數(shù)學基礎知識及其在西方經濟學中的應用

1、數(shù)學基礎知識及其在西方經濟學中的應用西方經濟學是一門綜合性較高的課程，有一定的難度，需要一定的數(shù)學知識基礎。這里我們給大家整理了一些必需的數(shù)學基礎知識，幫助大家學好西方經濟學這門課程。一、經濟模型中運用的圖形經濟模型是對經濟或企業(yè)與家庭這類經濟組成部分進行的簡化的描述。它包括可以用方程式或圖形中曲線表示的經濟行為的表述。經濟學家利用模型來揭示不同政策或其他因素對經濟的影響，在方法上與采用模型飛機測定風洞和氣候模式有類似之處。在經濟模型中你將遇到許多不同的圖形，一旦你學會認識這些類型，你就會很快了解圖形的含義。在圖形中看到的類型有如下四種情況：1、同方向變動的變量同方向變動的兩種變量之間的關系稱

2、為正相關或者同方向相關。圖1-1表示正相關圖形的三種情況。圖a表示一種兩個變量同時增加的正相關，圖形沿著越來越陡峭的曲線移動；圖b表示一種正相關線性關系，圖形是一條直線；圖c表示一種兩個變量同時增加的正相關，圖形沿著越來越平坦的曲線移動。圖1-2中的所有線無論它是直線還是曲線都稱為曲線。 圖1-2：正相關圖形的三種情況2、反方向變動的變量反方向變動的兩種變量之間的關系稱為反相關或者反方向相關。圖1-3表示反相關圖形的三種情況。圖a表示一種一個變量增加、另一個變量減少的負相關，圖形沿著越來越陡峭的曲線移動；圖b表示一種負相關線性關系，圖形是一條直線；圖c表示一種圖形沿著越來越平坦的曲線移動的負相

3、關。 圖1-3：負相關圖形的三種情況3、有最大值或最小值的變量 (a) (b)圖1-4：有最大值與最小值的圖形圖（a）表示有一個最大值點A的曲線，點A的左邊產量遞增，右邊產量遞減，在點A處達到產量最大；圖（b）表示有一個最小值點B的曲線，點B的左邊成本遞減，右邊成本遞增，在點B處成本最小。4、無關的變量 (a) (b)圖1-5：無關變量的圖形有許多情況是無論一個變量發(fā)生什么變動，另一個變量都不變。上圖（a）表示無論x如何變動，y的數(shù)值不變；圖（b）表示無論y如何變動，x的數(shù)值不變。5、一種關系的斜率 我們可以用關系的斜率來衡量一個變量對另一個變量的影響。一種關系的斜率是用y軸衡量的變量的值的變

4、動量除以用x軸衡量的變量的值的變動量。我們用希臘字母代表“變動量”，x指x軸衡量的變量的值的變動量，這樣關系的斜率是：y/x.。(a)正斜率 (b)負斜率圖1-6：一條直線的斜率 無論你計算直線上哪個地方，一條直線的斜率是相同的。但是一條曲線的斜率是多變的，取決于我們計算線上的哪個位置。有兩種方法可以計算一條曲線的斜率：在曲線某一點上的斜率稱為點斜率，而某一段弧的斜率稱為弧斜率。如圖1-7所示： (a)點斜率 (b)弧斜率圖1-7：一條曲線的斜率二、導數(shù)的定義與幾何意義1、導數(shù)的定義定義：設函數(shù)在點及其鄰域內有意義，如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記作 （1.

5、1）導數(shù)還采用下列符號：，或 ，或 因此曲線在點的切線的斜率可以表示為。例1、求拋物線在點處的切線的斜率。解：，由式（1）得因此拋物線在點處的切線的斜率為2。我們把計算導數(shù)的運算稱為求導運算，或者微分運算。需要指出的是，導數(shù)記號不能簡單的視為除法運算，目前我們要把它看作一個整體記號。又記作： 或 或 顯然，函數(shù)在點的導數(shù)正是該函數(shù)的導函數(shù)在點的值，即 （1.2）在求導數(shù)時，若沒指明求哪一點的導數(shù)，都是指求導函數(shù)。例2、設，求，解：這里，由導數(shù)的定義式（1）得：所以 ， 同理可得，并推廣為對任意實數(shù)，成立例如： 例3、設，求。解：先求，有則對導數(shù)的定義，我們應注意以下三點：(1)x是自變量x在

6、處的增量(或改變量)；(2)導數(shù)定義中還包含了可導或可微的概念，如果x0時，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點處可導或可微，才能得到f(x)在點處的導數(shù)。(3)如果函數(shù)y=f(x)在點處可導，那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)。反之不一定成立。例如函數(shù)y=|x|在點x=0處連續(xù)，但不可導。2、導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率。由此，可以利用導數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為 （1.3）特別地，如果

