立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)全解

1、立體幾何初步1、 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDEA B C D E 或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD 幾何特征 ：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義 ：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四

2、棱錐、五棱錐等表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PA B C D E 幾何特征 ：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)PA B C D E 幾何特征 ：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義 ：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn), 其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征 ：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是

3、一個(gè)矩形。（5）圓錐：定義 ：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸, 旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征 ：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征： 上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。（ 7）球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征： 球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左

4、右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與 x 軸平行的線段仍然與x 平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與 y 軸平行的線段仍然與y 平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（ 1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（ 2）特殊幾何體表面積公式（ c 為底面周長(zhǎng)， h 為高， h 為斜高， l 為母線）Sch圓柱側(cè)2 rh直棱柱側(cè)面積SS正棱錐側(cè)面積1 chS圓錐側(cè)面積rl2S正棱臺(tái)側(cè)面積1 (c1 c2

5、) hS圓臺(tái)側(cè)面積 (r R) l2S圓柱表2 r rlS圓錐表r rlS圓臺(tái)表r 2rlRlR2（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱Sh，V圓柱Shr 2 h ，V錐1 Sh，3V1r 2 h圓錐3V1 (SSSS)h臺(tái)3V圓臺(tái)1 (SS S S)h1 (r 2rR R2 )h33（4）球體的表面積和體積公式：V球= 4R3；S球面 =4 R235、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、 、 表示，如平面 （通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn) A在平面內(nèi)，記

6、作 A；點(diǎn) A 不在平面內(nèi)，記作 A點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn) A的直線 l 上，記作： A l ；點(diǎn) A在直線 l 外，記作 Al ；直線與平面的關(guān)系：直線 l 在平面 內(nèi)，記作 l ；直線 l 不在平面 內(nèi)，記作 l 。（ 2）公理 1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）應(yīng)用： 檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：A LBL = LA A LB（3）公理 2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論： 一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理 2 及其推論作

7、用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)符號(hào)表示為：A、 B、 C三點(diǎn)不共線= 有且只有一個(gè)平面，使 A 、 B 、 C 。AB C（4）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)： 平面 和 相交，交線是a，記作 a。P L符號(hào)語(yǔ)言：P A B A Bl, P l公理 3 的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（5）公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號(hào)表示為：設(shè) a、b、 c 是三條直線a b=acc b強(qiáng)調(diào)： 公理

8、 4 實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理 4 作用： 判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角 ：直線 a、b 是異面直線， 經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn) O，分別引直線 a a，b b，則把直線 a和 b所成的銳角 （或直角）叫做異面直線 a 和 b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是 （ 0， 90 ，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這 兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明 ：（ 1）

9、判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（ 2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn) O是任取的，而和點(diǎn) O的位置無(wú)關(guān)。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C 、利用三角形來(lái)求角（ 7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（ 8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aa Aa（ 9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)； 相交有一條公共直線。 b6、空間中的平行問(wèn)題（1）直線與平面

10、平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行, 則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行線面平行符號(hào)表示：a b = a a b線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行符號(hào)表示：a a=a b = b作用： 利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。（ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行），符號(hào)表示：aba b = P= a b （ 2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那

11、么這兩個(gè)平面平行。（線線平行面面平行），（ 3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（ 1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行線面平行）（ 2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）符號(hào)表示： = a=ab = b作用： 可以由平面與平面平行得出直線與直線平行7、空間中的垂直問(wèn)題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。Lp平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相

12、交，所成的二面角 （從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理： 如果兩個(gè)平面互相垂直， 那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。8、空間角問(wèn)題（ 1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0 。兩條相交直線所成的角：兩

13、條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a， b 平行的直線a , b ，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主

14、要信息：（ 1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè) 面內(nèi)分別作 垂直于 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法： 已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，二面角的平面角過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為9、空間直角坐標(biāo)系（1）定義 ：如圖， OBCDD, A, B,C, 是單位正方體 . 以 A 為原點(diǎn)，,x軸 .y 軸.z 軸 。分別以 OD,OA ,OB 的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.1） O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2 ） x 軸， y 軸， z 軸叫做坐標(biāo)軸. 3 ）過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（ 2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。