隨機抽樣和抽樣分布

1、第三章 隨機抽樣和抽樣分布在前兩章的討論中，我們知道了隨機現(xiàn)象常常通過隨機變量及其概率分布和數(shù)字特征來描述，然而，在實際問題中，要準確知道概率分布和數(shù)字特征，有時是很困難的。例如，我們要以藥丸的崩解時間或藥片的溶解速度為指標來考察某一批藥品的質(zhì)量。若把這批藥品全部進行一下試驗，其分布函數(shù)及其有關的數(shù)字特征都可求出。但是，由于測定這些指標的試驗，一般是破壞性的，報廢了全部藥品即使求出了有關指標也無意義。還有一些檢驗指標，如蜜丸的重量、體積等，對它們的檢驗雖不是破壞性的，但要成批逐個檢驗，無論從人力還是物力上都會受到條件限制。事實上，人們總是通過對部分產(chǎn)品的試驗結果作分析，推斷出全部產(chǎn)品的情況。這

2、就是數(shù)理統(tǒng)計研究的一個主要問題。本章先討論樣本和統(tǒng)計量等基本概念，然后討論常見的幾種抽樣分布，為進一步討論統(tǒng)計推斷方法打下必要的理論基礎。§3-1 隨 機 抽 樣3-1.1 總體與樣本總體與樣本是數(shù)理統(tǒng)計中兩個主要概念。總體是指研究對象的全體，組成總體的每個單元稱為個體?？傮w可以包含有限個個體，也可以包含無限多個個體。某個總體是有限的，但在個體相當多的情況下，往往把它作為無限總體來對待。在數(shù)理統(tǒng)計中，我們不籠統(tǒng)地研究所關心的對象，只考察它的某一種數(shù)值指標，例如，考察某批中成藥丸的質(zhì)量時，可以考察崩解時間、溶解速率、丸重等項指標。這里，如果我們只需注意藥丸的重量，當然，每一丸都有一個確

3、定的重量如：6g，6.1g，6.01g，5.9g，。我們就把所有這些丸重數(shù)值當成丸重的總體；每個丸重值就是一個個體。這樣，丸重X實際上是一個隨機變量，它的取值的全體是一個總體，每一個可能取值就是它的個體。由于隨機變量是用其概率分布F(x)(或密度函數(shù))來刻畫，所以若X具有分布函數(shù)F(X)，則稱這一總體為具有分布函數(shù)F(X)的總體。為了研究總體，需在總體中抽取若干個個體，這就得出樣本的概念。定義1 在一個總體X中抽取n個個體X1，X2，Xn，這n個個體稱為總體X的一個容量為n的樣本。樣本容量n是指樣本中含有個體的數(shù)目，也稱樣本的大小。由于X1，X2，Xn是從總體中隨機抽出來的，可以看成是n個隨機

4、變量。但在一次抽取后，它們都是具體的數(shù)值，記作x1,x2,，xn，稱為樣本值。由于兩次各抽取n個個體的抽樣，得到的兩批樣本值一般是不同的，因此，在不至引起混亂的情況下有時也用x1,x2,，xn，表示n個隨機變量，以此泛指一次抽取后的結果。這樣，每當提到一個容量為n的樣本時，常有雙重含義：一是指某一次抽樣的具體數(shù)值x1，x2，xn；有時是泛指一次抽出的可能結果，就表示n個隨機變量。3-1.2 隨機抽樣抽樣的目的在于對總體的統(tǒng)計規(guī)律進行推斷，因而很自然地要研究該怎樣從總體中抽取樣本，使其盡可能地反映總體的特征。因此在抽樣時，既要考慮抽樣結果的代表性，又要考慮抽樣本身的可行性，簡便性。抽樣方法很多，

5、對于不同的抽樣方法，使用的統(tǒng)計推斷方法也將不同，這里主要討論簡單隨機抽樣。所謂簡單隨機抽樣是指在抽取樣本單位時，總體的每一個可能的樣本被抽中的概率相同。定義2 樣本X1，X2，Xn相互獨立且與總體X有相同的分布函數(shù)，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。本書主要討論簡單隨機樣本，以下簡稱樣本。由以上定義可見，簡單隨機樣本是滿足下述兩點要求的樣本：其一，抽樣隨機，總體中每個個體被抽到的機會均等。例如，在檢查藥品質(zhì)量指標時，有意識地選優(yōu)，就違反了隨機性原則，所得指標必然不能反映總體的質(zhì)量情況，不具代表性；其二，樣本X1，X2，Xn具有獨立性，即抽取一個個體后，總體成分不變。例如，從一小批產(chǎn)品中，抽樣檢查合格

