線性代數(shù)試題庫

1、1對任意 n 階方陣 A, B 總有（）A. AB BAB. ABBAC. ( AB)TATBTD. ( AB)2A2B2答案： BABBAAB2在下列矩陣中，可逆的是（）000110A.010B.220001001110100C.011D.111121101答案： D3設(shè) A 是 3階方陣，且 A2,，則 A 1（）1B.2C. 12答案： B1114設(shè)矩陣 A121的秩為 2，則（）231答案 :B提示：顯然第三行是第一行和第二行的和1015設(shè)A020 ，矩陣 X滿足方程 AXEA2X，求矩陣 X.101201答案：X030102解：AXEA2X(AE)XA2E101001A 020A E

2、010101100顯然 AE可逆，所以： ( AE) 1(A E)X X (A E) 1(A2E)(AE) 1(AE)(AE)AE201X 0 3 01 0 26求下列矩陣的秩0111202220A1111011011答案： 37設(shè)矩陣 P14, D10，矩陣 A 由矩陣方程 P1APD 確定，試求 A5.1021511/ 3127/3答案：31/ 3127/ 3P1AP DAPDP 1A5PD5P 114P 11/ 31/ 3, D510P14/ 31/ 30321所以： A5PD5P 114.101/ 31/ 3511/ 3127/ 3110324/ 31/ 3127/ 331/ 38設(shè)矩

3、陣 A 可逆，證明 (A* ) 1A 1 A證明：因為 AA*A* A A E ，矩陣 A 可逆，所以A 0A A*A* AEAA又因為A11，所以： ( A*) 1A 1AA9若 A是()，則 A必為方陣 .A.分塊矩陣B.可逆矩陣C. 轉(zhuǎn)置矩陣D. 線性方程組的系數(shù)矩陣答案 ：B10. 設(shè) n 階方陣 A ，且 A0，則 (A*) 1( ).A.AB. A*AAC.A 1AAD.A*答案：A11若()，則 A: BA.ABB.秩(A)秩 (B)=C. A 與 B 有相同的特征多項式D. n 階矩陣 A 與 B 有相同的特征值，且 n 個特征值各不相同答案： B112.設(shè) A2，則 AAT_

4、.31 2 3答案：24 636 913. 設(shè) mn 矩陣 A ，且秩 ( A)r ， D 為 A 的一個 r1階子式，則 D_.答案：014已知 P 1 APB ，且 B0 ，則 A _.B答案： 1203115. 已知1X，求矩陣 X 。10120203120113解：矩陣1可逆，所以由1X1X10111011/ 20313/ 21/ 2X1013/ 21/21/ 216. 若對稱矩陣A 為非奇異矩陣，則A1 也是對稱矩陣 .證明：因為矩陣A 為非奇異矩陣，所以 AA 1A 1 AE( AA 1)T( A 1A)TET ，即： ( A 1)T ATAT(A 1)TE因為矩陣 A 為對稱矩陣

5、，所以ATA，則有： (A 1)T AA( A 1)TE所以： ( A 1)TA 1，即 A 1 也是對稱矩陣 . 。17. 設(shè) A 是 mn 矩陣， B 是 sn 矩陣， C 是 m s 矩陣，則下列運算有意義的是（）A.ABB.BCC.ABTD. ACT答案： C18. 設(shè) A ， B 均為 n 階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是（）A.(A B)TATBTB. (A B)1A 1B 1C. (AB) 1B1A1D. (AB )TBT AT答案： B19. 設(shè) A 為 n 階矩陣，秩 ( A)n1，則秩 ( A* )（）C. n 1D.n答案： A因為 A* 是由矩陣 A 的代數(shù) 余子式組

6、成，但是秩 ( A)n 1，所以其代數(shù)余子式全部為0，所以： A*0101020矩陣 A0234的秩為（）0005答案： 321.設(shè) A為2階方陣 ,且 A1,則 2A*_.2答案： 222.設(shè) A 是 3階矩陣 , 秩 A =2, 則分塊矩陣AA0的秩為 _.E答案：522123. 設(shè)矩陣 A110,求矩陣 B,使 A2BAB123021解：由 A2BAB 得： ( A 2E)BA ， A2E110，121021 221100 302(A 2E,A)110 1 1 0 r 0 1 0 212121123001245302所以： B21224524.設(shè)三階方陣 A 的行列式 det( A)3

