球內接教學案

1、2018 屆高三數(shù)學第一輪復習教學案 18：難點突破：立體圖形的外接球與內切球問題 一、基礎知識與概念： 1球的截面：用一個平面去截球，截面是圓面；用一個平面去截球面，截面是圓大圓：截面過球心，半徑等于球半徑（截面圓中最大） ；小圓：截面不過球心 2球心和截面圓心的連線垂直于截面3球心到截面的距離 d 與球半徑 R及截面圓半徑 r 的關系： R2 d2 r24幾何體的外接球：幾何體的頂點都在球面上；幾何體的內切球：球與幾何體的各個面都相切 二、多面體的外接球（球包體）例： 1（2017年全國卷 III 第 8題）已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在直徑為 2的同一個球的球面上，則該 圓柱的

2、體積為ABCD解析】模式辨識：球包體” 中的垂底側邊棱 （母線）”類型， h 1 ， R 1，底面半徑為 r ，則由 R h得： 12212r23，V4r 2h 342（ 2010 年全國新課標卷第 面積為A10 題）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表BCD解析】“球包體”中的“垂底側邊棱”類型，a，R2a 2 7a2 ，3 12所以該球的表面積 S 4 R 47a2127a2答案3B3（ 2014 年全國大綱卷第 8 題）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為 為A4，底面邊長為 2，則該球的表面積解析】模式辨識：所以 S 4 R2 4BCD球包體

3、”中的頂點連心錐” ，h 4，r 2 2 2 ，則222hr R2h16 2 98 4 ，81 81 ，16 4 ，第 6 題）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高6 cm ，如果不計容器的厚度， 1372 3 cm答案： A4（2013 年全國卷 I 再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為A 5003B 8663AcmBcm33【解析】設水面與球的接觸點（切點）為P ，C球心為3O，則8 cm ， 則球的體積為 D 20483Dcm3PO 垂直于正方體的上表面，依題意將一個球放在容器口，P 到正方體上表面的距離為 h 2 ，球與正方體上表面相交圓的半徑r 4 ，有：R2

4、2 2 2r 2 R2 ，由兩垂線的交點確定圓心例 2 ：1已知邊長為 2 3 的棱形 ABCD 中，60 ，現(xiàn)沿對角線BD 折起，使得二面角 A BD C 為 120 ，此時5003R r2 4 5 ，所以球的體積 V 4 R343三、定心大法：球心在過截面圓的圓心且垂直于截面圓所在平面的直線上兩圓定心法：如下圖，過兩個截面圓的圓心分別作相應截面圓的垂線，點 A， B ，C， D 在同一個球面上，則該球的表面積為（）A 20B 24C 28D 322在矩形 ABCD中， AB 4， BC 3，沿 AC 將矩形折成一個直二面角 B AC D ，則四面體 ABCD的外接球 的體積為 3在邊長為

5、1的菱形 ABCD 中， BAD 60 ，沿對角線將菱形折成直二面角 A BD C ，則三棱錐 A BCD 的外 接球的表面積為 四、正多面體的內切球（體中球）錐體的內切球：R 圓錐的內切球：R邊長為 a 的正方體：Ra2等邊圓柱（母線 a ）： R a 2邊長 a 的正八面體： R五、正多面體的“切邊球”（與所有的棱都相切的球）正四面體邊長為 a ，球半徑 R正方體邊長為 a ，球半徑 R 正四面體邊長為 a ，球半徑 R例 3： 1一個球的外切正方體的全面積為6 ，則球的體積為 V 的球，若 AB BC，AB 6，BC 8，AA1 3 ，則V 的最大值是 ABCD解析】考查直三棱柱中截面的

6、內切圓為球的大圓的情景，有8 10 R 6 8 R 2 AA12，故當球半徑34為 3 時球的體積最大為 V 423 練習：1（ 2015年全國卷 II 第 9題） 表面積為ABR3已知，27 答案82是球的球面上兩點，CB為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為D36，則球的2（ 2016 年福建漳州市 5 月質檢）三棱錐 SABC 中，SB 平面 ABC， SB 5 ， ABC是邊長為3 的正三角形，則三棱錐 S ABC 的外接球的表面積為（A 3B 53（ 2014 年湖南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球 的半徑等于（ ）A1）C

7、9D12B2C 3D42某圓錐的截面為邊長為 2 的正三角形，則該圓錐的內切球的表面積為 3（2016 年全國卷 III 第 10 題）在封閉的直三棱柱內有一個體積為4（ 2013 年遼寧卷理 10）已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6個頂點都在球 O的球面上，若 AB 3，AC 4，AB AC，AA1 12 ，則球 O 的半徑為（ ）A 3 172B 2 10C132D 3 105（2012 年全國新課標卷第11 題）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為ABCD6在正三棱錐 P ABC中， PA PB PC 3 ，側棱 PA與底面 ABC所

8、成的角為 60 ，則該三棱錐外接球的體 積為（ ）AB3C 4D437已知底面邊長為1，側棱長為 2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）32B4C 24AD338（ 2017 年福建省質檢） 空間四邊形 ABCD的四個頂點都在同一球面上，E、F 分別是 AB、CD 的中點，且EF AB,EF CD ，若 AB 8,CD EF 4 ，則該球的半徑等于A65 2B 65 2216D 659若三棱錐 P ABC 的最長的棱 PA 2 ，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是 10 （ 2008 年高考浙江卷理 14）已知球 O的面上四點 A 、 B 、 C、 D ， DA

9、 平面 ABC， AB BC， DA AB BC 3 ，則球 O 的體積為 11（ 2016 年東北三省三校聯(lián)考）三棱柱ABC A1B1C1 各頂點都在一個球面上，側棱與底面垂直，ACB 120 ，CA CB 2 3， AA1 4 ，則這個球的表面積為 12在三棱柱 ABC A1B1C1 中，側棱 AA1 垂直底面，ACB 90 ，BAC 30 ， BC 1，且三棱柱 ABC A1B1C1的體積為 3 ，則三棱柱 ABC A1B1C1的外接球表面積為 13在正三棱錐 S ABC中， M ， N分別是棱 SC、 BC的中點，且 AM MN ，若側棱 SA 2 3 ，則正三棱錐 S ABC 外接球的表面積是 14在三棱錐 A BCD中， AB CD 2， AD BC5， AC BD 7 ，則三棱錐 A BCD外