6、品，要求有放回地抽樣，可滿足獨立性條件；若無放回地抽樣則不滿足獨立性條件。對于無限總體，由于抽出的一個樣品放回與否不改變總體成分，可看作不影響抽樣的獨立性。但實際應用中，即使總體個數(shù)N有限，只要被抽取的個體數(shù)n較小，比如不超過總體的5%，也可看作近似滿足獨立性條件，按無放回抽樣，這樣做可簡化計算。§3-2 樣本的數(shù)字特征3-2.1 統(tǒng)計量數(shù)理統(tǒng)計的主要任務，是以樣本的特性去推測總體的特性。為此，需要根據(jù)樣本構造出某種函數(shù)(樣本函數(shù))作為推測的基礎。如當隨機變量的某些總體數(shù)字特征未知時，就需要通過樣本構造相應的函數(shù)。不含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量，是統(tǒng)計推斷中最常使用的工具。定義

7、1設X1，X2，Xn為總體X的一個樣本，g(X1，X2，Xn)為一個樣本函數(shù)。如果g中不含有任何未知參數(shù)，則稱g為一個統(tǒng)計量。例 如，設XN(，2)，且為已知，2為未知，X1，X2，Xn是X的一個樣本，則是一個統(tǒng)計量；而僅是樣本函數(shù)，不是統(tǒng)計量，因為其中含有未知參數(shù)2。3-2.2 樣本的數(shù)字特征下面我們來構造統(tǒng)計推斷中最常使用的幾種樣本數(shù)字特征。它是估計總體數(shù)字特征的方法之一。一、 樣本均數(shù)定義2 設有容量為n的樣本X1，X2，Xn，則稱(X1+X2+Xn)為樣本均數(shù)，亦可寫為 或 (3-1)明顯地，由于容量為n的樣本是n個獨立同分布的隨機變量，所以樣本均數(shù)也是一個隨機變量。樣本均數(shù)的計算公式

8、表明，它不含任何未知參數(shù)，是一個統(tǒng)計量。二、 樣本方差、標準差、變異系數(shù)定義3 設有容量為n的樣本X1，X2，Xn則稱或 (3-2)為樣本方差；S稱為樣本標準差：稱為樣本變異系數(shù)。樣本方差、標準差、變異系數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的指標。和樣本均數(shù)一樣，都是隨機變量，同時也都是統(tǒng)計量。三、 與S2的運算性質(zhì)(1) 若樣本值與有如下關系： (i=1，2，n)則(2) 若樣本值與有如下關系：則其中a,b,c為非零常數(shù)。在樣本個體數(shù)很多、值很大的情況下，利用上述運算性質(zhì)可使計算簡化，節(jié)省工作量。四、 標準誤樣本均數(shù)是隨機變量，按樣本均數(shù)、方差的定義、性質(zhì)我們可以給出樣本均數(shù)的均數(shù)及方差。若總體均數(shù)EX與

9、總體方差DX存在，則， (3-3)統(tǒng)計學中稱樣本均數(shù)的標準差為標準誤。一般用來表示，因此。在實際抽樣研究中，往往未知，這里用樣本標準差S來代替，可得標準誤，計算公式為 (3-4)五、 其他常用的數(shù)字特征醫(yī)藥科研的統(tǒng)計中，還廣泛地使用一些樣本的數(shù)字特征。關于刻畫隨機變量平均水平的還有:中位數(shù) 它是累積概率分布或分布函數(shù)等于50%所對應的變量值。換言之，隨機變量的取值大于它的概率和小于它的概率恰好相等，在概率意義上它位于正中。眾數(shù) 它是隨機變量的概率函數(shù)或概率密度函數(shù)最大值所對應的變量值。換言之，當大量獨立重復試驗時，樣本值較多地集中在這個值的附近。關于刻畫隨機變量分散程度的還有:極差 它等于隨機

10、變量有限個樣本中最大值與最小值之差。在計算上較標準差方便，因而受到實際工作者的歡迎。但是，它對隨機變量的分布情況畢竟只能提供少量信息，因此遠不能取代標準差的重要性。例 設某藥廠生產(chǎn)的開胸順氣丸，崩解時間XN(，2)，其中，2均未知。今隨機抽取5丸測得崩解時間如下(單位：分)：表3-136129640160032102441168136128636，40，32，41，36計算樣本均數(shù)和方差解 為運算方便，可列表3-1。,所以=15×185=37§3-3 抽 樣 分 布統(tǒng)計量都是隨機變量。數(shù)理統(tǒng)計中常要知道統(tǒng)計量的分布函數(shù)(抽樣分布)，由此去推斷所研究的總體性質(zhì)。常用的統(tǒng)計量，

