小升初圓柱圓錐精講

1、圓柱圓錐在我們的日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常遇到與圓柱和圓錐有關(guān)的物體， 而很 多問(wèn)題的解決又都與圓柱和圓錐的體積及表面積的計(jì)算有密切的關(guān)系， 認(rèn)清物體 的結(jié)構(gòu)特征及圓柱和圓錐的有關(guān)基本數(shù)量關(guān)系，是迅速、準(zhǔn)確解決問(wèn)題的關(guān)鍵。圓柱體的體積=兀+h,圓柱體的價(jià)I面積=2Hrh 圓桂體的我m? = 2Hr Cr + h）, 圓錐體的體積兀云honJ【典型例題】【例1】 如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個(gè)容器還能裝多少升水？分析與解：本題的關(guān)鍵是要找出容器上半部分的體積與下半部分的關(guān)系。設(shè)圓錐容器的底面積半徑為 r，則水面半徑為-。容器的容積為，-2V11 2二r2h

2、，容器中水的體積為31 2 1 2解： r h r h = 8324這表明容器可以裝 8份5升水，已經(jīng)裝了 1份，還能裝水5X（ 8 1） =35 （升）。【例（1）2】比較甲、容器如圖1（單位：厘米）(2)20乙兩只容器中，哪一只容器盛的水多，多的是少的幾倍? 所示；的L甲、乙兩容器相同（如圖 2），甲容器中水的高度是錐高的-，乙容器中水的高度是32圓錐高的一。3分析與解（1）要想知道甲、乙兩只容器哪一只盛的水多，我們只需依據(jù)條件分別計(jì)算一下甲、乙兩 只容器的容積各是多少，即可做出比較。= 7TX102 x 20 = 200071：（立方厘米）= XX20a X10=40007T （立方厘米

3、）通過(guò)計(jì)算可知，乙容器裝的水多，乙容器是甲容器容積的（4000 n十2000 n =） 2倍。（2 ）我們先分別將兩容器內(nèi)水的體積進(jìn)行計(jì)算。2設(shè)圓錐的底面半徑為 r，高為h，則甲容器及乙容器中的水面半徑均為r，甲容器中32 一h，分別用V甲、V乙表示兩容器32無(wú)水部分椎體咼位h，而乙容器中有水部分椎體的高為32. 1 (2 .2 2192kr h- ( r) h= r h33381(2 r)2h=r2h338119中水的體積，則有：1V甲=:V乙=1(3V甲:/(192八(82八19V乙 = ( r h)：(r h)二一81 81 8由此可知，甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中的水的【例3

4、】 將一個(gè)棱長(zhǎng)是20厘米的正方體，旋成一個(gè)圓柱體，并且使圓柱體的體積最大, 求此時(shí)旋去的那部分體積。分析與解 要想知道旋去的那部分體積，我們應(yīng)首先認(rèn)識(shí)清楚，怎樣才能使旋成的圓柱體體積最大？通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們所旋成的圓柱體的底面直徑和高均為20厘米時(shí)，圓柱的體積最大即如圖3去旋.此時(shí)，我們只需計(jì)算出正方體的體積及所得到的圓柱體的體積， 其差就是所旋去部分的體積?！?Ii |圖3J = 203 = 8000 （立方厘氷）= 7T X 102 X 20 = 2000 K （立方厘米）6280 （立方厘米） V正一 V 躺=50006280=1720 （立方厘米）即：旋去的部分的體積約為 172

5、0立方厘米?！纠?】 如圖4中所示圖形是一個(gè)底面直徑是20厘米的裝有一部分水的圓柱形容器，水中放著一個(gè)底面直徑為 12厘米，高為10厘米的圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后， 容器中的 水下降了幾厘米？分析與解 因?yàn)椴Ａ萜魇菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱,這個(gè)圓柱的底面與玻璃容器的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。 因?yàn)殂U錘的體積為：1=-X 7T X3X1O=12O7T （立方厘氷）設(shè)水面下降的高度為 x厘米，則小圓柱的體積為：2V2= n X (20 - 2) X x=100 n x (立方厘米)根據(jù)小

6、圓柱的體積等于鉛錘的體積有：120 n =100 n x解此方程得：x=1.2 (厘米)答：鉛錘取出后，容器中的水面下降了1.2厘米。團(tuán)4【例5】 橫截面直徑為20厘米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為7536平方厘米，求原來(lái)那根圓鋼的體積是多少(n =3.14 )?分析與解根據(jù)圓柱體的體積公式，體積等于底面積乘以高由于底面直徑已經(jīng)知道，故只需 依據(jù)條件求出圓鋼的長(zhǎng)度假設(shè)圓鋼長(zhǎng)為x厘米，由于將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和 等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積，所以有下面的式子：22 n X( 20* 2)X x+4 n X( 20* 2)=20 n x+400 n依據(jù)題中給出的已知條件

7、，可得方程：20 n x+400 n =7536130-20= 100 （厘米）解方程:圓鋼的體積為：2n X( 20* 2) X 100 31400 (立方厘米) 答：原來(lái)那根圓鋼的體積約為31400立方厘米?！纠?】用一塊長(zhǎng)30厘米，寬20厘米的長(zhǎng)方形鐵皮做圓柱形容器的側(cè)面，再用另一塊鐵 皮做底，怎樣做才能使這個(gè)圓柱形容器的容積最大？分析與解 我們要回答上述問(wèn)題，實(shí)際上只需考慮兩個(gè)方面，即以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)做為圓柱形容器的高，還是以長(zhǎng)方形的寬做為圓柱形容器的高？比較兩種情況下圓柱形容器的體積，即可確定方案。若以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為高， 則長(zhǎng)方形的寬即為圓柱形容器的底面周形，所以圓柱形容器的底面半徑為：2

