微分中值定理的推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論文）微分中值定理的推廣及應(yīng)用The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application學(xué) 院 （系）： 數(shù)理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 101108072 指 導(dǎo) 教 師（職稱）： 評(píng) 閱 教 師： 完 成 日 期： 2012.04 南陽(yáng)理工學(xué)院 Nanyang Institute of Technology微分中值定理的推廣及應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 摘 要 本文在闡述了微分中值定理的一般證法的基礎(chǔ)上,給出了新的證明方法,討論了三大微分中值定理之間的遞進(jìn)關(guān)系等

2、,并對(duì)中值定理進(jìn)行了一定地推廣,同時(shí)具體的分析了微分中值定理在證明等式、不等式以及討論方程根的存在性等幾個(gè)方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 微分中值定理；新證法；推廣；費(fèi)馬定理The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationMathematical Institute Abstract: In this paper, the differential mean value theorem of the general license based on the method, gives a new proof

3、method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence of root and so on several aspec

4、ts of the application.Key words: Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermat's theorem目 錄0 緒論11 微分中值定理及相關(guān)的概念12 微分中值定理普遍的證明方法22.1 費(fèi)馬定理22.2 羅爾中值定理22.3 拉格朗日中值定理32.4 柯西中值定理43 中值定理的推廣43.1 關(guān)于三個(gè)中值定理新的證明方法4 3.2 微分中值定理的推廣6 3.3 微分中值定理的弱逆定理 104 微分中值定理的應(yīng)用114.1 利用微分中值定理證明等式114.2 利用微分中值定理證明

5、不等式144.3 討論方程根的存在性 15結(jié)束語(yǔ)18參考文獻(xiàn)18致謝180緒論微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的總稱.它的出現(xiàn)是一個(gè)過(guò)程，聚集了眾多數(shù)學(xué)家的研究成果.從費(fèi)馬到柯西不斷發(fā)展，理論知識(shí)也不斷完善，成為了人們引進(jìn)微分學(xué)以后，數(shù)學(xué)研究中的重要工具之一，而且應(yīng)用也越來(lái)越廣泛.微分中值定理在函數(shù)在某一點(diǎn)的局部性質(zhì)；函數(shù)圖象的走向；曲線凹凸性的判斷；積分中值定理；級(jí)數(shù)理論；等式及不等式證明等問(wèn)題的研究中也發(fā)揮著很重要的作用.因此，微分中值定理構(gòu)成了整個(gè)微分學(xué)基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容.1 微分中值定理及相關(guān)概念所謂微分中值定理,其實(shí)是指一個(gè)(或多

6、個(gè))函數(shù)導(dǎo)數(shù)與其增量之間的等式關(guān)系.通俗的講,微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在內(nèi)的定理的總稱.以下是證明微分中值定理時(shí)用到的幾個(gè)概念.定義1 (最小值或最大值) 設(shè)在上有定義,若存在使任意,(),則稱為的最小值(最大值).為最小值點(diǎn)(最大值點(diǎn)).定義2 (極小值或極大值) 設(shè)在任意上有定義,若存在任意,都有 (),則稱為的一個(gè)極小值(極大值),稱為極小值點(diǎn)(極大值點(diǎn)).定義3 (極限的局部保號(hào)性) 若,則存在任意使得.定義4 (函數(shù)單調(diào)性) 函數(shù)在定義域內(nèi),當(dāng)時(shí),有則稱單調(diào)遞增(嚴(yán)格單調(diào)遞增).當(dāng)時(shí),有,則稱單調(diào)遞減(嚴(yán)格單調(diào)遞減).定義5(凸性)

7、若函數(shù)曲線位于其每一點(diǎn)處切線的上方(下方),則稱函數(shù)曲線時(shí)下凸(上凸)的,或稱函數(shù)向下凸(上凸).定義6(凹性) 若的一階導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增(或遞減),則稱在是向上凹(下凹)的,或稱函數(shù)曲線向上凹(下凹).2 微分中值定理普遍的證明方法2.1 費(fèi)馬定理定理1 設(shè)在區(qū)間有定義.若是函數(shù)的極值點(diǎn),且在處可導(dǎo),則.費(fèi)馬定理的幾何意義:若將函數(shù)的曲線置于平面直角坐標(biāo)系,則費(fèi)馬定理具有幾何意義:對(duì)曲線上,若有一點(diǎn)存在切線,且為極值點(diǎn).則這一點(diǎn)處的切線平行于軸.證明 為的極值點(diǎn).設(shè)為極小值點(diǎn),則存在任意,有,若,則 ;若,則 ;取極限與分別為、,由于在處可導(dǎo),則=由極限的局部保號(hào)性有, .故 =.所以有 ,