7、，則 A的伴隨矩陣 A*的行列式 det( A* ) _.答案： 9提示： det( A* )det( A)3125.設(shè) Aabadbc0，則 A1_.c，且 det(A)d答案：dbcaad bc26.設(shè) A12， B21， C(2,1)，則 (AB)CT_.31031答案：811111127. (5 分)設(shè) A022 B110且滿足 XAB，求 X110211111解：A022A可逆110由 XAB，得 XBA 1111100022010A110001CB11 1ur1/ 34 / 31/ 31102 / 31/ 31/ 32111/ 35/ 64 / 31/ 31/ 34 / 3所以：

8、X BA12 / 31/ 31/ 31/ 35 / 64 / 328. 設(shè)矩陣 CA( A 1)2A*BA 1A110123其中，A 011, B456 .111789A* 為 A 的伴隨矩陣 . 計算 det(C )解： CA( A 1)2A*BA 1ACE A B110110A011A 0111111111223CEB4667810顯然： det(C )029設(shè) A, B 是兩個 n 階方陣，若 AB0 則必有（）ACA0且B0BA 0或B 0A0且B0DA 0或B 0答案： D30A2,B1A1B（）若 A, B 都是方陣，且，則A -2CB 2112D2答案： C31矩陣 A12的伴隨

9、矩陣 A*（）344243A1B13242D42C1313答案： C32設(shè) A 為34矩陣，若矩陣 A的秩為 2，則矩陣 3AT 的秩等于（）A 1B 2C 3D 4答案： B33設(shè) A 為 4階矩陣，A 3，則A.答案： 320034設(shè) A001，則 A5.010答案： 32123121，則 ABT.35設(shè) A21， B2311814答案：68150036031=.0211005答案：011023提示：用分塊對角矩陣做。100337設(shè) A010，求滿足關(guān)系式A 1BA6 ABA 的 3階矩陣 B40017A1BA 6A BA (A1E)BA 6A B 6(A 1E) 110033002001

10、A 00A 10 4 0A 1E 03040070060017100200121( A 1E) 10 3 000 ，00631006300所以： B6(A 1E) 102000112a138設(shè)矩陣 A2310 的秩為 2，求 a, b.41ab1 2a 112a112a1解： A231007 1 2a207 1 2a241ab07a 2 b00a 1 b 2因為：矩陣 A 的秩為2 ，所以 a1 0,b 20a1,b2已知 n 階方陣A滿足關(guān)系式A23A2E0，證明 A 是可逆矩陣，并求出其逆矩陣 .39證明： A23A2E0 A(A3E)2EA ( A3E)E2所以 A 是可逆矩陣，且其其逆

11、矩陣為：A 3E240設(shè) A 是 3階方陣，且A1，則 2A（）A 8B 2C 2D 8答案：A20041設(shè)矩陣 A011 ，則A1（）01210010022A 021B 021011011210210C 110D1100010022答案： A42設(shè) A 是 n 階方陣，A0，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A秩 ( A)nB A 有兩行元素成比例C A 的 n 個列向量線性相關(guān)D A 有一個行向量是其余n 個行向量的線性組合答案： B43設(shè) A, B 均為 n 階矩陣，且秩 ( A) 秩 ( B) ，則必有（）A A與 B相似 B A與 B等價C A與 B合同 D AB答案： B211301 _.4

12、410140425答案：17445若 A, B 均為 3階矩陣，且A2, B3E ，則 AB_.答案： 54a1b1a1b2a1b346設(shè)矩陣 Aa ba ba b，其中 a b0(i 1,2,3)則秩( A) _.212 22 3i ia3 b1a3b2a3b3答案： 111210047設(shè) A223， B211 ，矩陣 X 滿足方程 AXBT，求 X .433122381答案：4 124012100121解： B21 1BT0 12 ，AX BTX A1BT122012A, BT rE, X48設(shè) A 是 n 階方陣，A0，證明 A*An 1證： AA*AEAA*nA A*nA E AA因為

