等差數(shù)列知識點總結材料

1、第一講數(shù)列定義及其性質(zhì)一、基本概念：1、通項公式：an ；2、前 n 項和： Sn3、關系： anSnSn 1 (n2)二、性質(zhì)：1、單調(diào)性：增數(shù)列：anan 1 ；減數(shù)列： anan 1 ；常數(shù)列： anan 12、最值：最大值：減數(shù)列an 最小值：增數(shù)列最大值： + L (0)Sn若 S7最大，則 a7若 S7或 S8最大，則最小值 : 與上面相反0, a80a70, a8 =0, a90,3、前 n 項積 Tn 有最大值：三、幾種常見數(shù)列：1、 -1,7,-13,19 L2、 7,77,777, L13 53、，L2 4 8164、 11，4L924685、，,L隨堂訓練：1、已知數(shù)列

2、an 通項公式是 an2n，那么這個數(shù)列是（）3n1A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列2、已知數(shù)列 an 滿足 a10 ，an 11）an，那么這個數(shù)列是（2A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列3、已知數(shù)列 an 通項公式是 ann2kn 2 ，若對任意 nN * ，都有 an 1an 成立，則實數(shù) k 的取值范圍是（）4、已知數(shù)列 an 通項公式是 ann10 ,Tn 是數(shù)列 an 的前 n 項積，即 Tna1a2a3 L an ，2n1當 Tn 取到最大值是， n 的值為（）5、設數(shù)列 an 的前 n 項和 Snn2 ，則 a8 的值是（）等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識

3、點回顧與技巧點撥1等差數(shù)列的定義一般地， 如果一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示2等差數(shù)列的通項公式若等差數(shù)列 a n的首項是a1，公差是 d，則其通項公式為an a1 (n 1)d (n m)d p.3等差中項如果三個數(shù)x，A，y 組成等差數(shù)列，那么A 叫做 x 和 y 的等差中項，如果A 是 x 和 y 的等差x y中項，則A2.4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an am (nm)d(n， mN* )(2)若 an為等差數(shù)列，且m n p q，則 am an ap aq(m，n

4、， p， q N* )(3)若 an是等差數(shù)列，公差為 d，則 ak， ak m ，ak 2m， (k，m N* )是公差為 md 的等差數(shù)列(4)數(shù)列 Sm， S2m Sm，S3m S2m ，也是等差數(shù)列(5)S2 n1 (2n 1)an.nd(6)若 n 為偶數(shù)，則S 偶 S 奇 2 ；若 n 為奇數(shù)，則S 奇 S 偶 a 中 (中間項 )5等差數(shù)列的前n 項和公式若已知首項a1 和末項 an，則 Sn n?a1 an?，或等差數(shù)列 an的首項是 a1 ，公差是 d，則其前 2n?n 1?n 項和公式為Sn na1d .26等差數(shù)列的前 n 項和公式與函數(shù)的關系d2dnn2n1 2 An

5、Bn(A， B 為常數(shù) )S 2nan，數(shù)列 a 是等差數(shù)列的充要條件是S7最值問題an an 1 為同一常數(shù)；在等差數(shù)列 a n1n存在最大值，若1n存在最小值中， a 0， d0，則 Sa0， d 0，則 S一個推導利用倒序相加法推導等差數(shù)列的前n 項和公式：Sn a1 a2 a3 an，Sn anan 1 a1，得：Snn?a1an?2.兩個技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設元(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為，a 2d， a d， a， a d， a 2d， .(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為，a 3d， a d， a d， a 3d，其余各

6、項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設元四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對于n 2 的任意自然數(shù)，驗證(2)等差中項法：驗證2an 1 an an2 (n 3， n N* )都成立；(3)通項公式法：驗證an pn q；(4)前 n 項和公式法：驗證Sn An2 Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列基礎訓練：（公式的運用，定義的把握）1已知等差數(shù)列an中， a3=9， a9=3，則公差d 的值為（）AB1CD12已知數(shù)列 an的通項公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（）A 以 7 為首項，公差為2 的等差數(shù)列B 以 7 為首項，公差為5 的等差數(shù)列C 以 5

