一種是連續(xù)變化的情況

1、一種是連續(xù)變化的情況一種是連續(xù)變化的情況溫度計4080120160 x分y分20406080 例如郵寄信件時的郵費隨郵件質(zhì)量的增加例如郵寄信件時的郵費隨郵件質(zhì)量的增加而作階梯式的增加等，這些例子啟發(fā)我們?nèi)パ卸麟A梯式的增加等，這些例子啟發(fā)我們?nèi)パ芯亢瘮?shù)連續(xù)與不連續(xù)的問題。究函數(shù)連續(xù)與不連續(xù)的問題。另一種是間斷的或跳躍的另一種是間斷的或跳躍的ox0 xy如圖：從直觀上看，我們說一個函數(shù)在一點如圖：從直觀上看，我們說一個函數(shù)在一點x=x0處處連續(xù)是指這個函數(shù)的圖象在連續(xù)是指這個函數(shù)的圖象在x=x0處沒有中斷，所以處沒有中斷，所以以上圖象就是連續(xù)函數(shù)的圖象。也就是說，這個函以上圖象就是連續(xù)函數(shù)的圖象

2、。也就是說，這個函數(shù)在點數(shù)在點x0處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。2.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性(1)一、函數(shù)在某一點處的連續(xù)性一、函數(shù)在某一點處的連續(xù)性)(. 1xfy)()(lim) 3 ()()(lim)(lim) 2 (.) 1 (000000 xfxfxfxfxfxxxxxxx處有定義在2、11)(2xxxfoxy12.1處沒有定義在 x) 1( 1xx3、221)(xxxf11xx（1）在x=1處有定義5 . 2)(lim1xfx2)(lim1xfx（3）函數(shù)f（x）的極限不存在。（2）12oxy2.5yxo124、 5 . 01)(xxf11xx（1）在x=1處有定義；（2）函數(shù)在x=

3、1處的左右極限相等，即函數(shù)在x=1處的極限存在，且等于2，但不等于f（1）)1 (5 .02)(lim1fxfx導致函數(shù)圖象斷開的原因：導致函數(shù)圖象斷開的原因：1、函數(shù)在函數(shù)在 處沒有定義處沒有定義1x2、函數(shù)在函數(shù)在 時極限不存在時極限不存在1x函數(shù)值不等函數(shù)值不等3、函數(shù)在函數(shù)在 處的極限值和處的極限值和1xoxy1212oxy2.5yxo12一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)f（x）在點）在點x0處連續(xù)處連續(xù)必須同時具備必須同時具備三個三個條件：條件：1、 存在，即函數(shù)存在，即函數(shù)在點在點x0處有定義。處有定義。)(0 xf2、 存在。存在。)(lim0 xfxx3、 )()(lim00 xfxf

4、xx)(xfyxo12ox0y) 1 ()(lim1fxfx定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在在 處及其處及其附近有定義附近有定義，而且，而且0 xx )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)f(x)在點在點 處連續(xù)處連續(xù)，0 x稱為稱為函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的連續(xù)點。的連續(xù)點。0 x例例1 討論下列函數(shù)在給定點處的連續(xù)性：討論下列函數(shù)在給定點處的連續(xù)性：.0,sin)()2(;0,1)()1(xxxhxxxf點點解：如圖解：如圖（1）函數(shù)）函數(shù) 在點在點x=0處處沒有定義，因而它在點沒有定義，因而它在點x=0處不連續(xù)。處不連續(xù)。xxf1)(（2）因為0sin0sin

5、lim0 xx.0sin)(處連續(xù)在點xxxh二、單側(cè)連續(xù)性：二、單側(cè)連續(xù)性：并且并且如果函數(shù)如果函數(shù) 在點在點 處及其右側(cè)處及其右側(cè)附近附近有定義有定義0 x)()(lim00 xfxfxx則稱則稱f(x)f(x)在點在點 處右連續(xù)。處右連續(xù)。0 x)(xfxyOa類似地：類似地：)()(lim00 xfxfxx0 x則稱則稱f(x)f(x)在在 處是左連續(xù)。處是左連續(xù)。如果函數(shù)如果函數(shù) 在點在點x x0 0處及其處及其左側(cè)附近左側(cè)附近有定義，并且有定義，并且)(xf221)(xxxf11xx12oxy2.5如如例如函數(shù)例如函數(shù)),0(1),0(1)(xxxfxyo-11如圖，在點如圖，在點

