高中數(shù)學全套知識點

1、集合一 定義集合是高中數(shù)學中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說明。某些確定的且不同的對象集在一起就成為集合。組成集合的對象叫做元素。二 集合的抽象表示形式用大寫字母A，B，C表示集合；用小寫字母a，b，c表示元素。三 元素與集合的關系有屬于，不屬于關系兩種。元素a屬于集合A，記作；元素a不屬于集合A，記作。四 幾種集合的命名有限集：含有有限個元素的集合；無限集：含有無限個元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；有理數(shù)集：Q；實數(shù)集：R。五 集合的表示方法(一) 列舉法：把元素一一列舉在大括號內(nèi)的表示方法，例如：a,b,c。注

2、意：凡是以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。(二) 描述法：有以下兩種描述方式1代號描述：【例】方程的所有解組成的集合，可表示為x|x2-3x+2=0。x是集合中元素的代號，豎線也可以寫成冒號或者分號，豎線后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。2文字描述：將說明元素性質(zhì)的一句話寫在大括號內(nèi)?！纠看笥?小于5的整數(shù)；描述法表示的集合一旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就說要判斷元素到底是什么。(三) 韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個集合之間的所有關系。1子集：如果屬于A的所有元素都屬于B，那么A就叫做B的子集，記作：，如圖1-1所示。 圖1-1子集有兩種極限情況：(1)當A

3、成為空集時，A仍為B的子集； (2)當A和B相等時，A仍為B的子集。真子集：如果所有屬于A的元素都屬于B，而且中至少有一個元素不屬于A，那么A叫做B的真子集，記作或。真子集也是子集，和子集的區(qū)別之處在于。對于同一個集合，其真子集的個數(shù)比子集少一個。(1)求子集或真子集的個數(shù)，由n各元素組成的集合，有2n個子集，有2n -1個真子集；(2)空集的考查：凡是提到一個集合是另一個集合的子集，作為子集的集合首先可以是空集，的等價形式主要有：。2交集：由兩個集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個集合的交集，記作，讀作A交B，如圖1-2所示。 圖1-2 圖1-3 圖1-43并集：由兩個集合所有元素組成的集合

4、，叫做這兩個集合的并集，記作，讀作A并B，如圖1-3所示。4補集：由所有不屬于的元素組成的集合，叫做在全集中的補集，記作，讀作A補，如圖1-4所示。德摩根公式 ：.(四) 區(qū)間表示法：數(shù)軸上的一段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開區(qū)間和閉區(qū)間，開區(qū)間用小括號表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函數(shù)一 映射與函數(shù)的基本概念(一) 映 射A集合中的每個元素按照某種對應法則在B集合中都能找到唯一的元素和它對應，這種對應關系叫做從A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相應元素叫做象。在A到B的映射中，

5、從A中元素到B中元素的對應，可以多對一，不可以一對多。 圖2-1是映射 圖2-2是一一映射 圖2-3不是映射()求映射(或一一映射)的個數(shù)，m個元素的集合到n個元素的集合的映射的個數(shù)是nm。()判斷是映射或不是映射：可以多對一，不可以一對多。(二) 函數(shù)的概念定義域到值域的映射叫做函數(shù)。如圖2-4。高中階段，函數(shù)用f(x)來表示：即x按照對應法則f對應的函數(shù)值為f(x)函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。偶爾也用表格表示函數(shù)。函數(shù)三要素：定義域A：x取值范圍組成的集合。值域B：y取值范圍組成的集合。對應法則f：y與x的對應關系。有解析式和圖像和映射三種表示形式 函數(shù)與普通映射的區(qū)別在于：(1

6、)兩個集合必須是數(shù)集； (2)不能有剩余的象，即每個函數(shù)值y都能找到相應的自變量x與其對應。 圖2-4 二 定義域題型 (一) 具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考查有兩種形式直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 與中且，列不等式求解。(二)抽象函數(shù)：只要對應法則相同，括號里整體的取值范圍就完全相同。三 值域題型(一) 常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段。常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù)。(二) 非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設法變形成常規(guī)函數(shù)求值域。解題步驟：(1)換元變形；(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值

7、范圍；(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。(三) 分式函數(shù)求值域 ：四種題型(1) ：則且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍。(3)： ，則且。(4)求的值域，當時，用判別式法求值域。， 值域(四) 不可變形的雜函數(shù)求值域： 利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段。判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復合函數(shù)法，其次求導數(shù)；大題首選求導數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識講解。(五) 原函數(shù)反函數(shù)對應求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域。(六) 已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知

