數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及其在西方經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及其在西方經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用西方經(jīng)濟學(xué)是一門綜合性較高的課程，有一定的難度，需要一定的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。這里我們給大家整理了一些必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，幫助大家學(xué)好西方經(jīng)濟學(xué)這門課程。一、經(jīng)濟模型中運用的圖形經(jīng)濟模型是對經(jīng)濟或企業(yè)與家庭這類經(jīng)濟組成部分進行的簡化的描述。它包括可以用方程式或圖形中曲線表示的經(jīng)濟行為的表述。經(jīng)濟學(xué)家利用模型來揭示不同政策或其他因素對經(jīng)濟的影響，在方法上與采用模型飛機測定風(fēng)洞和氣候模式有類似之處。在經(jīng)濟模型中你將遇到許多不同的圖形，一旦你學(xué)會認(rèn)識這些類型，你就會很快了解圖形的含義。在圖形中看到的類型有如下四種情況：1、同方向變動的變量同方向變動的兩種變量之間的關(guān)系稱

2、為正相關(guān)或者同方向相關(guān)。圖1-1表示正相關(guān)圖形的三種情況。圖a表示一種兩個變量同時增加的正相關(guān)，圖形沿著越來越陡峭的曲線移動；圖b表示一種正相關(guān)線性關(guān)系，圖形是一條直線；圖c表示一種兩個變量同時增加的正相關(guān)，圖形沿著越來越平坦的曲線移動。圖1-2中的所有線無論它是直線還是曲線都稱為曲線。 圖1-2：正相關(guān)圖形的三種情況2、反方向變動的變量反方向變動的兩種變量之間的關(guān)系稱為反相關(guān)或者反方向相關(guān)。圖1-3表示反相關(guān)圖形的三種情況。圖a表示一種一個變量增加、另一個變量減少的負(fù)相關(guān)，圖形沿著越來越陡峭的曲線移動；圖b表示一種負(fù)相關(guān)線性關(guān)系，圖形是一條直線；圖c表示一種圖形沿著越來越平坦的曲線移動的負(fù)相

3、關(guān)。 圖1-3：負(fù)相關(guān)圖形的三種情況3、有最大值或最小值的變量 (a) (b)圖1-4：有最大值與最小值的圖形圖（a）表示有一個最大值點A的曲線，點A的左邊產(chǎn)量遞增，右邊產(chǎn)量遞減，在點A處達到產(chǎn)量最大；圖（b）表示有一個最小值點B的曲線，點B的左邊成本遞減，右邊成本遞增，在點B處成本最小。4、無關(guān)的變量 (a) (b)圖1-5：無關(guān)變量的圖形有許多情況是無論一個變量發(fā)生什么變動，另一個變量都不變。上圖（a）表示無論x如何變動，y的數(shù)值不變；圖（b）表示無論y如何變動，x的數(shù)值不變。5、一種關(guān)系的斜率 我們可以用關(guān)系的斜率來衡量一個變量對另一個變量的影響。一種關(guān)系的斜率是用y軸衡量的變量的值的變

4、動量除以用x軸衡量的變量的值的變動量。我們用希臘字母代表“變動量”，x指x軸衡量的變量的值的變動量，這樣關(guān)系的斜率是：y/x.。(a)正斜率 (b)負(fù)斜率圖1-6：一條直線的斜率 無論你計算直線上哪個地方，一條直線的斜率是相同的。但是一條曲線的斜率是多變的，取決于我們計算線上的哪個位置。有兩種方法可以計算一條曲線的斜率：在曲線某一點上的斜率稱為點斜率，而某一段弧的斜率稱為弧斜率。如圖1-7所示： (a)點斜率 (b)弧斜率圖1-7：一條曲線的斜率二、導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義1、導(dǎo)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)在點及其鄰域內(nèi)有意義，如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記作 （1.

5、1）導(dǎo)數(shù)還采用下列符號：，或 ，或 因此曲線在點的切線的斜率可以表示為。例1、求拋物線在點處的切線的斜率。解：，由式（1）得因此拋物線在點處的切線的斜率為2。我們把計算導(dǎo)數(shù)的運算稱為求導(dǎo)運算，或者微分運算。需要指出的是，導(dǎo)數(shù)記號不能簡單的視為除法運算，目前我們要把它看作一個整體記號。又記作： 或 或 顯然，函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)正是該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點的值，即 （1.2）在求導(dǎo)數(shù)時，若沒指明求哪一點的導(dǎo)數(shù)，都是指求導(dǎo)函數(shù)。例2、設(shè)，求，解：這里，由導(dǎo)數(shù)的定義式（1）得：所以 ， 同理可得，并推廣為對任意實數(shù)，成立例如： 例3、設(shè)，求。解：先求，有則對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：(1)x是自變量x在

6、處的增量(或改變量)；(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)。(3)如果函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)。反之不一定成立。例如函數(shù)y=|x|在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 （1.3）特別地，如果

7、曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。例4、求過曲線上的點處的切線方程。解：把代入得，得曲線在處的切線方程為：由于，所以，則切線方程為：如果函數(shù)在處可導(dǎo)，那么曲線在此點處光滑連接（不間斷或沒有尖角），且曲線在點處有不垂直于軸的切線。3、導(dǎo)數(shù)的運算（1）和、差的導(dǎo)數(shù)前面我們學(xué)習(xí)了常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，那么對于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，又如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。 我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。同時可以推導(dǎo)出：兩函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的差。這就是兩個函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。（2）積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法則，只要求

