-球面幾何與球面三角學(xué)

1、第一章球面幾何與球面三角學(xué)球面幾何與球面三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究球面上圖形的性質(zhì)、球面上由三個(gè)大圓弧所構(gòu)成的球面三角形及其解算等問題。球面幾何和球面三角學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用，與天文學(xué)、測(cè)量學(xué)及航海學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用有著密切的聯(lián)系，是天文航海的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章介紹與天文航海相關(guān)的球面幾何與球面三角學(xué)基本知識(shí)。第一節(jié)球面幾何球面幾何研究分布在球面上的圖形的性質(zhì)，其所涉及的部分概念與原理，是學(xué)習(xí)天文航海必備的基本知識(shí)。、球和球面一個(gè)半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)面,稱為球面。球面所圍成的幾何體，稱為球,或稱球體。球內(nèi)到球面上任一點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)，稱為球心。連接球心和球面上任一點(diǎn)的線段，稱為球的半徑

2、；連接球面上兩點(diǎn)且通過球心的線段，稱為球的直徑。直徑的長(zhǎng)度是半徑的兩倍，且同一球體的半徑或直徑都相等。在天文航海中，近似于旋轉(zhuǎn)橢球體的地球，常被當(dāng)做球體加以研究。此外，宇宙也以球體模型加以描述。二、球面上的圓任一平面與球面相截的截痕是一個(gè)圓。如圖 1-1-1 所示，設(shè) HHHH 是過球心 O 的平面，平面M MM M 不過球心但平行于平面 HHHH,則平面M MM M 和H HH H與半徑為 R R 的球面相截，截痕 ABC 和 QQN 為圓。圖 1-1-1 中，設(shè) O 是過 O 點(diǎn)向平面 MMMM 所作垂線白垂足，OAR 為球的半徑，根據(jù)勾股定理，在直角三角形 AOO 中，有OAJOA2OO

3、2(1-1-1)設(shè) OOd,OAr,可得2.2rURd(1-1-2)分析圖 1-1-1 和式(1-1-2),可知：當(dāng)平面通過球心 O 時(shí)，d0,r rR,平面與球面相截所得的圓最大，稱為大圓，如圓QQN。大圓的圓心即為球心，半徑等于球的半徑。大圓上的一段圓周，稱為大圓弧。當(dāng)平面不通過球心 O 時(shí)，d0,r rR,平面與球面相截所得的圓小于大圓，稱為小圓,如圓 ABC。d 越大，即平面離球心越遠(yuǎn)，平面與球面相截所得的小圓越小。按照大圓的定義，可導(dǎo)出大圓具有如下特性：(1)大圓把球和球面分成相等的兩部分；(2)兩個(gè)大圓平面相互平分，其交線既是球的直徑，也是這兩個(gè)大圓的直徑；(3)過球面上不在同一直

4、徑兩端的任意兩點(diǎn)，僅能作一個(gè)大圓；(4)過同一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，在球面上可以作無數(shù)個(gè)大圓。三、球面距離球面上兩點(diǎn)間小于 180 的大圓弧(稱為劣弧)長(zhǎng)，是兩點(diǎn)間在球面上的最短距離，稱為兩點(diǎn)間的球面距離。如圖 1-1-2 所示，A A、B B 兩點(diǎn)的球面距離，即大圓弧 AB 的長(zhǎng)，且與 AB 所對(duì)應(yīng)的球心角AOB 同度。球面距離用大圓弧所對(duì)應(yīng)的球心角(、)表示。四、軸、極、極距和極線垂直于球面上的圓所在平面的球直徑，稱為該圓的軸，軸的兩個(gè)端點(diǎn)，稱為該圓的極。球面上從極到該圓上任一點(diǎn)的球面距離，稱為極距。同一個(gè)圓的極距都相等；大圓的極距等于 90;極距等于 90的大圓弧，稱為該極的極線。如圖 1-1

5、-3 所示，直徑 PP 同時(shí)垂直于小圓 CD 和大圓 AB 的平面，因此，PP 既是小圓 CD 的軸，也是大圓AB 的軸，其兩個(gè)端點(diǎn) P P 和 P 同是小圓 CD 和大圓 AB 的極。顯然，小圓 CD 的極距 PCPD,PCPD;大圓 AB 的極距PAPBPAPB90;大圓弧 AB 即 P P 或 P 的極線。五、球面角及其度量球面上兩個(gè)大圓弧所構(gòu)成的角，稱為球面角。構(gòu)成球面角的兩個(gè)大圓弧，稱為該球面角的邊，邊的交點(diǎn)稱為該球面角的頂點(diǎn)。如圖 1-1-4 所示，APBAPB 和 APB 為兩個(gè)球面角。對(duì)球面角 APB,PAPB,P 為頂點(diǎn)，兩條邊分別為大圓弧 PA 和 PB。球面角的大小用過其