11、除上節(jié)討論過的樣本均數(shù)、方差外，還有，t，F(xiàn)等統(tǒng)計量，這節(jié)我們將討論這些統(tǒng)計量的分布。3-3.1 樣本均數(shù)的分布我們先不加證明給出正態(tài)變量的如下性質(zhì)：(1) 兩個相互獨立的隨機變量X1N(1，)、X2N(2，)的代數(shù)和X=X1±X2仍服從正態(tài)分布，且有XN(1±2，+)；(2) n個相互獨立的隨機變量XiN(i，)的和仍服從正態(tài)分布，且XN(，)，其中i=1,2,，n；(3) 隨機變量XN(，)的線性函數(shù)Y=aX+b仍服從正態(tài)分布，且YN(a+b，)，其中a，b均為常數(shù)；(4) n個相互獨立的隨機變量XiN(i，)的線性組合仍服從正態(tài)分布，且有XN(，)，其中ci是不全為零

12、的常數(shù)。下面，我們來討論樣本均數(shù)的分布。首先考慮樣本來自正態(tài)總體時，即XiN(， )。由樣本均數(shù)的定義，是n個相互獨立同分布的隨機變量的線性組合，則由正態(tài)變量的性質(zhì)(4)容易推出：即 (3-5)這個結論表明：來自正態(tài)總體的樣本均數(shù)仍舊服從正態(tài)分布，該分布的均數(shù)等于原總體的均數(shù)，方差是原總體方差的倍。由此可見，樣本均數(shù)這一隨機變量所服從的正態(tài)分布與總體的正態(tài)分布相比較在分散性方面有改善，且n越大，方差就越小，就越接近總體的均數(shù)。再考慮樣本來自非正態(tài)總體時的情況。當抽樣為小樣本時，問題沒有一般的確定解答；當抽樣為大樣本時，則由2-5.3段的中心極限定理知 (3-6)也就是說，對于大樣本，無論總體分

13、布如何，式(3-6)總是成立的。3-3.2 分布定義1 設X1，X2，Xn是相互獨立且同服從于N(0，1)分布的隨機變量，則稱隨機變量+ (3-7)服從參數(shù)為n的分布，記為 (n)。分布的概率密度函數(shù)是 其中參數(shù)n稱為自由度，它表示式(3-7)中獨立變量的個數(shù)?！白杂啥取钡暮猓菏?3-7)中的統(tǒng)計量是n個獨立的隨機變量Xi的平方和，Xi之間沒有約束條件，每個Xi均可自由變動，故稱的自由度為n。又如在式(3-2)中有n個變量X1-，X2-，Xn-，它們之間存在著惟一的約束條件。(X1-)+(X2-)+(Xn-) 圖3-1=X1+X2+Xn-n=0 因此，n個變量X1-，X2-，Xn-中只有n-

14、1個可以自由變動，所以樣本方差S2的自由度為n-1。f(x)的圖形如圖(3-1)所示，是一條偏向左側的曲線。自由度越小越偏，自由度相當大時，接近正態(tài)分布。(n)分布是p分布在，時的特例。分布具有可加性。設隨機變量,且它們互相獨立，則這個性質(zhì)也可推廣到多個獨立的變量和或差的情形。由此性質(zhì)還可推出下列結果：若X1，X2，Xn為正態(tài)總體N(，2)的一個樣本，則有 (3-8)因為在此式中從而可得，再由分布的可加性，即得這個結論表明：是一個服從分布的隨機變量，自由度為n-1。3-3.3 t分布定義2 設隨機變量UN(0,1),V (n)并且U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t分布，記為tt(n

15、)。在不至于弄錯的情況下，括號中的自由度可以省略。t分布的概率密度函數(shù)為 其中n為自由度。f(t)的圖形如圖3-2所示。曲線關于t=0對稱，形狀類似于標準正態(tài)概率密度函數(shù)的圖形。當n時，它的極限分布是標準正態(tài)分布。但當n較小時，對于相同的變量值，t分布的尾部比標準正態(tài)分布的尾部有著更大的概率，它們差異較大。圖3-2t分布是統(tǒng)計學中極為重要的分布，應用最為廣泛。其應用的重要依據(jù)是下面的定理。定理1 設X1，X2，Xn為正態(tài)總體N(，2)的一個樣本，則證 因為所以又知并且 與 相互獨立，從而由t分布的定義得定理2 設，和，分別是從同方差的總體N(1，2)和N(2，2)中所抽取的樣本，它們相互獨立，