13、 A0 ，所以：A*An 149. 設(shè) A 是 3階方陣，且A2，則 A（）A -6B -2C 2D 6答案： B02050設(shè) A003，則 A 的伴隨矩陣 A*（）4000060120A 1200B 0080806000120006C 008D 1200600080答案： A32211510101_。240653答案：01042252設(shè) A14，則A1_ 。0334答案： A101303353設(shè) A110且 ABA2B ，求 B。123033答案：123110解： ABA2B( A 2E)BA233A 2E110，很容易得到： A2E 是可逆的。所以： B ( A 2E) 1 A121233

14、033100033(A 2E,A)110 11 0 r 0 1 0 12 312112300111054設(shè)方陣A滿足 A2A2E0 ，證明 A 可逆，并求其逆陣。證： A2A 2E0A( AE)2E A(A E)E2所以： A 可逆，且其逆陣為AE 。255設(shè) n 階方陣 A, B,C 滿足 ABCE ，則必有（）A ACBEB CBAEC BACED BCAE答案： D56設(shè) n 階方陣 A 中有 n2n 個以上元素為零，則A 的值（）A大于零B等于零C小于零D不能確定答案： B56設(shè)3階矩階 A=（，），B=（ ，），且A2， B1，則 AB （）12A 4B 2C1D -4答案： A57

15、設(shè) A是4階方陣， A2 ，則A*_.答案： -8000158設(shè)矩陣 A0020_.030，則 A104000000141000答案：301002100042359設(shè) A110，且矩陣 X 滿足 AXA2X,求X。123解：AX A 2X(A 2E)X A223223A2E110，容易證明 A2E110 可逆，所以121121X(A2E) 1A223423100386(A 2E,A)110 11 0 r 0 1 0 2961211230012123386所以：X296212361設(shè) A, B 均為 n 階方陣，則必有（）A ABBAB ABABC (A B)TA B D (AB)TAT BT答

16、案： A20062設(shè)A0 1 1 ，則A1（）0021001002211A 010B 02210100122100100221C 01D 0102110010222答案： C63若方陣 A 與方陣 B 等價，則（）A R( A)R( B)B EAEBC ABD存在可逆矩陣 P ，使 P 1 APB答案： A64 A(1,0, 1) ， BEAT A,C E2 AT A ，（ E 為 3階單位矩陣），則BC22_。答案：E133165已知 A2，且A1404，則 A*_。45131331404答案：251380266設(shè) A020， A* 為 A 的伴隨矩陣，則 A*_。301答案： 161016

17、7已知 A020 ，則(A3E) 1( A29E) _ 。001201答案 ：01000268設(shè) A, B 為 n 階方陣，滿足 AB AB130若 B210 ，求矩陣 A。002ABABA( BE)B030BE200BE 可逆。所以：A B(B E)10011102BEE110BC，得 A3urA00269設(shè) A 是 4階矩陣，則A（）A4 ABAC AD 4 A答案： C70設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，下列運算中正確的是（）A (2 )T2TB11AA(3A)3AC ( A)T )T 1( A 1) 1TD (A 1)TA答案： A71設(shè) A 是 2階方陣可逆，且A 137，則 A（）12

18、A272713B31C273713D21答案： B72設(shè) A, B 均為 3階矩陣，若 A 可逆，秩 ( B)2 ，那么秩 (AB)（）A 0B 1C 2D 3答案： CAAXb73A為 n階矩陣，若與 n 階單位矩陣等價，那么方程組（）設(shè)A無解B有唯一解C有無窮多解D解的情況不能確定答案： B74設(shè)矩陣 Aa，則 AAT_.b答案：a2ababb275設(shè)矩陣 A12，則行列式A2_.34答案： 411176矩陣011的秩等于 _.001答案： 3500100177設(shè)矩陣 A012 BXAB的解 X.202，求矩陣方程0371500解： A012，很容易得到A 是可逆的。所以：XABX BA1037500100A012010231037C001，所以： XBur411310012312021411378設(shè) A, B 為同階對稱矩陣，證明ABBA 也為對稱矩陣 .證： A, B 為同階對稱矩陣，所以：T,TBAA B( ABBA)TBT ATAT BTBAAB ABBA所以： ABBA 也是對稱矩陣。10079.設(shè)矩陣 A020 ，則 A 1等于（）0031001003A.010B.010220010013100100231C. 010D.0031000012答案：