高中數(shù)學(xué)典型例題解析：第十章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用--學(xué)案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§10.1導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.瞬時(shí)變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個(gè)常數(shù)c的差的絕對(duì)值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于常數(shù)c?？捎梅?hào)“”記作：當(dāng)時(shí)，或記作，符號(hào)“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對(duì)開區(qū)間內(nèi)每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)

2、新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2) (5) (6) 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率2.運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

3、則,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計(jì)算到最后，常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤，如實(shí)際上應(yīng)是。(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計(jì)算起來就復(fù)雜了。3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對(duì)抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)，應(yīng)給予足夠的重視。4. 表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時(shí)是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)

4、數(shù)。5.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率。（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知,則 . 例2已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？例3求在點(diǎn)和處的切線方程。 例4求證：函數(shù)圖象上的各

5、點(diǎn)處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程. 例5已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設(shè) 與 軸交點(diǎn)為，求證： ；若，則 例6求拋物線 上的點(diǎn)到直線的最短距離. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.函數(shù)在處不可導(dǎo)，則過點(diǎn)處，曲線的切線 （ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結(jié)論2.在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù)是_.3.已知，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是 _. 5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.6若過兩拋物線和的一個(gè)交點(diǎn)為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的

6、坐標(biāo).§10.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且若對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或），則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲?，稱為極大（?。┲迭c(diǎn).（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求導(dǎo)數(shù)。求方程的根.求方程的根.檢驗(yàn)在方程的根的左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.2.函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行.求在內(nèi)的極值.將在各極值點(diǎn)的極值與、比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最

7、小值.（2）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點(diǎn)處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點(diǎn)不是的駐點(diǎn).(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處有，即點(diǎn)是的駐點(diǎn)，但從在上為增函數(shù)可知，點(diǎn)不是的極值點(diǎn).(2) 求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實(shí)

8、際問題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（小）值（如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（小）.記住這個(gè)定理很有好處），然后通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。知道這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)樗趹?yīng)用上較為簡(jiǎn)便，省去了討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，求函數(shù)在端點(diǎn)處的值，以及同函數(shù)在極值點(diǎn)處的值進(jìn)行比較等步驟.2.極大（?。┲蹬c最大（小）值

9、的區(qū)別與聯(lián)系極值是局部性概念，最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（?。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（?。┲?，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知曲線及點(diǎn)，求過點(diǎn)的曲線的切線方程. 例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍. 例3當(dāng) ，證明不等式. 例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在

10、何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省? 例5函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對(duì)滿足11的一切的值，都有0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線3只有一個(gè)公共點(diǎn).例6若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知函數(shù)，若是的一個(gè)極值點(diǎn)，則值為 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函數(shù)在處有極值為10，則= .3給出下列三對(duì)函數(shù)：， ，；其中有且只有一對(duì)函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別

11、是 ， .4已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點(diǎn)引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設(shè)在上的最大值為，（1）求的表達(dá)式；（2）求的最大值.§10.3定積分與微積分基本定理一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，（1）中的稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作或.函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時(shí)（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點(diǎn)都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個(gè)原函數(shù).由于，也是的原函

12、數(shù)，其中為常數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個(gè)步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對(duì)定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.1）一般情況下，對(duì)于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長(zhǎng)度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長(zhǎng)度才能都趨近于0，但有的時(shí)候?yàn)榱私忸}的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對(duì)每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點(diǎn)或是右端點(diǎn).3）求極限的時(shí)候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個(gè)就可以了，一般情況下選那個(gè)不帶常數(shù)的。因?yàn)?3利用定

13、積分來求面積時(shí)，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計(jì)算，分兩部分進(jìn)行計(jì)算，然后求兩部分的代數(shù)和.三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯(cuò)解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。正解：例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進(jìn)行運(yùn)算。解；設(shè)，則= =由微積分基本定理的逆運(yùn)用可知：上式所以原式成立，即證。注：該式可用來求分布在軸兩側(cè)的圖形的積分。例3根據(jù)等式求常數(shù)的值。1） 2）分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解解：1）

14、2）例4某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的邊際收入（）   求生產(chǎn)了50個(gè)單位時(shí)的總收入。（）   如果已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)，求再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入。分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的定積分。由收入函數(shù)和邊際收入的關(guān)系可得（1）生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的總收入為 = =99875（2）已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)后，再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入為答：生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的總收入為99875；生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)后，再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入為19850.例5一個(gè)帶電量為的電荷放在軸上原點(diǎn)處，形成電場(chǎng)，求單位正電荷在電場(chǎng)力作用下沿軸方向從處移動(dòng)到處時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所作的功。分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應(yīng)用。解：?jiǎn)挝徽姾煞旁陔妶?chǎng)中，距原點(diǎn)處