8、值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?。?函數(shù)運算法則（一） 指數(shù)運算法則 運用指數(shù)運算法則，一般從右往左變形。（二） 對數(shù)運算法則同底公式： 運用對數(shù)運算法則，同底的情況，一般從右往左變形。不同底公式： 運用對數(shù)運算法則，不同底的情況，先變成同底。五 函數(shù)解析式(一) 換元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，(設2x + 3=3-7t)。(二) 構(gòu)造法：如，求f(x)。(三) 待定系數(shù)法：通過圖像求出y=Asin(x +) + C中系數(shù)(四) 遞推：需利用奇偶性、對稱性、周期性的定義式或運算式遞推。(五) 求原函數(shù)的反函數(shù)：先反表示，再x、y互換。六 常規(guī)函數(shù)的圖像常規(guī)函

9、數(shù)圖像主要有： 指數(shù)函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)， 對數(shù)函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)，底數(shù)越來越大 底數(shù)越來越小冪函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來越大。其他象限圖象看函數(shù)奇偶性確定。七 函數(shù)的單調(diào)性(一) 定義：在給定區(qū)間范圍內(nèi)，如果x越大y越大，那么原函數(shù)為增函數(shù)；如果x越大y越小，那么原函數(shù)為減函數(shù)。(二) 單調(diào)性題型：1.求單調(diào)性區(qū)間：先找到最基本函數(shù)單元的單調(diào)區(qū)間，用復合函數(shù)法判斷函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，從而確定單調(diào)區(qū)間。復合函數(shù)法： ：當0 x 1時，x，x2，- x2，2.判斷單調(diào)性 (1).求導函數(shù)：為增函數(shù)，為減函數(shù)(2).利用定義：設x1x 0時，有.或.無理不等式：(1) .(2).(3)(三)指數(shù)不等

10、式 對數(shù)不等式不等號兩邊同時取指數(shù)或同時取對數(shù)，變成相同的形式后，再換元成有理不等式求解。(1)當時,; .(2)當時,;三 線性規(guī)劃線性規(guī)劃，出題現(xiàn)象如下： 設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為（ )A.4 B.11 C.12 D.14解題步驟：（1）把不等式組中的一次式看成直線，在平面直角坐標系中畫直線，標明直線序號（2）依據(jù)以下結(jié)論確定平面區(qū)域：是點在直線上方（包括直線） 是點在直線下方（包括直線）；是點在直線上方（不包括直線）是點在直線下方（不包括直線）（3）確定目標函數(shù)函數(shù)值的幾何意義 （4）若目標函數(shù)值z表示截距，在已知區(qū)域內(nèi)平移目標函數(shù)直線，找出使截距取最大值和最小值的端點，求

11、出端點坐標代入目標函數(shù)，得出z的最值。若目標函數(shù)z表示距離或者距離的平方，精確作圖，在圖像中直接觀察距離的最大值與最小值相當于是點與點的距離還是點與直線的距離，用距離公式直接求最值。若目標函數(shù)z表示斜率，精確畫圖，利用求斜率取值范圍結(jié)論，求最值。導數(shù)一 導數(shù)的概念（一）導數(shù)的定義1.導數(shù)的原始定義：設函數(shù)在處附近有定義，如果時，與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即2導函數(shù)的定義：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。 （

12、二）導數(shù)的實際意義：1.導數(shù)的幾何意義：是曲線上點()處的切線的斜率因此，如果在點可導，則曲線在點()處的切線方程為2.導數(shù)的物理意義：導數(shù)是物體變速直線運動的瞬時速度，也叫做瞬時變化率。（三）概念部分題型：1.利用定義求函數(shù)的導數(shù) 主要有三個步驟：(1)求函數(shù)的改變量(2)求平均變化率(3)取極限，得導數(shù) 2.利用導數(shù)的實際意義解題主要有兩種：求切線方程和瞬時速度，考試重點為求切線方程。二 導數(shù)的運算（一）常見函數(shù)的導數(shù)1 2 3 4 56 7 8（二）導數(shù)的四則運算 1和差：2積： 3商： （三）復合函數(shù)的導數(shù)：1運算法則復合函數(shù)導數(shù)的運算法則為：2復合函數(shù)的求導的方法和步驟：求復合函數(shù)的

13、導數(shù)一定要抓住“中間變量”這一關鍵環(huán)節(jié)，然后應用法則，由外向里一層層求導，注意不要漏層。 求復合函數(shù)的導數(shù)的方法步驟：(1)分清復合函數(shù)的復合關系，選好中間變量(2)運用復合函數(shù)求導法則求復合函數(shù)的導數(shù)，注意分清每次是哪個變量對哪個變量求導數(shù)(3)根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則求出各函數(shù)的導數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù) 三 導數(shù)的應用（一）利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求解單調(diào)區(qū)間。1.導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系： (1)若(x)0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，(x)0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為增區(qū)間；(2)若(x)0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b