6、頂點(diǎn)的兩個(gè)大圓弧平面所構(gòu)成的二面角來度量的，具體度量方法有以下三種(圖1-1-4)：(1)用頂點(diǎn)的極線被球面角兩條邊所截的弧長(zhǎng) AB 來度量；(2)用頂點(diǎn)的極線被球面角兩條邊所截的弧長(zhǎng) AB 所對(duì)應(yīng)的球心角 AOB 來度量；(3)用過頂點(diǎn)所作的兩個(gè)大圓弧的兩條切線間的夾角 CPD 來度量。圖 1-1-4 球閽怵其度量圖 1-1-2期距離圖 1-1-3 軸、碉極距和極線第二節(jié)球面三角學(xué)球面三角學(xué)研究球面上由三個(gè)大圓弧所構(gòu)成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的核心理論。、球面三角形球面上由三個(gè)大圓弧相交所構(gòu)成的圖形稱為球面三角形。 構(gòu)成球面三角形的大圓弧， 稱為球面三角形的邊；由大圓弧構(gòu)成的球面

7、角， 稱為球面三角形的角。 球面三角形的三條邊和三個(gè)角， 統(tǒng)稱為球面三角形的六個(gè)元素。如圖 1-2-1 所示， 三角形 ABC 即球面三角形， 其六個(gè)元素分別為邊 a、b、c 和角 A A、B B、C。在球面上，三個(gè)大圓弧構(gòu)成 4 組對(duì)稱球面三角形。航海上所使用的球面三角形，邊和角均大于 0而小于 180,稱為歐拉球面三角形。因邊和角取值的不同，球面三角形又可分為任意球面三角形(如 ABC)、球面直角三角形(一個(gè)或一個(gè)以上的角為直角)、球面直邊三角形(一條或一條以上的邊等于 90)和特殊球面三角形(一個(gè)角及其對(duì)應(yīng)的邊很小，或三條邊都很小)等。 不同類型的球面三角形在航海上各具不同的用途。、球面

8、三角形的相等和相似在同一球面上或在半徑相等的兩個(gè)球面上，兩個(gè)球面三角形的對(duì)應(yīng)邊和角分別相等， 且邊和角的排列順序相同，則稱兩個(gè)球面三角形相等。判斷兩個(gè)球面三角形相等的條件(任一成立即可)如下：(1)兩邊及其夾角相等；(2)兩角及其夾邊相等；(3)三邊相等；(4)三角相等。在半徑不同的球面上，邊角度數(shù)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)球面三角形，稱為相似球面三角形。三、球面三角形的基本性質(zhì)根據(jù)定義，可導(dǎo)出球面三角形的基本性質(zhì)如下：(1)球面三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;圖 1-2-1 樽碼三角形(2)球面三角形的三邊之和大于 0 且小于 360,三角之和大于 180 且小于 540；(3)球面三角

9、形的兩角之和減去第三角小于 180;(4)若球面三角形的兩邊相等，則此兩邊的對(duì)角相等；反之，若兩角相等，則此兩角的對(duì)邊相等；(5)球面三角形中，大角對(duì)大邊；反之，大邊對(duì)大角。四、球面三角形中邊和角的函數(shù)關(guān)系球面三角學(xué)的主要任務(wù)之一，是研究球面三角形六個(gè)元素之間的函數(shù)關(guān)系，表示這種關(guān)系的方程稱為球面三角公式。在眾多球面三角公式中，天文航海中常用的公式包括：1 .邊的余弦公式球面三角形任一邊的余弦，等于其余兩邊余弦的乘積，加上該兩邊的正弦及其夾角的余弦的乘積。如圖 1-2-1 所示，在球面三角形cosacosbcosccosbcosacosc邊的余弦公式表示球面三角形的三條邊和一個(gè)角之間的關(guān)系，可

10、用于已知三邊求一角,或已知兩邊及其夾角求第三邊。2 .正弦公式球面三角形各邊的正弦與其對(duì)角的正弦成正比。如圖 1-2-1 所示，在球面三角形 ABC 中,正弦公式為sinasinbsinc(1-2-2)sinAsinBsinC正弦公式表示球面三角形的邊與其對(duì)角之間的關(guān)系，可用于已知兩邊一對(duì)角求另一對(duì)角，或已知兩角一對(duì)邊求另一對(duì)邊。3 .余切公式(又稱相鄰四元素公式、四聯(lián)公式)將球面三角形中相聯(lián)四個(gè)元素依次排列，在中間的邊、角，叫中邊、中角，在兩端的邊、角叫端邊、端角，則用球面三角形的余切公式可以寫成cot 端角 sin 中角=cot 端邊 sin 中邊 cos 中邊 cos 中角(1-2-3)

11、4圖 1-2-所示，在球面三角形 ABC 中，余切公式為：cotAsinBcotasinccosccosBcotAsinCcotasinbcosbcosCABC 中，邊的余弦公式為sinbsinccosAsinasinccosB(1-2-1)cosccosacosbsinasinbcosCcotBsinCcotbsinacosacosC(1-2-4)cotBsinAcotbsinccosccosAcotCsinAcotcsinbcosbcosAcotCsinBcotcsinacosacosB余切公式表示球面三角形相聯(lián)四元素之間的關(guān)系，可用于已知相聯(lián)三個(gè)元素，求相聯(lián)的另一兀素。思考題1 .何為大圓、小圓？大圓與小圓的主要區(qū)別是什么？2 .何為球面距離和球面角