【全程復(fù)習(xí)方略】（廣西專用）2013版高中數(shù)學(xué) 4.4三角函數(shù)的化簡與求值配套課件 理 新人教A版

1、第四節(jié) 三角函數(shù)的化簡與求值 三年三年1212考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; ;2.2.能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明等式證明. . 1.1.三角恒等變換是三角函數(shù)式化簡與求值以及研究三角函數(shù)的三角恒等變換是三角函數(shù)式化簡與求值以及研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)，是本節(jié)的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)；圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)，是本節(jié)的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)；2.2.題型以選擇題和填空題為主，與其他知識點(diǎn)交匯則以解答題題型以選擇題和填空題為主，與其他知識點(diǎn)交匯則

2、以解答題為主為主. . 1.1.三角恒等變換的基本公式三角恒等變換的基本公式(1)(1)三角函數(shù)的基本關(guān)系三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系平方關(guān)系:_:_；商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:_:_；倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系:_. :_. sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos tancottancot=1=1(2)(2)和角、差角公式及二倍角公式和角、差角公式及二倍角公式和角公式和角公式二倍角公式二倍角公式cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin; ;sin(+)=sincos+cossinsin(+)=sincos+cossin; ;tan(+tan(+

3、)=)=tantan;1tan tan令令=cos2=coscos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-2sin-1=1-2sin2 2; sin2=2sincos sin2=2sincos；22tantan2.1tan 差角公式差角公式cos(-cos(-)=_)=_；sin(-sin(-)=_)=_；tan(-tan(-)=_. )=_. coscos+sinsincoscos+sinsinsincos-cossinsincos-cossintantan1tan tan【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)思考：在兩角和與差的正切公式中，若其中一個角為思考：

4、在兩角和與差的正切公式中，若其中一個角為 ，公式還成立嗎？能用二倍角的正切公式計算公式還成立嗎？能用二倍角的正切公式計算tantan嗎？嗎？ 2提示：提示：因?yàn)橐驗(yàn)?無意義，所以公式都不成立，不能用二倍角公無意義，所以公式都不成立，不能用二倍角公式計算式計算tantan，不妨令，不妨令 ，則，則 , , = =-cot,tan= =-cot,tantan22 tan()cot2 tan()2tan()2tan()tan()22tan()221tan()tan()22cotcot0.1 ( cot cot ) (2)(2)化簡化簡 =_.=_.【解析【解析】原式原式= .= .答案：答案：2 2

5、21 cos4sin 222(12sin 2 )12sin 2(3)(3)化簡化簡 =_.=_.【解析【解析】原式原式= = .= .答案：答案：1 sin6012sin30 cos3021331(sin30cos30 )222|3122.2.公式的逆用與公式的變形公式的逆用與公式的變形(1)(1)公式的逆用公式的逆用和角與差角公式的逆用可以化為一個角的一個三角函數(shù)，例如和角與差角公式的逆用可以化為一個角的一個三角函數(shù)，例如asin+bcosasin+bcos= = (= (其中其中tantan=_).=_).222222abab (sincos )abab22ab sin()ba(2)(2)

6、公式的變形公式的變形 ,sin,sin2 2=_.=_.tan+tantan+tan=(1-tantan)tan(+)=(1-tantan)tan(+)等等. . 21cos2cos2 1 cos22【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)化簡化簡sin(+)cos-cos(+)sinsin(+)cos-cos(+)sin=_.=_.(2)(2)計算計算sin15sin15+cos15+cos15=_.=_.(3)(3)若若 ，則，則tan+tan-tantantan+tan-tantan=_.=_. 【解析【解析】(1)(1)原式原式=sin=sin(+)-(+)-=sin=sin. .34 (2

7、)(2)原式原式= =(3)(3)tan+tantan+tan=-1+tantan.=-1+tantan.tan+tan-tantantan+tan-tantan=-1.=-1.答案：答案：222(sin15cos15 )222 sin15 cos45cos15 sin4562sin(1545 ).2 3tantan3,tan()tan1.41tan tan4 6(1)sin(2)312 三角函數(shù)式的無條件求值三角函數(shù)式的無條件求值【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)式無條件求值的技巧三角函數(shù)式無條件求值的技巧(1)(1)將題中的切函數(shù)化為弦函數(shù)將題中的切函數(shù)化為弦函數(shù). .(2)(2)熟練運(yùn)用二倍