14、)上是減函數(shù)，(x)0，則f(x)在對應區(qū)間上是增函數(shù)，對應區(qū)間為增區(qū)間；(x)0時,和s總是趨向于一個定值,則該定值便稱為函數(shù)在上的定積分,記為，即 其中, 稱為函數(shù)在區(qū)間的積分和.2、定積分的幾何意義定積分在幾何上,當時,表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；當時，表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積的負值；一般情況下，表示介于曲線、兩條直線、與軸之間的個部分面積的代數(shù)和（二）微積分基本定理1、基本定理若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在上可積，且 這稱為牛頓一萊布尼茨公式，它也常寫成 二、常用的不定積分公式： 1. 2. ()3. 4. (，)5. 6. 7.

15、8. 9. 10.12.13.14.本節(jié)主要考察利用積分的公式熟練的計算。復數(shù)一 復數(shù)的概念1.虛數(shù)單位：(1)它的平方等于-1，即；(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2. 與1的關系: 就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14. 復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*5. 復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母z表示，即，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式6.復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及

16、0的關系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、bR)是實數(shù)a；當b0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)07. 復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：NZQRC二 復數(shù)與復平面1. 兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小也只有當兩個復數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小2.復平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi(a、bR)可用點

17、Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù) 對于虛軸上的點原點對應的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)， 它所確定的復數(shù)是z=0+0i=0表示是實數(shù)故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數(shù)復平面內(nèi)的點這是因為，每一個復數(shù)有復平面內(nèi)惟一的一個點和它對應；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復數(shù)和它對應這就是復數(shù)的一種幾何意義也就是復數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三 復數(shù)的運算1復數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d

18、)i2. 復數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 復數(shù)的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z14. 復數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)5乘法運算規(guī)則：設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其實就是把兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù)6. 乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ；(2)z1(z2+z3)=z1z

19、2+z1z3；(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z37. 除法運算規(guī)則：8.共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)復數(shù)z=a+bi和=abi(a、bR)互為共軛復數(shù)四 復數(shù)的幾何意義1. 復數(shù)加法的幾何意義：如果復數(shù)z1，z2分別對應于向量、，那么，以OP1、OP2為兩邊作平行四邊形OP1SP2，對角線OS表示的向量就是z1+z2的和所對應的向量 2. 復數(shù)減法的幾何意義：兩個復數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應3復數(shù)的模：第六章 概率一 事件（一）、在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某

20、種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做確定性現(xiàn)象（二）、在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象（三）、必然會發(fā)生的事件叫做必然事件；肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件二 概率在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增多，隨機事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫該隨機事件發(fā)生的可能性大小，而將頻率作為其近似值。1.概率： 一般地，如果隨機事件在次試驗中發(fā)生了次，當試驗的次數(shù)很大時，我們可以將發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生的概率的近似值，即2概率的性質(zhì)： 隨機事件的概率為，必然事件和不可能事件

21、看作隨機事件的兩個特例，分別用和表示，必然事件的概率為，不可能事件的概率為，即，;3.（1）頻率的穩(wěn)定性 即大量重復試驗時，任何結(jié)果（事件）出現(xiàn)的頻率盡管是隨機的，卻“穩(wěn)定”在某一個常數(shù)附近，試驗的次數(shù)越多，頻率與這個常數(shù)的偏差大的可能性越小，這一常數(shù)就成為該事件的概率;（2）“頻率”和“概率”這兩個概念的區(qū)別是：頻率具有隨機性，它反映的是某一隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，它反映的是隨機事件出現(xiàn)的可能性；概率是一個客觀常數(shù)，它反映了隨機事件的屬性.1.隨機事件的概率：我們已經(jīng)學習用概率表示一個事件在一次試驗或觀測中發(fā)生的可能性的大小，它是在之間的一個數(shù)，將這個事件記為，用表示事件發(fā)生的概率.三 古典

22、概型1、基本事件： 一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件2、等可能基本事件：若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件。3、如果一個隨機試驗滿足：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的； 那么，我們稱這個隨機試驗的概率模型為古典概型4、古典概型的概率：如果一次試驗的等可能事件有個，那么，每個等可能基本事件發(fā)生的概率都是；如果某個事件包含了其中個等可能基本事件，那么事件發(fā)生的概率為5、古典概型解題步驟：閱讀題目，搜集信息；判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；求出基本事件總數(shù)和事件所包含的結(jié)果數(shù)；

