學(xué)生分析問題及解決問題能力的提高，為此，在之前學(xué)習(xí)了表格等分析方法之后，本節(jié)課又引進(jìn)了圓形餅圖的方法幫助學(xué)生進(jìn)一步分析問題，解決問題?！窘虒W(xué)內(nèi)

2、容】 蘇教版七年級上冊用一元一次方程解決工程問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1 借助圓形示意圖分析復(fù)雜問題中的等量關(guān)系，進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力。2 能根據(jù)題中等量關(guān)系正確設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程解決工程問題。3 進(jìn)一步體會方程模型的作用，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。【教學(xué)重點(diǎn)】根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出一元一次方程解決工程問題。【教學(xué)難點(diǎn)】正確找出實(shí)際工程問題中的等量關(guān)系?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】PPT、教學(xué)輔案【教學(xué)過程】一、 導(dǎo)入1一個(gè)圓形，從圓心出發(fā)，平均切割成三部分，每個(gè)圓心角( )度。2如果圓形的面積為S，那么每個(gè)部分的面積是( )?！驹O(shè)計(jì)意圖】導(dǎo)入部分用一個(gè)圓形圖提問，契合本節(jié)課的主題，同時(shí)又暗含了本

3、節(jié)課講使用的圓形餅圖的方法輔助我們分析和解決工程問題。過渡：剛剛我們看的是一個(gè)圓形面積圖。其實(shí)，今天我們要使用這種圓形圖的策略來幫助我們用一元一次方程解決工程問題。（揭示課題：用一元一次方程解決工程問題）。二、新課問題1 甲單獨(dú)做：甲同學(xué)將一批資料錄入電腦，需要18小時(shí)完成，甲同學(xué)工作1小時(shí)的工作量是 ？ 【設(shè)計(jì)意圖】用“甲單獨(dú)做”的問題讓學(xué)生明確幾點(diǎn)：工程問題涉及工作總量、工作時(shí)間和工作效率三個(gè)量及其關(guān)系；把工作總量看作1；單個(gè)人的單位時(shí)間的工作量怎么求。引導(dǎo)學(xué)生用圓形圖分析。教師：這個(gè)題要解決工程問題，工程問題涉及到哪幾個(gè)量？學(xué)生：工作總量、工作時(shí)間和工作效率教師：他們之間的關(guān)系是什么？學(xué)

4、生：工作總量=工作效率×工作時(shí)間教師：要求甲同學(xué)工作1小時(shí)的工作量，就是求什么？學(xué)生：求工作效率。教師：要求工作效率，必須要知道哪兩個(gè)量？學(xué)生：工作總量和工作時(shí)間。教師：工作時(shí)間是多少？ 學(xué)生：18小時(shí)。教師：工作總量知道嗎？題中告訴甲同學(xué)將一批資料錄入電腦，這項(xiàng)工作是一個(gè)具體的量嗎？學(xué)生：沒有。教師：那我們不妨假設(shè)工作總量為S，那么工作效率是多少呢？學(xué)生：工作效率為S18。教師：現(xiàn)在工作總量、工作時(shí)間、工作效率三個(gè)量我們都知道了。那么我們再看這個(gè)公式： 工作總量=工作效率×工作時(shí)間 S = s18 × 18 教師：約分后得到一個(gè)式子S=S，那么你們想想，這個(gè)式子

5、有沒有意義呢？（沒有）沒有意義就表示我們可以用任何一個(gè)字母(b或者c)或數(shù)來代替這個(gè)S，上面的式子也成立。通常，在解決工程問題時(shí)，我們會用1來代替S，也就是把工作總量看作整體1.教師：我們用一個(gè)圓來表示工作總量1，藍(lán)色部分表示1小時(shí)的工作量，就是工作效率，為118。過渡：現(xiàn)在這項(xiàng)工作換一個(gè)同學(xué)來做，請看問題2。問題2 乙單獨(dú)做：乙同學(xué)將一批資料錄入電腦，需要12小時(shí)完成，乙同學(xué)工作1小時(shí)的工作量是 ？ 【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步強(qiáng)化問題1中的知識內(nèi)容。教師：請你們直接告訴我答案。學(xué)生：112教師：我們用整個(gè)圓來表示工作總量1，那么藍(lán)色部分就表示乙工作一小時(shí)的 工作總量 ，也就是 工作效率 。過渡：如果