8、角公式進(jìn)行升、降冪變換熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行升、降冪變換. .(3)(3)利用公式利用公式asin+bcos= sin(+asin+bcos= sin(+)()(其中其中tantan= )= )化化角的兩種名稱為同一名稱角的兩種名稱為同一名稱. .(4)(4)拆角，把一非特殊角拆成兩個特殊角的和與差的形式，展拆角，把一非特殊角拆成兩個特殊角的和與差的形式，展開化簡開化簡. .(5)(5)將題中是分式的變形后約分，是整式的變形后產(chǎn)生相消項將題中是分式的變形后約分，是整式的變形后產(chǎn)生相消項. . 22abba【例【例1 1】求值：】求值：(1)(2012(1)(2012柳州模擬柳州模擬)4sin)

9、4sin2 23535-cos110-cos110-tan160-tan160sin70sin70=_.=_.(2) =_.(2) =_.sin50 (13tan10 )cos20cos801 cos20 【解題指南【解題指南】(1)(1)注意角之間的關(guān)系，盡量化為銳角、相同角，注意角之間的關(guān)系，盡量化為銳角、相同角，切化弦，利用二倍角公式降冪，注意角的變換切化弦，利用二倍角公式降冪，注意角的變換. .(2)(2)切化弦，通分，利用公式切化弦，通分，利用公式asin+bcosasin+bcos= = (+ (+)(tan)(tan= )= )化簡分子，利用二倍角公式去掉化簡分子，利用二倍角公式

10、去掉根號化簡分母根號化簡分母. .22ab sinba【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)原式原式= =2-2cos70=2-2cos70+cos70+cos70+sin20+sin20=2-cos70=2-cos70+cos70+cos70=2.=2.答案：答案：2 21 cos70sin204cos70cos202cos20(2)(2)原式原式= =答案：答案：2cos103sin10sin50cos20cos10cos801 (12sin 10 )2222sin40sin50cos20cos10cos802 sin10sin80cos20cos102sin 101 (12sin 10 )2

11、.2sin 102【互動探究【互動探究】把本例把本例(2)(2)改為改為 ，試求，試求其值其值. .【解析【解析】原式原式= = .= . sin50 (13tan10 )cos70(cos80sin80 ) 1 sin20 2cos103sin10sin50sin20cos10(sin10cos10 ) (cos10sin10 )22sin40 cos40sin201 sin20cos101cos10sin101 sin20 （）（）【反思【反思感悟感悟】此類題目所給角都是非特殊角，但最后所求值此類題目所給角都是非特殊角，但最后所求值都是確定的都是確定的. .解答此類題目易出現(xiàn)化簡、變形方向

12、不明確，式解答此類題目易出現(xiàn)化簡、變形方向不明確，式子越變越復(fù)雜，或變形不徹底，所得結(jié)果中還含有非特殊角的子越變越復(fù)雜，或變形不徹底，所得結(jié)果中還含有非特殊角的某一函數(shù)值的情況某一函數(shù)值的情況. . 【變式備選【變式備選】求值：求值：【解析【解析】原式原式= =2cos10sin20cos202cos(3020 )sin20cos20 2cos30 cos202sin30 sin20sin20cos202cos30 cos203.cos20 三角函數(shù)式的條件求值三角函數(shù)式的條件求值【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)式條件求值的一般步驟三角函數(shù)式條件求值的一般步驟(1)(1)先化簡所求式子先化簡所求

13、式子( (或已知條件或已知條件) )；(2)(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系，決定是否對已知條觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系，決定是否對已知條件變形；件變形；(3)(3)將已知條件將已知條件( (或變形后的結(jié)果或變形后的結(jié)果) )代入所求式子，化簡求值代入所求式子，化簡求值. . 【提醒【提醒】利用條件求值時，要注意條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，利用條件求值時，要注意條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，特別是角之間的關(guān)系、公式之間的關(guān)系特別是角之間的關(guān)系、公式之間的關(guān)系. . 【例【例2 2】已知】已知 . . 求求 的值的值. .【解題指南【解題指南】先化簡要求的式子，再確定對已知條件的變形方先化

14、簡要求的式子，再確定對已知條件的變形方向，然后整體代入求值；或把要求的式子變成已知條件的形式，向，然后整體代入求值；或把要求的式子變成已知條件的形式，整體代入求值整體代入求值. . 3 77cos(x),x45 124 2sin2x2sin x1tanx【規(guī)范解答【規(guī)范解答】方法一：方法一：即即 , ,2sin2x2sin x2sinx(cosxsinx)sinx1tanx1cosx2sinxcosx(cosxsinx),cosxsinx3223cos(x),cosxsinx,4522523 218cosxsinx,(cosxsinx)52527322sinxcosx,12sinxcosx,2