23、用公式求出概率并下結(jié)論.四 幾何概型幾何概型的概念：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型幾何概型的基本特點：（）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；（）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率說明：（）的測度不為；（）其中測度的意義依確定，當分別是線段，平面圖形，立體圖形時，

24、相應的測度分別是長度，面積和體積（）區(qū)域為開區(qū)域；（）區(qū)域內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關第十八章 計數(shù)原理(理科)一 分類、分步原理（一）分類原理：.分類原理題型比較雜亂，須累積現(xiàn)象。幾種常見的現(xiàn)象有：1開關現(xiàn)象:要根據(jù)開啟或閉合開關的個數(shù)分類2數(shù)圖形個數(shù):根據(jù)圖形是由幾個單一圖形組合而成進行分類求情況數(shù)3球賽得分：根據(jù)勝或負場次進行分類（二）分步原理：.兩種典型現(xiàn)象：1涂顏色(1)平面圖涂顏色:先涂接觸區(qū)域最多的一塊(2)立體圖涂顏色：先涂具有同一頂點的幾個平面，其他平面每步涂法分類列舉2映射按步驟用A集合

25、的每一個元素到B集合里選一個元素，可以重復選。 二 排列組合（一）常規(guī)題型求情況數(shù)1.直接法：先排(選)特殊元素，再排(選)一般元素。捆綁法，插空法。2.間接法：先算總情況數(shù)，再排除不符合條件的情況數(shù)。（二）七種?？挤浅Ｒ?guī)現(xiàn)象1小數(shù)量事件需要分類列舉：凡不可使用公式且估計情況數(shù)較少，要分類一一列舉(例1，例2)2相同元素的排列：用組合數(shù)公式選出位置把相同元素放進去，不用排順序(例3例4)3有序元素的排列: 用組合數(shù)公式選出位置把有序元素放進去，不用排順序(例5例6)4剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配時，用隔板法。(例7例8)5邁步與網(wǎng)格現(xiàn)象: (例9例10)要看一共走幾步，把特殊的幾

26、步選出來，有幾種選法就有幾種情況6立體幾何與解析幾何現(xiàn)象：多數(shù)用排除法求情況數(shù)(例11)7平均分組現(xiàn)象: (例12例13)先用分步原理選出每一組的元素，再除以因為平均分組算重復的倍數(shù)，平均分n組，就除以，有幾套平均分組就除幾個（三）排列數(shù)，組合數(shù)公式運算的考察1.排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.2. 排列恒等式 (1);(2);(3); (4);(5).(6) .3. 組合數(shù)公式 =(N*，且).4. 組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.5. 組合恒等式(1);(2);(3); (4)=;(5).(6).(7).(8).(9).(10).6. 排列數(shù)與組合數(shù)的關系 .三

27、 二項式定理（一） 公式1二項式定理：.展開式具有以下特點： 項數(shù)：共有項； 系數(shù)：依次為組合數(shù) 每一項的次數(shù)是一樣的，即為次，展開式依的降冪排列，的升冪排列展開.2二項展開式的通項.展開式中的第項為：解三角形一 正弦定理（一）知識與工具：正弦定理：在ABC中，。在這個式子當中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。注明：正弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應用：(1)三內(nèi)角和為180 (2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)面積公式：S=absinC=2R2sinAsinBsinC (4)三角函數(shù)的恒等變形。sin(A+B)=

28、sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin（二）題型 使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1 利用正弦定理公式原型解三角形題型2 利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。例如：題型3 三角形解的個數(shù)的討論方法一：畫圖看方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關系檢驗解出的結(jié)果是否符合實際意義，從而確定解的個數(shù)。二 余弦定理（一）知識與工具：a2=b2+c22bccosA cosA=b2=a2+c22accosB cosB=c2=a2+b22abcosC cosC=注明：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化

29、，當題中含有二次項時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應用：(1)三內(nèi)角和為180；(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。(3)面積公式：S=absinC=2R2sinAsinBsinC(4)三角函數(shù)的恒等變形。（二）題型使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1 利用余弦定理公式的原型解三角形題型2 利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式。題型3 判斷三角形的形狀該：結(jié)論：根據(jù)余弦定理，當a2+b2c2、b2+c2a2、c2+a2b2中有一個關系式成立時，該三角形為

30、鈍角三角形，而當a2+b2c2、b2+c2a2，c2+a2b2中有一種關系式成立時，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論。判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀。(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關系，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用A+B+C=這個結(jié)論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取出公因式，以免漏解。正余弦定理在實際中的應用求距離兩點間不可通又不可視兩點間可視但不可達兩點都不可達求高度底部可達底部不可達題型1 計算高度 題型2