6、完成這項(xiàng)任務(wù)的對象又發(fā)生改變會怎樣呢？請看問題3。問題3 甲先做，乙后做：將一批資料錄入電腦，甲單獨(dú)做需要18 h完成，乙單獨(dú)做需要12 h完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做9 h，余下的任務(wù)由乙單獨(dú)完成，那么乙還需要多少時(shí)間完成任務(wù)？【設(shè)計(jì)意圖】此問題在問題1、2的基礎(chǔ)上加深難度，由“甲、乙單獨(dú)做”變成“甲先做，乙后做”的問題，而學(xué)生已會求甲和乙單獨(dú)做的工作效率，現(xiàn)在用圖形的方法分析歸納出題中的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。解：設(shè)乙還需要h完成任務(wù)。根據(jù)題意，得：618 + 112 = 1 解這個(gè)方程，得 = 8答：乙還需要8小時(shí)。教師：這項(xiàng)錄入資料的工作是怎么完成的呢？學(xué)生：甲先單獨(dú)做6小時(shí)，余下的任務(wù)由乙

7、單獨(dú)完成。（畫線）教師：我們用這個(gè)圓來表示全部工作量，紅色部分表示甲6小時(shí)的工作量，藍(lán)色部分表示乙的工作量。教師：全部工作量和甲的工作量以及乙的工作量之間有沒有等量關(guān)系？學(xué)生：全部工作量 = 甲單獨(dú)做的工作量 + 乙單獨(dú)做的工作量教師：全部工作量可以看做 ？ 學(xué)生：看作1。教師：甲單獨(dú)完成的工作量怎么求呢？學(xué)生：甲單獨(dú)完成的工作量=甲的工作效率×甲的工作時(shí)間 即 118×6 = 618教師：乙單獨(dú)做的工作量=乙的工作效率×乙的工作時(shí)間。乙的工作時(shí)間是我們要求的，那么我們就可以設(shè)乙的工作時(shí)間為 。（PPT）教師：那么乙的工作總量就是：112 教師：這樣我們可以列出一

8、個(gè)一元一次方程：618 + 112 = 1請你解答一下這個(gè)方程，求出。過渡：接下來，我們再換一種方式去完成這項(xiàng)任務(wù)，請看問題4。問題4 甲、乙合做：將一批資料錄入電腦，甲單獨(dú)做需18 h完成，乙單獨(dú)做需要12 h完成，甲、乙合做需要幾小時(shí)完成？【設(shè)計(jì)意圖】這道題由“單獨(dú)做”變成“合做”。教學(xué)過程中要注意啟發(fā)學(xué)生的思維，用兩種不同的方法解決這個(gè)問題：第一種方法把這項(xiàng)工程看作“甲的工作量+乙的工作量”，先要算出甲、乙兩人單獨(dú)的工作量；第二種方法先求出甲、乙兩人合作的工作效率，再乘以工作時(shí)間。解法一：解：設(shè)甲、乙合做需要小時(shí)完成。根據(jù)題意，得 118 + 112 = 1解這個(gè)方程，得：=365答：甲

9、、乙合做需要365小時(shí)完成。教師：這項(xiàng)工作又是怎么完成的呢？學(xué)生：甲、乙合做。教師：我們用一個(gè)整體圓來表示全部的工作量，紅色部分表示甲的工作量，藍(lán)色部分表示 乙的工作量 。教師：誰能把等量關(guān)系式告訴我？學(xué)生：全部工作量 = 甲的工作量 + 乙的工作量教師：全部工作量是多少？ 學(xué)生：可以看作1.教師：甲和乙的工作總量分別等于他們的 工作效率 乘以他們的 工作時(shí)間。教師：甲和乙的工作效率分別是多少呢？學(xué)生：甲的工作效率是118，乙的工作效率是112。教師：甲和乙的工作時(shí)間分別是多少呢？ 學(xué)生：不知道教師：不知道應(yīng)該怎么辦呢？這項(xiàng)工作甲乙合做，表示他們同時(shí)開始也同時(shí)結(jié)束，就是工作時(shí)間 相等 ，那么我