8、 即.2.2 羅爾中值定理 定理2 設(shè)滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù); (2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo); (3) ,則至少存在一點(diǎn)使得.羅爾定理的幾何意義:若滿足羅爾定理的條件,則在曲線上至少存在一點(diǎn),使得點(diǎn)處的切線平行于軸(如圖), 其中,.證明 由于在閉區(qū)間上連續(xù),從而存在最大值,最小值.若則對(duì)任意有,即為常函數(shù),所以.若,由于.與不同時(shí)為區(qū)間的端點(diǎn),不妨設(shè),所以必為的極大值.設(shè),則有,且在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)費(fèi)馬定理可知 .證畢.2.3 拉格朗日中值定理 定理3 若函數(shù)滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);則至少存在一點(diǎn)使得.證法 利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù).證明 作輔助函數(shù),顯然,在

9、上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理可知,存在一點(diǎn) 使得 即.推論 設(shè)、都在區(qū)間上可導(dǎo),且,則2.4 柯西中值定理 定理4 設(shè)函數(shù)、滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且，則至少存在一點(diǎn)使得.證明 由定理?xiàng)l件可知,則任意都有,因此,只需證 ,為此,構(gòu)造函數(shù),顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,根據(jù)羅爾定理,存在,使得,即, 所以.3 中值定理的推廣微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中甚至是整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都占有非常重要的地位,其證明方法也有多種.3.1 關(guān)于三個(gè)中值定理新的證明方法3.1.1 羅爾定理的新證法引理1非單調(diào)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在一點(diǎn),使得.證明 因?yàn)樵谏线B續(xù),且非單調(diào),故存在為

10、函數(shù)的極值點(diǎn).又在內(nèi)可導(dǎo),故在點(diǎn)可導(dǎo),由費(fèi)馬定理可知.羅爾定理的新證法 證明 因?yàn)?且. （1） 若為常數(shù),則必有，所以,存在,使得;（2） 若不是常數(shù),則非單調(diào),又有在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)引理1,存在,使得 .證畢.3.1.2 拉格朗日中值定理的新證法證明（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) 成立.亦即 (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進(jìn)而(1)成立.從而拉格朗日中值定理成立.3.1.3 柯西中值定理的新證法 證明 首先構(gòu)造輔助函數(shù),由于,故可知恒大于零或者恒小于零.否則,由費(fèi)馬定理可知,必存在 使得.我們不妨設(shè)恒大于零.于是,

11、對(duì)于任意,其中,.又由復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理即含參變量函數(shù)定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù);在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且故即是要證明,因此可構(gòu)造輔助函數(shù):,可以驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件,故至少存在一個(gè),使得成立.再由知,至少存在使得成立,柯西中值定理得證.3.2 微分中值定理的推廣 微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,衍生了許多微分中值定理的推廣.以下是幾種微分中值定理的推廣形式.3.2.1 羅爾定理的推廣 定理5 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且,其中,則存在使得.證明 由于在內(nèi)可導(dǎo),則必有在上連續(xù),又有. (1)當(dāng)時(shí),對(duì)在兩點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)延拓,使得,則有在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且有,所以,滿足羅爾定理的條件,存在使得.

12、(2)當(dāng)時(shí),由于,故存在,使得,所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),滿足羅爾定理,即存在使得.綜上所述,存在使得.3.2.2拉格朗日中值定理的推廣 定理6(推廣一) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得.證明 作輔助函數(shù),很明顯在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則根據(jù)羅爾定理有,存在使得,命題得證.定理7(推廣二) 若在有限開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且與存在,則至少存在一點(diǎn)使得.證明 （1）當(dāng)時(shí),由定理5可知,結(jié)論成立.（2）當(dāng)時(shí),作輔助函數(shù),由在內(nèi)可導(dǎo)知,在內(nèi)也可導(dǎo),又因?yàn)?,根據(jù)定理5可知,至少存在一點(diǎn)使得.進(jìn)而有,即.綜上所述,存在一點(diǎn)使得.3.2.3柯西定理的推廣 定理8(推廣一) 在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),任意,有.則存在使得.證

13、明 作一個(gè)輔助函數(shù),則在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,所以在上滿足羅爾定理,即存在使得.因?yàn)?所以,即得.定理9(推廣二) 若在有限或無(wú)窮區(qū)間中的任意一點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù)和,任意,都存在,則至少存在一點(diǎn)使得 .證明 首先證明.假設(shè)即,根據(jù)定理5可知,至少存在一點(diǎn)使得.與已知條件相互矛盾.其次,作輔助函數(shù)由已知得在可導(dǎo)且,所以,.根據(jù)定理5可知,至少存在一點(diǎn)使得即.3.2.4 微分中值定理的推廣定理10 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 .證明 根據(jù)題意,設(shè)顯然在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),并且 即,所以由羅爾中值定理可知在至少存在一點(diǎn)使得 證畢.當(dāng)上述式子中時(shí),可得到柯西中值定理;當(dāng)上述式子中

14、時(shí),可得到拉格朗日中值定理.3.3 微分中值定理的弱逆定理在一定的附加條件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理11 (拉格朗日中值定理的弱逆定理) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),若在嚴(yán)格單調(diào),則對(duì)任意的,存在使得成立.證明 因?yàn)樵谏蠂?yán)格單調(diào),不妨設(shè)其嚴(yán)格單調(diào)遞增, 由定義6可知,函數(shù)在上是向下凸的,再由定義5,任意的,有,所以,切線在曲線下方,所以存在的鄰域使得直線的平行線與有兩個(gè)交點(diǎn),假設(shè)交點(diǎn)為 .即有,得到,結(jié)論得證.定理12（柯西中值定理的弱逆定理）設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且嚴(yán)格單調(diào),則對(duì)于任意的存在,使得成立.證明 對(duì)任意的,作輔助函數(shù),顯然, 在上連續(xù),在內(nèi)可微,并且由嚴(yán)格單調(diào),可知也嚴(yán)格單調(diào).