8、記住并能運用就可以。 （A）； （B）若c為常數(shù)，則(cu) =cu。（3）商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，只要求記住并能運用就可以。設(shè)因為v(x)在點x處可導(dǎo)，所以它在點x處連續(xù)，于是x0時，v(x+x)v(x)，從而即。說明：（1）；（2）學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。例5、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用本節(jié)介紹導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用，以展示導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的各個視角，供學(xué)習(xí)者在其它領(lǐng)域中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題提供借鑒。1、邊際分析在生產(chǎn)和經(jīng)營活

9、動過程中，產(chǎn)品成本、銷售收入以及產(chǎn)銷利潤都是產(chǎn)量的函數(shù)，分別記為，和。如果生產(chǎn)者按定單組織生產(chǎn)，那么銷售量與產(chǎn)量相同，就有顯然有：經(jīng)濟函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為它們各自的邊際函數(shù)，（1）邊際成本：成本函數(shù)對產(chǎn)量的變化率稱為邊際成本，記成；（2）邊際收入：收入函數(shù)對產(chǎn)量的變化率稱為邊際收入，記成；（3）邊際利潤：利潤函數(shù)對產(chǎn)量的變化率稱為邊際利潤，記成；以邊際成本為例，說明邊際函數(shù)的經(jīng)濟意義。由于 考慮到經(jīng)濟物品在多數(shù)情況下是不可分割的，即當(dāng)時，成立因而邊際成本表示在的水平上再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所需增添的成本；同理，邊際收入表示在的水平上再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的收入；邊際利潤表示在的水平上再多生產(chǎn)一個單

10、位產(chǎn)品所增加的利潤。若邊際成本較大，則產(chǎn)量在水平上增產(chǎn)所需要增添的成本也較大，表明增產(chǎn)潛力較?。蝗暨呺H成本較小，則產(chǎn)量在水平上增產(chǎn)所需要增添的成本也較小，表明增產(chǎn)潛力較大。例1、某產(chǎn)品總成本為產(chǎn)量的函數(shù)，求生產(chǎn)100個產(chǎn)品的平均成本及邊際成本。解：平均成本函數(shù)，于是生產(chǎn)100個產(chǎn)品的平均單位成本為。邊際成本函數(shù)，于是生產(chǎn)100個產(chǎn)品時的邊際成本為。這說明：生產(chǎn)前100個產(chǎn)品時，均攤在每個產(chǎn)品上的成本為10元，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)第101個產(chǎn)品，所需要增添的成本大約為2元。例2、某商品平均成本函數(shù)為（元/公斤），每公斤售價元，需求函數(shù)為，求邊際成本，邊際收入，邊際利潤。解：成本函數(shù)為于是邊際成本從需求

11、函數(shù)解出：，則收入函數(shù)于是邊際收入 邊際利潤為本題中的邊際成本恒等于2表示成本的變化率是常數(shù)，它說明，每增加生產(chǎn)單位產(chǎn)品成本將增加為2，而每增加生產(chǎn)單位產(chǎn)品的邊際利潤卻在變化。例如：， ，而，這意味著，盲目擴大生產(chǎn)規(guī)模，不一定增加經(jīng)濟效益。2、彈性分析在實際應(yīng)用中，常把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上稱為函數(shù)對自變量的彈性，記為，即因此 從而 （1.4）由于表示當(dāng)自變量從增加到時，增加的百分?jǐn)?shù)；表示因變量相應(yīng)增加的百分?jǐn)?shù)。所以從（1.4）式知道，函數(shù)彈性的實際意義就是當(dāng)自變量在的水平上增加一個百分點時，因變量大約增加的百分點。彈性在經(jīng)濟分析中有重要的實際意義，第2章有更加具體的內(nèi)容進行分析。四、經(jīng)濟中的最值分析

12、如何能夠做到平均成本最小，利潤最大是企業(yè)追求的兩個主要目標(biāo)，以下我們將討論這一問題。求函數(shù)的最值問題需要用到以下關(guān)于極值和最值關(guān)系的定理。 定理1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且在內(nèi)有唯一駐點，如果是函數(shù)的極?。ù螅┲迭c，則必是的最?。ù螅┲迭c。經(jīng)濟函數(shù)最值的求解步驟如下：1、根據(jù)實際問題的具體情況，建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式；2、求目標(biāo)函數(shù)的駐點；3、如果只有唯一的駐點，并且是極?。ù螅┲迭c，那么該點就是所求的最?。ù螅┲迭c。例3、已知固定成本為4萬元，變動成本為（萬元），問年產(chǎn)量為多少時才能使平均成本最低？（產(chǎn)量單位為百噸）解：根據(jù)題意，總成本函數(shù)，于是，平均成本函數(shù)為對平均成本函數(shù)求導(dǎo)得令，有，得到唯一駐點，容易驗證為極小值點。所以年產(chǎn)量為4百噸時平均成本最低。例4、 某商品的需求函數(shù)為，問銷售量為多少時才能使總收入最多？解：目標(biāo)函數(shù)