15、52532(cosxsinx),25故原式故原式= . = . 77x,sinxcosx 0,cosxsinx 0,12453x,cosxsinx 0,424 2cosxsinx,5 且 74 23 228()255575 方法二：方法二：2sin2x2sin x2sinx(sinxcosx)sinx1tanx1cosx2sin2x2sin(x)2sinxcosx(sinxcosx)4cosxsinx2cos(x)4cos(2x) sin(x)24cos(x)42cos (x) 1 sin(x)44cos(x)4 2775x,x2 .124643cos(x)0,453x2 ,2434sin(x

16、)1 ( ).45594(21) ()28255.3755 又原式【反思【反思感悟感悟】1.1.三個式子三個式子sin+cossin+cos、sin-cossin-cos、sincossincos，根據(jù)，根據(jù)sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1知一可求二知一可求二, ,同時注意根據(jù)同時注意根據(jù)角的范圍判斷式子的正負(fù)，其中角的范圍判斷式子的正負(fù)，其中sincossincos的正負(fù)可以確定角的正負(fù)可以確定角所在的象限；所在的象限；2.2.運(yùn)用整體思想和平方變形的方法是解決此類題的關(guān)鍵運(yùn)用整體思想和平方變形的方法是解決此類題的關(guān)鍵. . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知 , ,求求cos4

17、xcos4x的值的值. .【解析【解析】由已知，得由已知，得 , ,即即 , ,31sin(x)cos(x)444 1sin(x) cos(x)2444 21cos (x)4421cos(2x)12,24111 sin2x,sin2x,2211cos4x12sin 2x1.22 【變式備選【變式備選】1.1.已知已知 ，且，且 , , ，求，求cos(+cos(+) )的值的值. . 02 1cos()29 2sin()23 【解析【解析】 02 ,422 42 225cos()1 sin (),2234 5sin()1 cos (),229 2coscos()222cos()cos()sin

18、()sin()2222154 527 5(),93932749 5239cos()2cos121.2729729 ()2.2.已知已知，(0,)(0,)，且，且 ，求，求2-2-的值的值. . 11tan(),tan27 【解析【解析】tantan=tan=tan(-)+(-)+2211tan()tan1270,111tan()tan31270,2122tan33tan20,11tan41 ( )30 2, 2 又tan2tantan(2)1tan2 tan31471.311471tan0,20,7232.4 三角函數(shù)式的化簡與證明三角函數(shù)式的化簡與證明【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】1.1.三角函數(shù)式

19、化簡的方法三角函數(shù)式化簡的方法(1)(1)弦切互化弦切互化(2)(2)異名化同名異名化同名(3)(3)異角化同角異角化同角(4)(4)降冪或升冪降冪或升冪 2.2.三角恒等式的證明方法三角恒等式的證明方法(1)(1)觀察等式兩邊的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的化簡，由左推觀察等式兩邊的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的化簡，由左推右，或由右推左，或兩邊同時推，推出同一個結(jié)果右，或由右推左，或兩邊同時推，推出同一個結(jié)果. .(2)(2)證明三角函數(shù)條件等式時，觀察條件與結(jié)論的差異，通過證明三角函數(shù)條件等式時，觀察條件與結(jié)論的差異，通過變換，將已知表達(dá)式代入得出結(jié)論，或通過變換已知條件得出變換，將已知表達(dá)式代入得

20、出結(jié)論，或通過變換已知條件得出結(jié)論，如果這兩種方法都證不出來，可采用分析法；如果已知結(jié)論，如果這兩種方法都證不出來，可采用分析法；如果已知條件含參數(shù)，可采用消去參數(shù)法條件含參數(shù)，可采用消去參數(shù)法. . 【例【例3 3】(1)(1)化簡：化簡： =_.=_.(2)(2)已知已知sinsin=2sin(2+)=2sin(2+)，求證：，求證：tan(+tan(+)=-3tan.)=-3tan.【解題指南【解題指南】(1)(1)分步化簡，統(tǒng)一將角轉(zhuǎn)化為分步化簡，統(tǒng)一將角轉(zhuǎn)化為 ，開方時要注，開方時要注意角的范圍意角的范圍. .(2)(2)把已知條件中的角統(tǒng)一到把已知條件中的角統(tǒng)一到+和和上來，展開化

21、簡，弦化上來，展開化簡，弦化切得證切得證. . (1 sincos )(sincos)22(2 )22cos 2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)(1 sincos )(sincos)2222cos2222(2sincos2cos)(sincos)222224cos22cos(sincos)(sincos)222222|cos|2cos(sincos)coscosa2222,cos|cos|22|2,cos0222coscos2cos .cos2 ， ，故原式答案：答案：coscos(2)sin=2sin(2+),(2)sin=2sin(2+),sinsin(+)-(+)-=2sin=2sin

