第3講 數(shù)學(xué)教育的基本理論——波利亞

1、2022年年2月月15日星期二日星期二第三講 數(shù)學(xué)教育的基本理論波利亞青島大學(xué)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系 楊慧娟 數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題：有兩個(gè)沒(méi)有刻度的桶，大桶的容量是9升，小桶的容量是4升，怎樣利用這兩個(gè)桶從河中恰好打上6升的水呢？9 9升升4 4升升 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，大多解題者都有過(guò)這樣的經(jīng)歷： 衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。 山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村。 眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。波利亞的生平 波利亞（George Polya，1887-1985） 美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá) 佩斯，卒于美國(guó)。青年時(shí)期曾 在布達(dá)佩斯、維也納、巴黎等 地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲 博士學(xué)位。191

2、4年在瑞士蘇黎 世工業(yè)大學(xué)任教，1938年任數(shù) 理學(xué)院院長(zhǎng)。1940年移居美國(guó)， 歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。 1963年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)功勛獎(jiǎng)。他是法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)園和匈牙利科學(xué)院的院士。 曾著有怎樣解題、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)與猜想等，它們被譯成多種文字，廣為流傳 。 找出一個(gè)既有趣又好下手的新問(wèn)題并不那么容易，這需要經(jīng)驗(yàn)、鑒別能力和好運(yùn)氣，但是，當(dāng)我們成功的解決了一個(gè)好問(wèn)題之后，我們應(yīng)當(dāng)去尋找更多的好問(wèn)題。好問(wèn)題通某些蘑菇有些相像，他們總是成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?，很可能在附近就有好幾個(gè)。一、波利亞的數(shù)學(xué)教育觀1. 波利亞的數(shù)學(xué)教育目的： 波利亞認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本

3、目的是“教會(huì)學(xué)生思考”。“教會(huì)學(xué)生思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅是傳授知識(shí)，還應(yīng)努力發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，他強(qiáng)調(diào)技能、技巧、有益的思考方式和理想的思維習(xí)慣。現(xiàn)在新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的“三會(huì)”2. 數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則：（1）主動(dòng)學(xué)習(xí)原則（2）最佳動(dòng)機(jī)原則（3）循序漸進(jìn)原則 （1）主動(dòng)學(xué)習(xí) “學(xué)東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它”，“親自發(fā)現(xiàn)能夠在你腦海里留下一條小路；今后一旦需要，你便可以再次利用它”。因而，教師應(yīng)該“盡量讓學(xué)生在現(xiàn)有條件下親自發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西”。思想應(yīng)在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生，教師則只起助產(chǎn)士的作用。 （2）最佳動(dòng)機(jī) 為了使學(xué)習(xí)富有成效，學(xué)生應(yīng)該對(duì)學(xué)習(xí)倍感興趣，并且在學(xué)習(xí)活動(dòng)中尋求歡樂(lè)。最佳的刺

4、激應(yīng)該是對(duì)所學(xué)的知識(shí)的興趣。另外，還可以在做題之前，讓學(xué)生猜測(cè)學(xué)習(xí)的結(jié)果，因?yàn)樵诳茖W(xué)家的工作中，猜測(cè)幾乎是證明的先導(dǎo)。 學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是多元的 內(nèi)在的動(dòng)機(jī)才能產(chǎn)生持久的學(xué)習(xí)動(dòng)力，外部的動(dòng)機(jī)，只會(huì)見(jiàn)效一時(shí)，卻不能恒久維持。 動(dòng)機(jī)，有時(shí)又可以稱(chēng)之為理由 過(guò)度理由效應(yīng) （3）循序漸進(jìn) 學(xué)習(xí)過(guò)程是從行動(dòng)和感知開(kāi)始的，進(jìn)而發(fā)展到詞語(yǔ)和概念，以養(yǎng)成合理的思維習(xí)慣而結(jié)束。行動(dòng)和感知行動(dòng)和感知詞語(yǔ)和概念詞語(yǔ)和概念思維習(xí)慣思維習(xí)慣 學(xué)習(xí)的第一個(gè)階段是探索，它聯(lián)系著行動(dòng)和感知，并且是在自覺(jué)和啟發(fā)的水平上發(fā)展的。 第二個(gè)階段是闡明，包括引進(jìn)術(shù)語(yǔ)、定義、證明等，提高到概念的水平上。 第三個(gè)階段是吸收，即把所學(xué)的知識(shí)都在頭腦

