一元二次方程壓軸題含答案

1、一元二次方程一元二次方程1 （北京模擬）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一個(gè)實(shí)數(shù)根為 2（1）用含 p 的代數(shù)式表示 q；（2）求證：拋物線y1x 2pxq 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線y1x 2pxq 的頂點(diǎn)為 M，與y軸的交點(diǎn)為 E，拋物線y2x 2pxq1 的頂點(diǎn)為 N，與y軸的交點(diǎn)為 F，若四邊形 FEMN 的面積等于 2，求 p 的值2設(shè)關(guān)于 x 的方程 x 25xm 210 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 、，試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使|6 成立3 （湖南懷化）已知 x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù) a，使x1x1

2、x24x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，請你說明理由；（2）求使( x11)( x21)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a 的整數(shù)值4 （江蘇模擬）已知關(guān)于 x 的方程 x 2(ab1)xa0（b0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2，且x1x2（1）求證：x11x2（2）若點(diǎn) A（1，2） ，B（ ，1） ，C（1，1） ，點(diǎn) P（x1，x2）在ABC 的三條邊上運(yùn)動(dòng)，12問是否存在這樣的點(diǎn) P，使 ab ？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理54由5 （福建模擬）已知方程組 有兩個(gè)實(shí)數(shù)解 和 ，且 x1x20，x1x2（1）求 b 的取值范圍；（2）否存在實(shí)數(shù) b，使得 1？若存在，求出 b 的

3、值；若不存在，請說明理由1x11x26 （成都某校自主招生）已知 a，b，c 為實(shí)數(shù)，且滿足 abc0，abc8，求 c 的取值范圍7 （四川某校自主招生）已知實(shí)數(shù) x、y滿足 ，求 xy的取值范圍8 （福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a 2(1x 2)（a1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2滿足x1x2，求證：1x10 x21（答案）1 （北京模擬）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一個(gè)實(shí)數(shù)根為 2（1）用含 p 的代數(shù)式表示 q；（2）求證：拋物線y1x 2pxq 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線y1x 2pxq 的頂點(diǎn)為 M，與y軸的交點(diǎn)為 E，拋物線y2x 2pxq1

4、 的頂點(diǎn)為 N，與y軸的交點(diǎn)為 F，若四邊形 FEMN 的面積等于 2，求 p 的值解：（1）關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一個(gè)實(shí)數(shù)根為 22 22pq10，整理得：q2p5（2）p 24qp 24(2p5)p 28p20( p4) 24無論 p 取任何實(shí)數(shù)，都有( p4) 20無論 p 取任何實(shí)數(shù)，都有( p4) 240，0拋物線y1x 2pxq 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)（3）拋物線y1x 2pxq 與拋物線y2x 2pxq1 的對稱軸相同，都為直線 x ，且開口大小相同，拋物線y2x 2pxq1 可由拋物p2線y1x 2pxq 沿y軸方向向上平移一個(gè)單位得到EFMN，EFMN1

5、四邊形 FEMN 是平行四邊形由題意得 S四邊形 FEMN EF| |2，即| |2p2p2 p42 （安徽某校自主招生）設(shè)關(guān)于 x 的方程 x 25xm 210 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 、，試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使|6 成立解：5 24(m 21)4m 221不論 m 取何值，方程 x 25xm 210 都有兩個(gè)不相等的實(shí)根x 25xm 210，5，1m 2|6， 2 22|36，即( )222|36252(1m 2)2|1m 2|36當(dāng) 1m 20，即1m1 時(shí)，2536 成立1m1 當(dāng) 1m 20，即 m1 或 m1 時(shí)，得 254(1m 2)36解得 m m1 或 1m 綜合、得：

6、m 3 （湖南懷化）已知 x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù) a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，請你NEFMxyy2y1說明理由；（2）求使( x11)( x21)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a 的整數(shù)值解：（1）x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 即 假設(shè)存在實(shí)數(shù) a 使x1x1x24x2成立，則 4( x1x2)x1x204 0，得 a242aa6aa6a24 滿足 a0 且 a6存在實(shí)數(shù) a24，使x1x1x24x2成立（2）( x11)( x21)( x1x2)x1x21 1 2aa6aa6

7、aa6要使( x11)( x21)為負(fù)整數(shù)，則只需 a 為 7，8，9，124 （江蘇模擬）已知關(guān)于 x 的方程 x 2(ab1)xa0（b0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2，且x1x2（1）求證：x11x2（2）若點(diǎn) A（1，2） ，B（ ，1） ，C（1，1） ，點(diǎn) P（x1，x2）在ABC 的三條邊上運(yùn)動(dòng)，12問是否存在這樣的點(diǎn) P，使 ab ？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理54由解：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1x2ab1，x1x2aax1x2，bx1x2x1x21b0，x1x2x1x2101x1x2x1x20(1x1)(1x2)0又x1x2，1x10，1x20即 x11，x

8、21x11x2（2）x1x2ab1，ab ，x1x2 5494當(dāng)點(diǎn) P（x1，x2）在 BC 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)則 x11，x2112x1 x2 1 1949454故在 BC 邊上不存在滿足條件的點(diǎn) P當(dāng)點(diǎn) P（x1，x2）在 AC 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)則 x11，1x22取 x2 ，則 x1x2 ，即 ab 549454故在 AC 邊上存在滿足條件的點(diǎn) P（1，）54Oxy112CAB當(dāng)點(diǎn) P（x1，x2）在 AB 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)則 x11，1x22，易知 x22x112x1x2 ，x1 ，x2 943432又 1，1 2123432故在 AB 邊上存在滿足條件的點(diǎn)（ ，）3432綜上所述，當(dāng)點(diǎn) P（x1，x2）

9、在ABC 的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 BC 邊上沒有滿足條件的點(diǎn)，而在 AC、AB 邊上存在滿足條件的點(diǎn)，它們分別是（1，）和（ ，）5434325 （福建模擬）已知方程組 有兩個(gè)實(shí)數(shù)解 和 ，且 x1x20，x1x2（1）求 b 的取值范圍；（2）否存在實(shí)數(shù) b，使得 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，請說明理由1x11x2解：（1）由已知得 4x(2xb)2，整理得 4x 2(4b4)xb 20 x1x2，0，即(4b4)216b 20，解得 b12又x1x20，0，b0b 24綜上所述，b 且 b012（2）x1x21b，x1x2， 1 得b 241x11x2x1x2x1x24(1b)b

10、2b 24b40，解得 b22 222 2(1) ，b22 不合題意，舍去22122b22 26 （成都某校自主招生）已知 a，b，c 為實(shí)數(shù)，且滿足 abc0，abc8，求 c 的取值范圍解：abc0，abc8，a，b，c 都不為零，且 abc，ab 8ca，b 是方程 x 2cx 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根8cc 24 08c當(dāng) c0 時(shí)，c 24 0 恒成立8c當(dāng) c0 時(shí)，得 c 332，c342故 c 的取值范圍是 c0 或 c3427 （四川某校自主招生）已知實(shí)數(shù) x、y滿足 ，求 xy的取值范圍解：(xy)20，x 2y 22xy2(x 2y 2)(xy)22(4a 22a2)(3a1)2即 a 22a30，解得1a3xy (xy)2(x 2y 2)12 (3a1)2(4a 22a2)12 (5a 24a1)12 (a)25225910當(dāng) a 時(shí)，xy有最小值 ；當(dāng) a3 時(shí)有最大值 1625910 xy169108 （福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a 2(1x 2)（a1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2滿足x1x2，求證：1x10 x21證明：將