10、們可以設(shè)甲、乙合做需要小時(shí)完成。教師：現(xiàn)在甲的工作量是 118。乙的工作量是 112教師：把一元一次方程列出來。 學(xué)生：118 + 112 = 1教師：請你們快速解答一下這個(gè)方程，求出。解法二設(shè)甲、乙合做需要小時(shí)完成。根據(jù)題意，得 （118 + 112） = 1解這個(gè)方程，得：=365答：甲、乙合做需要365小時(shí)完成。教師：請想想，這個(gè)題還能列出不同的關(guān)系式么？提示：我們同樣用一個(gè)圓來表示全部工作量，紅色部分表示甲的工作效率，藍(lán)色部分表示乙的工作效率。那么紅色和藍(lán)色一起表示兩個(gè)人的工作效率之和教師：等量關(guān)系式怎么列？學(xué)生：工作總量 = 甲、乙的效率和 × 工作時(shí)間教師：工作效率之和是

11、多少？ 118 + 112教師：工作一小時(shí)是118 + 112，那么工作兩小時(shí)應(yīng)該乘以 2 ，假設(shè)工作小時(shí)呢？ （118 + 112）教師：請你們在學(xué)案上完成這道題。問題5 先單獨(dú)做，再合做：將一批資料錄入電腦，甲單獨(dú)做需要18 h完成，乙單獨(dú)做需要12 h完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做8 h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙兩人合做了多少時(shí)間？【設(shè)計(jì)意圖】在前面四個(gè)題目的基礎(chǔ)上，用一元一次方程解決工程問題的方法已經(jīng)能掌握，那么課本中這個(gè)問題便能有效地解決。本題讓學(xué)生分組進(jìn)行討論，解決問題，在討論的過程中教室給予相應(yīng)的指導(dǎo)。教師：請大家讀一讀題，讀完題后分組進(jìn)行討論。在討論的過程中請大家注意以下幾個(gè)

12、問題：1. 這項(xiàng)工程是如何完成的？2. 你從題目中找到的等量關(guān)系是怎樣的？ 3. 怎樣設(shè)未知數(shù)，列方程？請你們在學(xué)案上試著完成這個(gè)題目。方法一全部工作量 = 甲單獨(dú)做的工作量 + 甲、乙合做的工作量 1 818 （ 118 + 112 ）解：設(shè)甲乙兩人合做了h. 根據(jù)題意，得 818 +（ 118 + 112 ） = 1 解這個(gè)方程，得 = 4答：甲乙兩人合做了4 h.方法二全部工作量 = 甲做的工作量 + 乙做的工作量1 118×8+118 112解：設(shè)甲乙兩人合做了h. 根據(jù)題意，得 8+18 + 112 = 1 解這個(gè)方程，得 = 4答：甲乙兩人合做了4 h.小結(jié)： 在解決工程

13、問題時(shí)： 1. 通常把全部工作量看作是1。 2. 解題策略：畫圓形圖，用整個(gè)圓的面積表示全部工作量1，用扇形面積表示有關(guān)工作量。 3. 解題時(shí)尋找等量關(guān)系，遵循整體和部分的原則。三、課堂反饋1某下水管道工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)分別需要10天、15天完成，如果兩隊(duì)從兩端同時(shí)施工2天，然后由乙隊(duì)單獨(dú)施工，還需要多少天完成？學(xué)生獨(dú)立完成解：設(shè)還需要天完成。（110+115）×2 + 15 = 1 或 210+ 2+15 = 1解這個(gè)方程得： = 10 答：還需要10天完成。2整理一批圖書，甲、乙兩人單獨(dú)做分別需要4 h、6h 完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做1h，然后兩人合做完成，甲、乙兩人合作整理這批圖書用了多少時(shí)間？學(xué)生獨(dú)立完成解：甲、乙兩人合作整理這批圖書用了 h。14+（14 + 16 ） = 1 或 1+4 + 6 = 1解這個(gè)方程得： = 95 答：還需要95天完成。3. 一件工作，甲單獨(dú)做15小時(shí)完成，甲、乙合做6小時(shí)完成甲先單獨(dú)做6小時(shí)，余下的乙單獨(dú)做，那么乙還要多少小時(shí)完成？學(xué)生獨(dú)立完成解：設(shè)乙還要 小時(shí)完成。甲的工作量+ 乙的工作量= 工作總量 解這個(gè)方程得： = 6答：乙