6、x=0附近，附近，),0 (1)(lim0fxfx),0(1)(lim0fxfx因而函數(shù)因而函數(shù) 在在x=0處是右連續(xù)，而非左連續(xù)。處是右連續(xù)，而非左連續(xù)。)(xf結(jié)論：函數(shù)在一點處連續(xù)的充要結(jié)論：函數(shù)在一點處連續(xù)的充要條件是即左連續(xù)又右連續(xù)條件是即左連續(xù)又右連續(xù))(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxxox0 xy)()(lim00 xfxfxx三、函數(shù)的連續(xù)性：三、函數(shù)的連續(xù)性：1 1、開區(qū)間內(nèi)連續(xù)：如果、開區(qū)間內(nèi)連續(xù)：如果 在某一開在某一開區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi)每一點處都連續(xù)，就說函每一點處都連續(xù)，就說函數(shù)數(shù)f（x）在）在開區(qū)間（開區(qū)間（a，b）內(nèi)）內(nèi)連續(xù)，或連續(xù)，或說說f（x）是開

7、區(qū)間）是開區(qū)間（a，b）內(nèi)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。 )(xf),(ba2 2、閉區(qū)間上連續(xù)：如果函數(shù)、閉區(qū)間上連續(xù)：如果函數(shù) 在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，在左左端點端點 處處右右連續(xù)，在連續(xù)，在右右端點端點 處處左左連續(xù)，就連續(xù)，就說函數(shù)說函數(shù) 在在閉區(qū)間閉區(qū)間 上上連連續(xù)。續(xù)。)(xf),(baaxbx)(xf,ba例如，函數(shù)例如，函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間-1，1上上連續(xù)，而函數(shù)連續(xù)，而函數(shù) 在開區(qū)間（在開區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，在閉間內(nèi)連續(xù)，在閉間0，1上不連續(xù)，因為上不連續(xù)，因為它在左端點它在左端點x=0處不是右連續(xù)。處不是右連續(xù)。21xyxy11、連續(xù)函數(shù)的圖象有什么特點？觀察下

8、列、連續(xù)函數(shù)的圖象有什么特點？觀察下列函數(shù)的圖象，說出函數(shù)在函數(shù)的圖象，說出函數(shù)在x=a處是否連續(xù)：處是否連續(xù)：xyOaxyOaxyOaxyOaxyOaxyOa連續(xù)不連續(xù)連續(xù)不連續(xù)不連續(xù)不連續(xù)練習練習：（1）（2）（3）（4）（5）（6）axyo（7）不連續(xù)axyo（8）連續(xù)2、利用下列函數(shù)的圖象，說明函數(shù)在、利用下列函數(shù)的圖象，說明函數(shù)在給定點或開區(qū)間內(nèi)是否連續(xù)。給定點或開區(qū)間內(nèi)是否連續(xù)。;0,1)()1(2xxxf點；xxxf0|,|)()2(點);,(,)() 3(2開區(qū)間cbxaxxf).2 , 0(,24)()4(2開區(qū)間xxxf; 0,1)() 1 (2xxxf點；xxxf0|,|)()2(點xyo);,(,)() 3 (2開區(qū)間cbxaxxf).2 , 0(,24)()4(2開區(qū)間xxxf不連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)：1 1、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在在 處及其附近處及其附近有定義，有定義， 而且而且0 xx)()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)f(x)在點在點 x x0 0 處連續(xù)處連續(xù)。f(x)f(x)在點在點x x0 0處右連續(xù)。處右連續(xù)。f(x)f(x)在在 x x0 0 處左連續(xù)。處左連續(xù)。)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx2、開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)連續(xù)