7、為首項，公差為2 的等差數(shù)列D 不是等差數(shù)列3在等差數(shù)列 an中， a1=13， a3=12，若 an=2，則 n 等于（）A 23B 24C 25D 264兩個數(shù) 1 與 5 的等差中項是（）A1B3C2D5（ 2005?黑龍江）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）+a a +aB a +a =a +aC a +a a +aD a a =a aA a1 8 4 51845184518 45考點 1:等差數(shù)列的通項與前n 項和題型 1：已知等差數(shù)列的某些項，求某項【解題思路】給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法【例 1】已知an 為等差數(shù)列，a158,a6020 ，則 a75對應練

8、習 ：1、已知an 為等差數(shù)列，amp, anq （ m, n, k 互不相等），求 ak .2、已知 5 個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5 ，平方和為 165 ，求這 5 個數(shù) .題型 2：已知前 n 項和 Sn 及其某項，求項數(shù).【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式ana1 ( n 1)d 求出 a1 及 d ，代入 Sn 可求項數(shù) n ；利用等差數(shù)列的前 4 項和及后4 項和求出 a1 an ，代入 Sn 可求項數(shù) n .【例 2】已知 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項和， a4 9, a96, Sn 63 ，求 n對應練習：3、若一個等差數(shù)列的前4 項和為36，后4 項和為124，且所有項的

9、和為780，求這個數(shù)列的項數(shù) n .4、已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項和， a11, a47, Sn100 ，則 n.題型 3：求等差數(shù)列的前n 項和【解題思路】 （1）利用 Sn 求出 an ，把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.（2）含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.【例 3】已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項和， Sn12 nn2.a1 a2 a3 ；求 a1 a2 a3a10；求 a1 a2 a3an .（1 ）練習：對應練習： 5、已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項和， S10100, S10010 ，求 S110 .考點 2 ：證明數(shù)列是等差數(shù)

10、列【名師指引】 判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、定義法： an 1an d （ nN ， d 是常數(shù)）an是等差數(shù)列；2、中項法： 2an1anan 2 ( nN )an是等差數(shù)列；3、通項公式法：anknb （ k, b 是常數(shù)）an是等差數(shù)列；4、項和公式法：SnAn2Bn （ A, B 是常數(shù)， A0 ）an 是等差數(shù)列 .【例 4】已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項和，Sn(nN ).求證：數(shù)列bn 是等差數(shù)列 .nbn對應練習： 6、設 Sn 為數(shù)列 an的前 n 項和， Sn pnan (nN ) ， a1 a2 .（1 ） 常數(shù) p 的值； （2）證：數(shù)列 an 是等

11、差數(shù)列 .考點 3 :等差數(shù)列的性質(zhì)【解題思路】利用等差數(shù)列的有關性質(zhì)求解.【例 5】 1、已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項和， a6100 ，則 S11；2、知 Sn 為等差數(shù)列 an 的前n 項和， Sn m, Smn(n m) ，則 Sm n.對應練習： 7、含 2n1個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（）A. 2n 1B. n 1C. n 1D . n 1nnn2n8.設 Sn 、 Tn 分別是等差數(shù)列 an 、 an的前 n 項和，Sn7n2a5.Tnn3，則b5考點 4： 等差數(shù)列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用 an 與 Sn 的關系式及等差數(shù)列的通項公式可

12、求；2、求出 Tn 后，判斷 Tn的單調(diào)性 .【例 6】已知 S 為數(shù)列 an的前 n 項和，Sn1211；數(shù)列 b滿足： b311 ，nnnn22bn 2 2bn 1 bn ，其前 9項和為153. 數(shù)列 an 、 bn 的通項公式；設 Tn 為數(shù)列cn的前 n 項和， cn6，求使不等式(2an11)( 2bn 1)TnknN 都成立的最大正整數(shù)k 的值 .對57課后練習：1.(2010 廣雅中學 )設數(shù)列an 是等差數(shù)列，且a28 ， a155 ， Sn 是數(shù)列an 的前 n 項和，則A S10 S11B S10S11C S9S10D S9 S102.在等差數(shù)列an 中， a5120 ，則 a2a4 a6a8.3.數(shù)列an 中， an2n49 ，當數(shù)列an 的前 n 項和 Sn 取得最小值時，n.4.已知等差數(shù)列an共有