16、則其中和分別是這兩個樣本的方差。證 由定理的條件可知由已知兩個總體方差相等，則給定條件知，且它們相互獨立，由2分布的可加性從而，按t分布的定義得3-3.4 F分布定義3 設隨機變量U(n1)，V (n2)，并且U、V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為(n1,n2)的F分布，記作FF(n1,n2)。F分布的概率密度函數(shù)為 F分布有兩個自由度，第一自由度n1為組成統(tǒng)計量F分子的隨機變量的自由度；第二自由度n2為分母的隨機變量的自由度。圖3-3f(x)的圖形如圖3-3所示。不對稱的山狀曲線，峰向左偏斜，隨著n1與n2的同時增大，其均數(shù)趨近于1，且f(x)的曲線趨向于對稱。再介紹一個常用的服從F分布的

17、隨機變量。定理3 設，為總體N(1，)的樣本；，為總體N(2，)的樣本，且二樣本相互獨立，樣本方差為、，則證 因為所以由F分布的定義，可知最后，讀者必須注意：本節(jié)中介紹的2分布、t分布、F分布都是對正態(tài)總體而言的，就是說，這些樣本都是來自正態(tài)總體，在以后使用時，必須注意這一前提條件。§3-4 概率紙及其應用通過對樣本的實際觀測，能夠獲知一個變量的頻率分布情況。如果觀測次數(shù)足夠多，樣本頻率將接近總體概率，這時該變量的頻率分布(統(tǒng)計分布)接近概率分布(理論分布)。為驗證一個隨機變量的理論分布，可使用概率紙方法。3-4.1 正態(tài)概率紙利用正態(tài)概率紙可判斷一組數(shù)據(jù)是否取自正態(tài)總體。一、 正態(tài)

18、概率紙的原理設XN(，2)，那么，令u=，則F(x)=(u)。圖3-4因為u是x的線性函數(shù)，在坐標x-u中，u對x的圖形是一條直線(圖3-4)，通過值表，把縱軸刻度上的u值改寫成對應的(u)值，即F(x)值。這樣一來，在坐標系x-F(x)中，F(xiàn)(x)對x的圖形仍是那一條直線。于是，以普通均勻尺x為橫軸，以函數(shù)尺-1(F)為縱軸，就構成了正態(tài)概率紙，如圖3-5。二、 正態(tài)概率紙的使用方法(1) 把樣本數(shù)據(jù)x從小到大排隊，并計算對應的累積頻率F(x)；(2) 在正態(tài)概率紙上描出點列(x,F(x)；(3) 若點列能擬合一條直線，則變量X近似服從正態(tài)分布N(，2)；圖3-5 正態(tài)概率紙(4) 由縱軸上

19、的F(x)=0.50,0.16(或0.84)，找到橫軸上對應的x0.50，x0.16,或(x0.84)，則均數(shù)和標準差的估計值為=x0.50，=x0.50-x0.16(或=x0.84-x0.50,或=(x0.84-x0.16)。例1 山東中醫(yī)學院對六味地黃丸進行顯微定量研究。為探討丸劑中熟地的某種特征物(棕色核狀物)數(shù)目是否服從正態(tài)分布，鏡檢了67組載玻片中熟地的特征物數(shù)目，得到累積頻率分布如表3-2所示。表3-2 累積頻率分布表特征物數(shù)頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率特征物數(shù)頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率56110.0156513400.59757120.030667470.70159240.060674510.

20、76160370.104685560.83661290.134696620.925625140.209702640.955635190.284711650.970648270.403722671.000利用正態(tài)概率紙描點，由于散點能擬合一條直線(圖3-6)。說明六味地黃丸中熟地所含該種特征物的數(shù)目近似服從正態(tài)分布。從圖上可求出均數(shù)和標準差的估計值3-4.2 對數(shù)正態(tài)概率紙在藥劑學、藥理學等領域?？捎鲆娨恍┎环恼龖B(tài)分布的隨機變量，如乳劑中油珠直徑的分布，劑量-反應曲線等，其一般特征是其概率密度曲線偏向左側而顯出長尾狀。這類隨機變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，稱其服從對數(shù)正態(tài)分布。判斷隨機變量是否服從對