7、曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。例4、求過曲線上的點處的切線方程。解：把代入得，得曲線在處的切線方程為：由于，所以，則切線方程為：如果函數(shù)在處可導，那么曲線在此點處光滑連接（不間斷或沒有尖角），且曲線在點處有不垂直于軸的切線。3、導數(shù)的運算（1）和、差的導數(shù)前面我們學習了常見函數(shù)的導數(shù)公式，那么對于函數(shù)的導數(shù)，又如何求呢？我們不妨先利用導數(shù)的定義來求。 我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導數(shù)等于這兩函數(shù)的導數(shù)的和。同時可以推導出：兩函數(shù)差的導數(shù)等于這兩函數(shù)的導數(shù)的差。這就是兩個函數(shù)的和（或差）的求導法則。（2）積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的求導法則，只要求

8、記住并能運用就可以。 （A）； （B）若c為常數(shù)，則(cu) =cu。（3）商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的求導法則，只要求記住并能運用就可以。設因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是x0時，v(x+x)v(x)，從而即。說明：（1）；（2）學習了函數(shù)的和、差、積、商的求導法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導法則與導數(shù)公式求導，而不需要回到導數(shù)的定義去求。例5、求下列函數(shù)的導數(shù) 解：三、導數(shù)在經濟分析中的應用本節(jié)介紹導數(shù)在經濟分析中的應用，以展示導數(shù)應用的各個視角，供學習者在其它領域中應用導數(shù)解決實際問題提供借鑒。1、邊際分析在生產和經營活

9、動過程中，產品成本、銷售收入以及產銷利潤都是產量的函數(shù)，分別記為，和。如果生產者按定單組織生產，那么銷售量與產量相同，就有顯然有：經濟函數(shù)的導數(shù)稱為它們各自的邊際函數(shù)，（1）邊際成本：成本函數(shù)對產量的變化率稱為邊際成本，記成；（2）邊際收入：收入函數(shù)對產量的變化率稱為邊際收入，記成；（3）邊際利潤：利潤函數(shù)對產量的變化率稱為邊際利潤，記成；以邊際成本為例，說明邊際函數(shù)的經濟意義。由于 考慮到經濟物品在多數(shù)情況下是不可分割的，即當時，成立因而邊際成本表示在的水平上再多生產一個單位產品所需增添的成本；同理，邊際收入表示在的水平上再多生產一個單位產品所增加的收入；邊際利潤表示在的水平上再多生產一個單

10、位產品所增加的利潤。若邊際成本較大，則產量在水平上增產所需要增添的成本也較大，表明增產潛力較小；若邊際成本較小，則產量在水平上增產所需要增添的成本也較小，表明增產潛力較大。例1、某產品總成本為產量的函數(shù)，求生產100個產品的平均成本及邊際成本。解：平均成本函數(shù)，于是生產100個產品的平均單位成本為。邊際成本函數(shù)，于是生產100個產品時的邊際成本為。這說明：生產前100個產品時，均攤在每個產品上的成本為10元，在此基礎上生產第101個產品，所需要增添的成本大約為2元。例2、某商品平均成本函數(shù)為（元/公斤），每公斤售價元，需求函數(shù)為，求邊際成本，邊際收入，邊際利潤。解：成本函數(shù)為于是邊際成本從需求

11、函數(shù)解出：，則收入函數(shù)于是邊際收入 邊際利潤為本題中的邊際成本恒等于2表示成本的變化率是常數(shù)，它說明，每增加生產單位產品成本將增加為2，而每增加生產單位產品的邊際利潤卻在變化。例如：， ，而，這意味著，盲目擴大生產規(guī)模，不一定增加經濟效益。2、彈性分析在實際應用中，常把函數(shù)的導數(shù)乘上稱為函數(shù)對自變量的彈性，記為，即因此 從而 （1.4）由于表示當自變量從增加到時，增加的百分數(shù)；表示因變量相應增加的百分數(shù)。所以從（1.4）式知道，函數(shù)彈性的實際意義就是當自變量在的水平上增加一個百分點時，因變量大約增加的百分點。彈性在經濟分析中有重要的實際意義，第2章有更加具體的內容進行分析。四、經濟中的最值分析

12、如何能夠做到平均成本最小，利潤最大是企業(yè)追求的兩個主要目標，以下我們將討論這一問題。求函數(shù)的最值問題需要用到以下關于極值和最值關系的定理。 定理1：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內可導，并且在內有唯一駐點，如果是函數(shù)的極?。ù螅┲迭c，則必是的最小（大）值點。經濟函數(shù)最值的求解步驟如下：1、根據(jù)實際問題的具體情況，建立目標函數(shù)關系式；2、求目標函數(shù)的駐點；3、如果只有唯一的駐點，并且是極?。ù螅┲迭c，那么該點就是所求的最?。ù螅┲迭c。例3、已知固定成本為4萬元，變動成本為（萬元），問年產量為多少時才能使平均成本最低？（產量單位為百噸）解：根據(jù)題意，總成本函數(shù)，于是，平均成本函數(shù)為對平均成本函數(shù)求導得令，有，得到唯一駐點，容易驗證為極小值點。所以年產量為4百噸時平均成本最低。例4、 某商品的需求函數(shù)為，問銷售量為多少時才能使總收入最多？解：目標函數(shù)