5、里消化了，然后吸收到自己的知識(shí)系統(tǒng)中來(lái)，擴(kuò)大智力的范圍。 3. 波利亞的教師發(fā)展觀 波利亞建議，要成為一名好的數(shù)學(xué)教師，必須具備兩方面的知識(shí)，一是數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)。一般中學(xué)數(shù)學(xué)教師最大的缺陷在于，他沒(méi)有主動(dòng)完成數(shù)學(xué)工作的經(jīng)驗(yàn)。二是數(shù)學(xué)教學(xué)法的知識(shí)。波利亞給數(shù)學(xué)教師的“十條建議” 1、對(duì)自己的科目要有興趣 2、熟知自己的科目 3、懂得學(xué)習(xí)的途徑，學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是親自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)其中的奧秘； 4、努力觀察學(xué)生的面部表情，察覺(jué)他們的期望和困難，把自己置身于他們之中； 5、不僅要教給他們知識(shí)，并且要教給他們技能技巧、才智、思維方式及科學(xué)的工作習(xí)慣。 6、讓學(xué)生學(xué)會(huì)猜想問(wèn)題 7、讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明問(wèn)題；

6、 8、從手頭上的題目中尋找出一些可能今后用于解題的特征，揭示出存在于具體情況下的一般模式； 9、不要立即吐露你的全部秘密-，讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先動(dòng)腦去想，去猜，不要強(qiáng)迫別人去接受； 10、啟發(fā)問(wèn)題，而不要填鴨式地塞給學(xué)生。二、波利亞關(guān)于解題的研究 為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題，波利亞專(zhuān)門(mén)研究了解題的思維過(guò)程，并把研究所得寫(xiě)成怎樣解題一書(shū)。這本書(shū)的核心是他分析解題的思維過(guò)程得到的一張“怎樣解題”表，并以例題表明這張表的實(shí)際應(yīng)用。書(shū)中各部分基本上是配合這張表的，也可以說(shuō)是對(duì)該表的進(jìn)一步闡述和注釋。在這張包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)際計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解

7、題全過(guò)程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)和未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃 波利亞認(rèn)為，“對(duì)你自己提出問(wèn)題是解決問(wèn)題的開(kāi)始”，“當(dāng)你有目的的向自己提出的問(wèn)題時(shí)，它就變作你的問(wèn)題”。而“假使你能適應(yīng)地應(yīng)用這些問(wèn)句和提示來(lái)問(wèn)你自己，它們可以幫助你解決你的問(wèn)題”。他還把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn)，摸得著。 波利亞提供的“怎樣解題”表 第一步必須了解問(wèn)題了解問(wèn)題未知數(shù)是什

8、么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？可能滿(mǎn)足什么條件？畫(huà)一個(gè)圖，引入適當(dāng)記號(hào)。第二步找出已知數(shù)和未知數(shù)間的關(guān)系。假使你不能找出關(guān)系，就得考慮輔助問(wèn)題，最后應(yīng)想出一個(gè)計(jì)劃擬定計(jì)劃你以前曾見(jiàn)過(guò)它嗎？你知道什么有關(guān)的問(wèn)題嗎？注視未知數(shù)！試想出一個(gè)有相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里有一個(gè)與你有關(guān)而且以前解過(guò)的問(wèn)題，你能應(yīng)用它嗎？你可以改述這問(wèn)題嗎？回到定義。你若不能解這問(wèn)題，使先解一個(gè)有關(guān)的問(wèn)題。你用了全部條件嗎？第三步實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)行計(jì)劃實(shí)行你的解決計(jì)劃，校核每一步驟。 第四步校核所得的解答回顧你能校核結(jié)果嗎？你能校核論證嗎？你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？你能應(yīng)用這結(jié)果或方法到別的問(wèn)題上去嗎？ 波利亞

9、的“怎樣解題”表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？這可以通過(guò)一連串建議性或啟發(fā)性問(wèn)題來(lái)加以回答。“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用的上的定理？看看未知數(shù)！試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有聯(lián)系且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用他的結(jié)果嗎？你能利用他的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方式重新敘述它？” 案例： 給定正四棱臺(tái)的高為 ，上底的邊長(zhǎng)為 下底的邊長(zhǎng)為 ，求正四棱臺(tái)的體積 。 第一步 ：了解問(wèn)題。問(wèn)題1：你要

