復(fù)件顧泠沅勾股定理

1、中學(xué)數(shù)學(xué)勾股定理從某種意義上說(shuō)，勾股定理的教與學(xué)是數(shù)學(xué)教改的晴雨表：上一世紀(jì)五六十年代數(shù)學(xué)課程中的嚴(yán)格論證、后來(lái)提倡的“量一量、算一算”、之后的“告訴結(jié)論”、“做中學(xué)”，直到現(xiàn)在的探究式等，在勾股定理的教學(xué)中都有各自的追求。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)推斷等能力，勾股定理的教學(xué)正是一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦印閷?shí)施探究水平的教學(xué)，研究者對(duì)教師日常的課堂行為進(jìn)行分析，結(jié)果表明，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計(jì)上有兩個(gè)難解的困惑：通過(guò)度量直角三角形三條邊的長(zhǎng)，計(jì)算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為

2、一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生；勾股定理的證明有難度，一般來(lái)說(shuō)學(xué)生很難自行探究，尋得解決的方法。一項(xiàng)對(duì)澳大利亞、捷克、香港和上海四地勾股定理的課堂教學(xué)研究表明：澳大利亞是把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)(知識(shí))告訴學(xué)生，只字未提證明，捷克和香港雖然介紹了多種證明方法，但事實(shí)上只是通過(guò)演示手段，讓學(xué)生直觀(guān)地確認(rèn)所發(fā)現(xiàn)的關(guān)系?？梢?jiàn)，直接讓學(xué)生猜想和證明勾股定理是有困難的。事實(shí)上，多數(shù)教師教勾股定理，基本采用講解的方式，在我們視野所及的范圍內(nèi)，即使有教師力圖實(shí)施探究性教學(xué)，也只是停留于形式，稱(chēng)不上實(shí)質(zhì)意義上的探究。那么能否通過(guò)設(shè)計(jì)合適的學(xué)習(xí)情境做鋪墊，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想；能否在鋪墊的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生自行論證，

3、并從中懂得反駁與證明的價(jià)值呢？我們?cè)谘芯恐凶隽诉@樣的改進(jìn)：運(yùn)用“腳手架”理論，通過(guò)“工作單”進(jìn)行鋪墊，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一種教學(xué)協(xié)助，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有能力下對(duì)高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的難度的跨越。 l 工作單1. 在方格紙內(nèi)斜放一個(gè)正方形ABCD，正方形的4個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位,怎樣計(jì)算正方形ABCD的面積？ 這一環(huán)節(jié)是教師設(shè)置鋪墊，為學(xué)生的探究提供教學(xué)協(xié)助。斜放正方形的面積可按右圖啟示的思路計(jì)算（正放的大正方形的面積減去4個(gè)陰影直角三角形的面積）。這時(shí)所得數(shù)據(jù)都是整數(shù)，有利于學(xué)生猜想直角三角形三邊之間的關(guān)系。此外，這一種面積補(bǔ)割的方法又可以引導(dǎo)出勾股定理的一種證明方法。l

4、工作單2. 直角三角形兩條直角邊（a、b）和斜邊（c）之間有什么關(guān)系？用前面提供的方法分別計(jì)算下列四圖中的a2、b2 、2ab及c2的值，并填表，然后猜測(cè)它們之間的數(shù)量關(guān)系。代數(shù)項(xiàng)圖圖圖圖a214916b24916252ab4122440c25132541注：表內(nèi)數(shù)據(jù)是后來(lái)填上去的第二個(gè)環(huán)節(jié)是根據(jù)數(shù)據(jù)出猜想。學(xué)生運(yùn)用第一份工作單提供的方法，計(jì)算并填表，然后歸納表內(nèi)數(shù)據(jù)，猜測(cè)直角三角形兩條直角邊和斜邊之間可能有的關(guān)系。學(xué)生通過(guò)仔細(xì)觀(guān)察，很容易猜想出“a2+b2=c2”。出人意料的是，有的學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)表還歸納出了“2ab+1=c2”的猜想。對(duì)這個(gè)猜想，教師問(wèn)“它是不是一個(gè)普遍的規(guī)律呢？”此時(shí)，另有

5、學(xué)生舉出了a=2、b=4等例子作反駁，因?yàn)?ab+1=17，而c2=20，它們并不相等，故可予以否定。那么“a2+b2=c2”是否也可舉例推翻呢？例子舉不勝舉，但都否定不了，看來(lái)要確認(rèn)它為定理，只有依賴(lài)邏輯證明這一有力手段了。在這里，學(xué)生的嘗試錯(cuò)誤已被作為一種有效的教學(xué)資源，成為他們懂得反駁與證明的價(jià)值，激發(fā)探究勾股定理證明方法的直接動(dòng)因。l 工作單3. 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這一命題是從以上幾個(gè)特殊例子得出的，而對(duì)于一般的直角三角形，它是否成立呢？把圖中的方格紙 背景撤去，并且隱去a、b的具體數(shù)值，在直角三角形ABC中，已知ACB=90°，BC=a，CA=b，AB=c，利用剛才計(jì)算斜放正方形面積的方法證明a2+b2=c2這一命題的正確性。第三個(gè)環(huán)節(jié)拆除了原先的鋪墊，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯證明的一般方法。之前，第一個(gè)環(huán)節(jié)計(jì)算斜放正方形面積的方法，實(shí)際上蘊(yùn)含了一種通過(guò)計(jì)算論證定理的思路： c2 =（ab）22ab，第二個(gè)環(huán)節(jié)又強(qiáng)化了這一條思路，到這時(shí)經(jīng)過(guò)上述鋪墊，定理證明的難度明顯降低了，學(xué)生完全可以親自“做出來(lái)”。整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生猜想結(jié)論，證明定理，成功地親歷了知識(shí)的形成過(guò)程，又充分體驗(yàn)了解決問(wèn)題的愉悅。這后一種收獲可以說(shuō)是“腳手架”策略在學(xué)生情感、動(dòng)機(jī)激