22、(+)+(+)+, ,sin(+)cos-cos(+)sinsin(+)cos-cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin,=2sin(+)cos+2cos(+)sin,即即-sin(+)cos-sin(+)cos=3cos(+)sin=3cos(+)sin , ,即即tan(+tan(+)=-3tan.)=-3tan.sin()3sincos()cos【互動探究【互動探究】本例本例(1)(1)中，若中，若(0,)(0,)，試對原式進(jìn)行化簡；，試對原式進(jìn)行化簡；(2)(2)中若已知中若已知tan(+tan(+)=-3tan)=-3tan，等式，等式sinsin= =2sin

23、(2+)2sin(2+)成立嗎？若成立，試給出證明；若不成立，請說成立嗎？若成立，試給出證明；若不成立，請說明理由明理由. . 【解析【解析】(1)(1)由本例由本例(1)(1)的解答知，原式的解答知，原式= =(0,),(0,), . .故原式故原式=-cos=-cos. .(2)(2)若已知若已知tan(+tan(+)=-3tan)=-3tan，則等式，則等式sinsin=2sin(2+)=2sin(2+)成立成立. .因?yàn)楸纠驗(yàn)楸纠?2)(2)證明的每一步都是可逆的，故等式證明的每一步都是可逆的，故等式sinsin= =2sin(2+)2sin(2+)成立成立. . coscos2|c

24、os|20,cos0222 【反思【反思感悟感悟】三角恒等變換的原則三角恒等變換的原則(1)(1)化繁為簡：變異角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化化繁為簡：變異角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項式為單項式，高次為低次，化多項式為單項式， 化無理式為有理式；化無理式為有理式；(2)(2)消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異. . 【變式備選【變式備選】已知已知 ，求證：，求證：tantan2 2=tantan=tantan.

25、 .22sintan()1sintan 【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)閠an()sin()cos11cos()sin 2222222cos()sinsin()cossincos()sincos()sinsinsin sinsinsin,cos()sincos()sin sincos coscos1 sin1,cos()cos()sinsin sintantan tan ,coscos cos 所以所以所以2tantan tan. 故成立【易錯誤區(qū)【易錯誤區(qū)】三角函數(shù)條件求值的誤區(qū)分析三角函數(shù)條件求值的誤區(qū)分析【典例】【典例】(2011(2011重慶高考重慶高考) )已知已知 , ,且且 , ,則則 的

26、值為的值為_._.1sincos2 (0,)2cos2sin()4【解題指南【解題指南】由題意可求出由題意可求出sin-cossin-cos和和sin+cossin+cos的值，的值，然后化簡，整體代入求值然后化簡，整體代入求值. .或由已知求出或由已知求出sin2sin2，cos2cos2的值，的值，再求再求 的值，最后整體代入求值的值，最后整體代入求值. . sin()4【規(guī)范解答【規(guī)范解答】方法一方法一: :由題意知由題意知 , ,兩邊平方可得兩邊平方可得 , ,所以所以(sin+cos)(sin+cos)2 2=1+2sincos= ,=1+2sincos= ,又又 , ,所以所以si

27、n+cossin+cos= .= .故故= . = . 1sincos2 32sin cos4 74(0,)27222cos2cossin2(sincos )2sin()(sincos )42 142方法二：由已知，得方法二：由已知，得 兩邊平方得兩邊平方得 , , . .又又sin-cossin-cos= =答案：答案：1sincos0,(0,)22 ,2.422 3sin24 27cos21 sin 24 2sin()472cos2144sin().4422sin()44 故142【閱卷人點(diǎn)撥【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到

28、以下誤區(qū)警示和備考建議：得到以下誤區(qū)警示和備考建議： 誤誤區(qū)區(qū)警警示示解答本題時有兩點(diǎn)容易造成失誤：解答本題時有兩點(diǎn)容易造成失誤：(1)(1)三者三者sin-cossin-cos，sin+cossin+cos，sincossincos的關(guān)的關(guān)系不明確，造成解題思路受阻系不明確，造成解題思路受阻. .(2)(2)由由sin-cossin-cos求求sin+cossin+cos，或由，或由sin2sin2求求coscos時，涉及開方運(yùn)算易忽視角的范圍產(chǎn)生增解時，涉及開方運(yùn)算易忽視角的范圍產(chǎn)生增解. . 備備考考建建議議三角函數(shù)條件求值是高考的重點(diǎn)，在備考時要特別三角函數(shù)條件求值是高考的重點(diǎn)，在備考時要特別注意以下兩點(diǎn)：注意以下兩點(diǎn)：(1)(1)熟記三