10、求解的是什么？要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個(gè)單點(diǎn)F象征性地表示出來(lái)。 habFF 問(wèn)題2：你有些什么？ 一方面是題目條件中給出的三個(gè)量，另一方面是已經(jīng)學(xué)過(guò)的棱錐、棱柱的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗(yàn)。 把已知的三個(gè)量添加到圖形中和思維圖示中，他們與F之間有一條鴻溝，象征問(wèn)題還沒(méi)有得到解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來(lái)。abbh 第二步，擬定計(jì)劃 問(wèn)題3：怎樣才能求得F 已經(jīng)有了棱錐的體積公式，棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)（定義）告訴我們，棱臺(tái)是“用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐”，即從一個(gè)大棱錐中截去一個(gè)小棱錐所生成的，如果知道了相應(yīng)的兩棱錐的體積B和A，我們就能求出棱臺(tái)的體積

11、：F=B-A 問(wèn)題4：怎樣才能求得A與B？ 棱錐的體積公式： 關(guān)鍵是什么？ 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，把求A，B轉(zhuǎn)化為求？ 問(wèn)題5：怎樣才能求得x 第三步，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 第四步，回顧 （1）正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的，然后再做特殊性檢驗(yàn)，特殊性檢驗(yàn)既反映了新知識(shí)與舊知識(shí)的相容性，又顯示出棱臺(tái)體積公式的一般性；這既溝通了三類(lèi)幾何體極限狀態(tài)間的知識(shí)聯(lián)系，又可增進(jìn)三個(gè)體積公式的記憶。 （2）回顧解題過(guò)程，可以看到，首先弄清題意，從中捕捉到有用信息，及時(shí)提取記憶中的有關(guān)信息，將信息做合乎邏輯的組合 （3）在解題方法上，這個(gè)案例是分析法的一次成功運(yùn)用，從結(jié)論出發(fā)，由后往前找成立的充分條件，如，為了求得F，

12、只需要知道A，B，為了求得A，B，只需要求得x，為了得到x，建立一個(gè)方程即可，這樣就形成了一個(gè)未知與已知之間的網(wǎng)絡(luò)，書(shū)寫(xiě)時(shí)只不過(guò)是遵循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖做一敘述，這個(gè)過(guò)程顯示了分析與綜合的關(guān)系。分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行，分析是制定一個(gè)計(jì)劃，綜合是執(zhí)行這個(gè)計(jì)劃。 （4）在思維策略上，這個(gè)案例是“三層次解決”的一次成功運(yùn)用。首先是一般性解決（策略水平上的解決）把F轉(zhuǎn)化為A、B，明確了解題的方向；其次是功能性解決，（方法水平的解決）發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等解題功能，最后是特殊性解決，具體演算體積公式等，是對(duì)推理步驟和運(yùn)算細(xì)節(jié)作實(shí)際完成。 （5）在心理機(jī)制上，這個(gè)案例呈現(xiàn)出

13、“激活擴(kuò)散”的基本過(guò)程。激活記憶網(wǎng)絡(luò)中的棱臺(tái)的體積結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后想外擴(kuò)散，依次激活截面公式，相似三角形、解方程知識(shí)等，直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通。這種“激活擴(kuò)散”的觀點(diǎn)，正是數(shù)學(xué)思維中心理過(guò)程的一種解釋。 （6）在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”的一次成功運(yùn)用，它再一次向我們展示了“能割善補(bǔ)”是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)訣竅，二平面化思維是聯(lián)系立體幾何與平面幾何的重要橋梁這些方法可以用于解其他的立體幾何問(wèn)題，并且作為一般化的思想（降維）還可以用于其他學(xué)科。 （7）能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？在信念上，我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地作出肯定回答，操作上未實(shí)現(xiàn)只是能力問(wèn)題或暫時(shí)現(xiàn)象。 “怎樣

14、解題表”就“怎樣解題”“教師應(yīng)該教學(xué)生做什么”等問(wèn)題，把“解題中典型有用的智力活動(dòng)”，按照正常人解決問(wèn)題時(shí)思維的自然過(guò)程分成四個(gè)階段弄清問(wèn)題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，從而描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng)。既體現(xiàn)常識(shí)性，又體現(xiàn)由常識(shí)上升為理論（普遍性）的自覺(jué)努力。 這四個(gè)階段中“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”雖為主體工作，但較為容易，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”；其次，“弄清問(wèn)題”是認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程，應(yīng)成為成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提；與前兩者相比，“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞對(duì)其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是一個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做法，在整個(gè)解題表中“擬訂計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。 “擬訂計(jì)劃”的過(guò)程是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，波利亞的建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識(shí)別等）；