8、0 2 H =(厘朮)X 30=3000/ K （立方厘氷）此時(shí)容器的容積為：若以長(zhǎng)方形的寬為高，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)即為圓柱形容器的底面周長(zhǎng)，此時(shí)，圓柱形容器的底面半徑為：30-2H（厘米）此時(shí)，圓柱形容器的體積為Iri 5V兀X X 20 = 4500/ n （立方厘氷）I耳通過(guò)上述計(jì)算，我們可以知道，用長(zhǎng)方形較短的一邊做為圓柱形容器的高時(shí)，圓柱形容器的容積大。【例7】將一個(gè)底面半徑為 20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個(gè)底面半徑為 30厘米、 高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為 15厘米的圓柱形鋁塊，求這個(gè)圓柱形鋁塊的 高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：1 7T X 20 x 27 =

9、 3600H （厘米孑）C3.3被熔的圓柱形鋁塊的體積：n X 302X 20=18000 n （厘米）。熔成的圓柱形鋁塊的高：（3600 n + 18000 n ） + （nX 152） =2 1 600 n - 225 n =96（厘米）。答：熔鑄成的圓柱體高 96厘米。【例8】皮球掉進(jìn)一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為 604厘米。皮球有 4的體積浸在水中。卜土與“卡勺、鼻匕爭(zhēng)一5 3問(wèn)：皮球掉進(jìn)水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是.- . （厘米T 4皮球浸在水中的部分是562.5HX-= 45071厘米弓）。水面升高的高度是 450 n+

10、900 n = 0.5 （厘米）。答：水面升高了 0.5厘米。【解題在于實(shí)踐】一有大、小兩種不帶蓋的圓柱水桶，它們的表面積的和是5433平方分米，小桶和大桶的用料面積的比是1： 2，小桶的底面周長(zhǎng)是 62.8分米，大桶的底面周長(zhǎng)是 94.2分米.求大小 兩個(gè)桶的側(cè)面積各是多少 ？解答：大、小桶側(cè)面積分別是2915.5和1497平方分米。先用按比例分配的方法，大，小桶表面積分別為1811平方分米,3622平方分米，然后各去底 面積就行了 .二把一塊長(zhǎng)30厘米，寬20厘米，高5厘米的長(zhǎng)方形鋁錠，和一底面周長(zhǎng)為 37.68 （厘 米），高30厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面圓半徑為 13厘米的圓錐體鋁

11、塊，求這個(gè)圓錐體鋁塊的高是多少？ （ n =3.14 ）分析與解 要想求出最終所得圓錐體的高度，只要能確定其體積就可辦到.而圓錐體是用兩個(gè)不同形狀的幾何體熔鑄而成的，故其體積就等于長(zhǎng)方體的體積與圓柱體體積的和而長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，圓柱體的底面周長(zhǎng)和高都是已知的，所以長(zhǎng)方體的體積及圓柱體的體積是可計(jì)算的。長(zhǎng)方體鋁錠的體積為：30X 20X 5=3000 （立方厘米）圓柱體的體積為：需劉 X30 = ttX 36X 30 = 1080tt （立方屋米） 設(shè)圓錐體鋁塊的高為亞則圓錐體鋁塊的體積為 |xTX13iXx = l|?-7ri立方厘氷）根據(jù)題中所述，圓錐體的體積等于長(zhǎng)方體體積與圓柱體體積的和

12、，列方程得169 兀 x = 3000 + 1080713解得：x 36.14 （厘米）答：這個(gè)圓錐體鋁塊的高為36.14厘米三有一個(gè)圓柱體的零件，高 10厘米，底面直徑是 6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的 圓孔，圓孔的直徑是 4厘米，孔深5厘米（見(jiàn)右圖）。如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上 防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、外側(cè)面、上面的圓環(huán)、圓孔的側(cè)面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個(gè)與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為x 2+ 兀 x 6X 10+ 兀 X4X 5=K X (18 + 60 + 20)尸L = 3.14X98=307.

13、72 (厘氷*四有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是 些飲料，正放時(shí)飲料高度為20厘米，倒放時(shí)空余部分的高度為內(nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米？30分米?，F(xiàn)在瓶中裝有一5厘米（見(jiàn)右圖）。問(wèn)：瓶分析與解：瓶子的形狀不規(guī)則，并且不知道底面的半徑，似乎 無(wú)法計(jì)算。比較一下正放與倒放，因?yàn)槠孔拥娜莘e不變，裝的飲料 的體積不變，所以空余部分的體積應(yīng)當(dāng)相同。20將正放與倒放的空余部分變換一下位置，可以看出飲料瓶的容 積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘酌娣e不變，高為20+ 5=25 （厘米）的圓柱體的體積, 推知飲料占容積的 20 = 4，所以瓶?jī)?nèi)有飲料30 4 =24 （立方分米）2555懸賞一個(gè)底面是正方形的容器里放著水，從里面量邊長(zhǎng)14厘米，水的高