15、由定理11知,對(duì)任意的,存在使得成立.而,所以有, ,整理得.證畢.4 微分中值定理的應(yīng)用微分學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)分析的重要組成部分,而微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,其建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,是用于證明等式,證明不等式,討論方程根的存在性等問(wèn)題的重要工具.4.1 利用微分中值定理證明等式例1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).證明存在使得,.證明 利用柯西中值定理 令,顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,所以,存在使得 ,所以.證畢.例2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明對(duì)任意常數(shù),存在,有.證明 利用羅爾定理,構(gòu)造函數(shù),由于在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且，所以,且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，所以,存在使得,即.例3

16、設(shè)滿足:(1) 在上連續(xù);(2) 在內(nèi)可導(dǎo),證明存在,使得.證明 證法同例2,令即可證得.小結(jié) 如例3,例7中用羅爾定理證明,需要構(gòu)造出原函數(shù),此類函數(shù)有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要證明的結(jié)論.例4 設(shè),在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), .則有使得.證明 由于,且在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)，所以,必存在使得,根據(jù)羅爾定理,存在使得 .例5 證明恒等式:. 證明 令,則,所以,在為常函數(shù).又有，所以,即成立.例6 設(shè)且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).則存在使得.證明 變換待證等式為 其中,顯然,利用羅爾定理即可得.例7 設(shè),在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使得.證明 變換待證等式為,其中.由于,所以,其中,于是,在上滿足羅爾定理,

17、從而有結(jié)論.若待證等式明顯可表示為的形式,則很可能就是,因而,可以利用柯西定理證明.例8 設(shè),在連續(xù)可導(dǎo),則存在使得.證明 令則,且,在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)柯西定理,存在使得,即.4.2 利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式時(shí),常將待證不等式變形為 的形式,且滿足拉格朗日或柯西定理的條件,再證明對(duì)一切的有,最后利用中值定理證明.例9 證明對(duì)任何正數(shù)、有 .證明 令,.則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理,存在使得 ,由于,所以,即有 .例10 設(shè)為非線性函數(shù),且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得 .證明 變換待證不等式為 ,其中,若結(jié)論不成立,則,因而單調(diào)遞

18、減.但是,故,必有,從而與已知矛盾,所以結(jié)論成立.即成立.例11 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使得 .證明 若不存在,則,從而單調(diào)遞增，又由于滿足羅爾定理,則存在使得,又有,所以,非單調(diào)遞增.上下矛盾.因而,存在使得 .例12 設(shè),對(duì)任意.證明.證明 當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí),取或,在該區(qū)間上,設(shè),根據(jù)柯西定理,有,或,即;當(dāng)時(shí),，即;又有,所以.當(dāng)時(shí), ,所以,.由此,不等式得證.4.3 討論方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,這樣就可以利用中值定理討論方程的根的存在性.例13 設(shè)為任意個(gè)實(shí)數(shù),證明函數(shù)在必有零點(diǎn).證明 作輔助函數(shù),則,容易驗(yàn)證在上連續(xù),在可導(dǎo),且 ,所以存在使得,

19、即.所以,在必存在零點(diǎn). 例14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),則的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在的零點(diǎn). 證明 (采用羅爾定理)任取的兩個(gè)零點(diǎn).不妨設(shè).作輔助函數(shù),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在的零點(diǎn).例15 證明:若,則多項(xiàng)式在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明 令則,又有在連續(xù)可導(dǎo),且,滿足羅爾定理的條件,故存在使得即,結(jié)論得證.例16 若函數(shù)在上非負(fù),且三階可導(dǎo),方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根.證明存在使得.證明 因?yàn)榉匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)其分別為所以,又由于非負(fù)，根據(jù)極值定義可以知道為的兩個(gè)極值點(diǎn),所以有又因?yàn)闈M足羅爾定理，所以存在使得 ,又三階可導(dǎo)，所以滿足羅爾定理,即存在,使得 ,同樣滿足羅爾定理,則存在使得.證畢.例17 設(shè),則方程在內(nèi)有解.證明 將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中值問(wèn)題:存在使得,即,根據(jù)柯西中值定理直接得證,即方程在內(nèi)有解.例18 若函數(shù)在可導(dǎo),對(duì)與之間的任意數(shù),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證明 不妨設(shè).則.作輔助函數(shù) ,有.顯然, 與,即與 .由極限保號(hào)性,存在,使得,從而,.存在,使得 ,從而, .于是,在內(nèi)至少存在一個(gè)極小值點(diǎn).根據(jù)費(fèi)馬定理,有,即.結(jié)束語(yǔ)由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明方法加以證