離散傅里葉變換學習目標1掌握DFT的定義物理含義2

1、第 3 章 離散傅里葉變換一、學習目標1.掌握 DFT的定義、物理含義；2.熟練掌握圓周卷積的計算，線性卷積和圓周卷積的關系；3.掌握 DFT進行譜分析三種誤差產生的原因及解決辦法；4.了解頻域采樣定理。二、本章導航3.3 離散傅里葉級數(shù)3.4 離散傅里葉變換3.5 頻域采樣理論3.6 用 DFT 計算線性卷積3.7 用 DFT 進行頻譜分析DFT 是為適應計算機分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運算，本章是數(shù)字信號處理課程的重點章節(jié)。3.3 離散傅里葉級數(shù)1. 周期序列的離散傅里葉級數(shù)連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示， 離散周期序列也可以表示成傅里葉級數(shù)形式。周期為 N 的復指數(shù)序列的 基頻序

2、列為k 次諧波 序列為由于，即，因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中只有 N 個是獨立的 。因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時， 我們只能取 N 個獨立的諧波分量 ，通常取 k=0 到 (N-1)，即（* ）式中， 1/N 是習慣上采用的常數(shù)，是 k 次諧波的系數(shù) 。利用將（ * ）式兩端同乘以，并對一個周期求和即由于所以也是一個以N 為周期的周期序列。因此，時域離散周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍然是一個周期序列。令，則其中，符號DFS. 表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS. 表示離散傅里葉級數(shù)反變換。2. 周期序列的傅里葉變換思路：由利用和 DTFT 的頻移特性，可得一、重點與難點1.DFT

3、的定義、性質，DFT 與 z 變換、 DTFT 之間的關系；2.循環(huán)卷積的計算；3.頻域采樣定理；4.圓周卷積和線性卷積的關系，DFT 計算線性卷積的框圖；5.DFT 進行譜分析參數(shù)選擇，三種誤差產生的原因及解決辦法。二、具體講解1. 頻域采樣定理離散傅里葉變換相當于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說實現(xiàn)了頻域的采樣，便于計算機計算。 那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？這是一個很吸引人的問題。我們考慮一個任意的絕對可和的序列x(n)，它的 z 變換為如果對 X(z) 單位圓上進行等距離采樣現(xiàn)在要問，這樣采樣以后，信息有沒有損失？或者說，采樣后所獲得的有限長序列 xN(n) 能不能

4、代表原序列 x(n)。為了弄清這個問題，我們從周期序列開始由于所以也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其時域周期為頻域采樣點數(shù)N。在第一章我們看到，時域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對稱的看到，頻域采樣同樣造成時域的周期延拓。因此，如果序列x(n)不是有限長的，則時域周期延拓時，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產生誤差。對于長度為M 的有限長序列，只有當頻域采樣點數(shù)N 大于或等于序列長度M 時，才有即可由頻域采樣值 X(k)恢復出原序列 x(n)，否則產生時域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。2. 用 DFT 進行譜分析的誤差問題（1）混疊現(xiàn)象利用 DFT 逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，

5、為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。（ 2）頻譜泄露任何帶限信號都是非時限的，任何時限信號都是非帶限的。實際問題中遇到的離散時間序列可能是非時限的、無限長序列，在對該序列利用DFT 進行處理時，由于作的點數(shù)總是有限的， 因此就有一個必須將該序列截斷的問題。序列截斷的過程相當于給該序列乘上一個矩形窗口函數(shù)RN(n) 。如果原來序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截斷后有限長序列的頻譜為由于矩形窗函數(shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。在進行 DFT 時，由于取無限個數(shù)據(jù)是不可

6、能的，所以序列的時域截斷是必然的，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要根據(jù)具體的情況，選擇適當形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。（3）柵欄效應由于 DFT 是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當于透過一個柵欄去觀察原來信號的頻譜， 因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。由于柵欄效應總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋 ”而無法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補若干個零值，借以改變原序列的長度。這樣對加長的序列作 DFT 由于點數(shù)增加就相當于調整了原來柵欄的間隙， 可以使原來得不

7、到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。時，一、例題1. 設 x(t)的最高頻率 fc 不超過 3Hz，現(xiàn)用 fs 10Hz，即 T0.1s 對其抽樣，求所得到的頻率最大分辨率。如果信號x(n)由三個正弦組成，其頻率分別 f1 2Hz，f22.02Hz，f3 2.07Hz，即那么用 DFT 求其頻譜時，能否分辨出三個頻率分量？解： x(t) 的最高頻率 fc 不超過 3Hz，現(xiàn)用 fs 10Hz 對其抽樣，由抽樣定理可知，不會發(fā)生混疊問題。 Tp 25.6s，對 x(n)做 DFT 時，所得到的頻率最大分辨率如果信號 x(n)由三個正弦組成，其頻率分別f1 2Hz，f2 2.02Hz

8、，f3 2.07Hz，那么用 DFT 求其頻譜時， 由于，所以不能分辨出由f2 產生的正弦分量；又由于，所以能分辨由f3 產生的正弦分量。2. 對有限長序列的 Z 變換在單位圓上進行5 等份采樣，得到采樣值，即，試根據(jù)頻率采樣定理求的逆離散傅里葉變換。解：二、習題1.證明：若 x(n)實偶對稱，即 x(n)= x(N-n) ，則 X(k)也實偶對稱。2.已知序列，今對其 Z 變換 X(z) 在單位圓上 N 等分采樣，采樣值為求有限長序列。3. 研究兩個有限長序列 x(n)和 y(n)，此二序列當 n<0 時皆為零，并且x(n)=0n8y(n)=0各作其 20 點n20DFT ，然后將兩個DFT相乘，再計算乘積序列的IDFT得 r(n)，試指出 r(n)的哪些點對應于 x(n)和 y(n)作線性卷積應得到的點。4.