21、數(shù)正態(tài)分布，可以對所得樣本資料取對數(shù)后借助正態(tài)概率紙來完成。為免去取對數(shù)的工作，也可將正態(tài)概率紙的橫軸改為對數(shù)坐標，構成對數(shù)正態(tài)概率紙(圖37)。利用這種坐標紙，可方便地直接以樣本累積頻率F(x)對x作圖，若呈直線狀就可判斷隨機變量為對數(shù)正態(tài)變量。至于均數(shù)和標準差的估計，宜分兩步進行。首先，從圖上查找F(x)=0.50和0.84(或0.16)所對應的橫坐標值x0.50和x0.84(或x0.16)，注意到橫軸為對數(shù)坐標，讀數(shù)為a時應為lga，所以如果將取對數(shù)后正態(tài)分布的均數(shù)和標準差稱為對數(shù)均數(shù)和對數(shù)標準差，分別記為和，則類似于圖3-6 正態(tài)分布的情形。(或,或)然后代入公式和即得對數(shù)正態(tài)分布本身

22、的均數(shù)和標準差的估計值。(此公式的推導過程，讀者可參見其他詳細的數(shù)理統(tǒng)計課本)3-4.3 韋布爾概率紙§2-2中已給出韋布爾分布的概率密度函數(shù)為，分布函數(shù)為 (3-9)其中有三個參數(shù)、和m。對式(3-9)改寫后兩端取對數(shù)，有圖3-7 對數(shù)正態(tài)概率紙變號后，再取對數(shù)，ln-ln1-F(x)=mln(x-)-ln作變量代換X=ln(x-),B=-ln,Y=ln-ln1-F(x)則有Y=mX+B可以看出Y與X存在線性關系，于是，以一個隨機樣本的累積頻率代替F(x),以ln-ln1-F(x)對ln(x-)作圖，如=0，便以ln-ln1-F(x)對lnx作圖。如果所得諸點按直線排布，便可認為該

23、樣本來自一個服從韋布爾分布的總體。圖3-8 韋布爾概率紙為避免多次查取自然對數(shù)，依上述原理制作韋布爾概率紙，如圖3-8。圖上有兩條互相垂直的坐標軸，橫向X軸，縱向Y軸。為便于作圖，在上、下、左、右四條邊框上設有四把刻度尺，上邊和右邊分別稱X尺和Y尺，系普通均勻尺度，以X=lnx的數(shù)值刻線，并實際標以X或Y的數(shù)值；下邊的標x尺，名義上雖然刻以x的數(shù)值，實際上卻是據(jù)lnx刻線；左邊的稱F(x)尺，同樣，名義上雖標以F(x)的數(shù)值，實際上卻是據(jù)刻線。在韋布爾概率紙上，以樣本的累積頻率代替F(x)，利用左邊的F(x)尺和下邊的x尺，按如下步驟作圖估計：(1) 以F(x)對x作圖，(2) 若諸點排布接近

24、直線，則適當擬合一直線，尤其注意照顧F(x)在30%至70%范圍內(nèi)的點，使之優(yōu)先貼近直線。(3) 若諸點排布呈曲線狀，則沿曲線趨勢延伸，與x軸交點的數(shù)值作為的初步估計值，以F(x)對x-作圖。如此反復修改，直到選定一個較好的作為位置參數(shù)的估計值為止(圖3-9)。曲線：F(x)對x作圖。直線：F(x)對x-作圖。：曲線與橫軸交點。(4) 在F(x)對x-所作的圖上擬合一直線，由X=1和Y=0的交點(稱m點)作平行于該直線的平行線，查出它和Y軸交點在Y尺上投影的讀數(shù)，不計正負號即得m的估計值(圖3-10)。圖3-9 圖3-10(5) 所擬合的直線與x軸有一交點，在x尺上投影點的讀數(shù)即為的估計值。(

25、6) 依下式計算均數(shù)和標準差的估計值,或查Y尺右側尺和尺與m估計值對應的數(shù)值，它們分別乘以即為、的圖估值。習 題 三1. 思考下列問題：(1) 自總體中隨機抽取的容量為n的樣本，可以看成是n個隨機變量，如何理解?(2) t分布與正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系是什么?2. 計算下列各樣本的均數(shù)、方差、標準差及變異系數(shù)：(1) 5，19，-3，7，1，1；(2) 5，-3，2，0，8，6；(3) 10，15，14，15，16；(4) 0，5，10，-3。3. 從同一批號的阿司匹林片中隨機抽出5片，測定其溶解50%的所需時間分別為：5.3,6.6,5.2,3.7,4.9試計算其樣本方差，樣本均數(shù)和變異系數(shù)。4. 在總體N(12，4)中隨機抽一容量為5的樣本Z1，Z2，Z5。(1) 求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率；(2) 求概率Pmax(Z1，Z5)15；(3) 求概率Pmin(Z1，Z5)10.5. 設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從N(0，32)，而Xi(i=1，2，9)和Yi(i=1，2，9)分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，求統(tǒng)計量服從的分布。6. 某地101例3039歲健