31、 計算距離 題型3 計算角度 題型4 測量方案的設計實際應用題型的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進行求解。（三）其他常見結(jié)論1三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，2三角學中的射影定理：在ABC 中，3兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中，第十七章 空間向量（理科）一 空間向量的線性運算知識點1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)

32、乘運算如下(如下圖)。 ;運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：二 空間向量的基本定理知識點1. 共線向量(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當我們說向量、共線(或/)時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量、()，/存在實數(shù)，使。深化：(1)對于空間中的任意兩個向量來說都是共面的，但三個向量不一定共面(2)當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需證明其中一條直線上有一點在另外兩直線確定的平面

33、內(nèi)2. 共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數(shù)使。3. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。深化：(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們

34、把a，b，c叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底(2)推論中，若xyz，則根據(jù)共面向量定理得：P、A、B、C四點共面故可看成平面ABC的一個向量參數(shù)方程，其中x, y，z為參數(shù).三 向量的數(shù)量積(一)平面向量(二) 空間向量(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。(2)向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。(3)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：；。(5)空間向量數(shù)量積

35、運算律：；(交換律)；(分配律)。四 空間向量的直角坐標運算1.空間直角坐標系：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；(2)在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；(3)作空間直角坐標系時，一般使(或)，；(4)在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐標系規(guī)定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系

36、2空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系和向量，設為坐標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標如上圖3空間向量的直角坐標運算律：(1)如右圖：若，則， ，(2)若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標如右圖。立體幾何一 平行關系（一） 線線平行(圖3-1) 1如果兩條線都平行于第三條線，那么這兩條線 相互平行.2如果一條線平行于另一個平面，那么這條線就 平行于過

37、這條線的平面與已知平面的交線. 圖3-13如果兩個平面平行，那么另一個平面與這兩個平面的交線互相平行.4如果兩條直線都和另一個平面垂直，那 么這兩條直線平行.5在同一平面內(nèi)，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.（二） 線面平行(圖3-2)1如果平面外一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么直線與平面平行. 圖3-22如果兩個平面平行，一個平面內(nèi)的任何一條直 線平行于另一個平面 3如果平面與平面外一條直線同時垂直于另一條直線，那么線面平行4如果平面與平面外一條直線同時垂直于另一個平面，那么線面平行（三） 面面平行(圖3-3)1.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么面面平行

38、 2.如果兩個平面都平行于第三個平面，那么這兩個平面平行。 3.如果兩個平面同時垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行 圖3-3 二 垂直關系大部分都是通過垂直證垂直；不能證明的時候，平移到另一個位置證垂直。 （一） 線線垂直 如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線。 （二） 線面垂直1如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線，那么這條直線就垂直于兩條相交直線所在的平面2如果兩個平面垂直，在其中一個平面內(nèi)，垂直于公共棱的直線垂直于另一個平面（三） 面面垂直 (如圖3-4)1過一個平面垂線的平面垂直于已知平面 2二面角為直角的兩個平面垂直 （四） 不能直接證垂直的情況

39、 1把已知線或面平移到容易證明垂直的位置2找和已知線或面平行的線或面證垂直 圖3-4三 距離問題1能做出垂線段的直接求距離，垂足一定是特殊點(頂點，中點，內(nèi)心，外心)或在特殊直線(棱或?qū)蔷€)上2不能做出垂線段的，轉(zhuǎn)移后求距離：點到面 線到面 面到面3等體積性：，找到三個量就可以求出另一個量。四 多面體概念辨析與邊長、面積、體積（一） 題型分類總描述概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面體，直平行六面體，長方體，正四棱柱，正方體系列概念的對比，或正四面體，正四棱錐系列。邊長：將邊長放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。面積：找底和高體積：一般底面積好求，高看成是距離用上文“求距離

40、”的方法求。（二）棱柱1概念棱柱的概念：有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱。兩個互相平行的面叫棱柱的底面(簡稱底)；其余各面叫棱柱的側(cè)面；兩側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱；兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高(公垂線段長也簡稱高)2棱柱的分類：(1)總體分類：a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形這樣的棱柱分別叫三棱柱、四棱柱、五棱柱b.直棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。c.正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。例： 正四棱柱(2)四棱柱分類：a.普通四棱柱：上下底面是四邊形的棱柱。如圖3-5 b.平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。如圖3-6c.直平行六面體：側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。如圖3-7 d.長方體：底面是矩形的直平行六面體是長方體。如圖3-8e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱f.正方體：棱長都相等的長方體叫正方體。如圖3-9 圖3-5