元代數(shù)學(xué)家楊輝的故事數(shù)學(xué)家故事

1、元代數(shù)學(xué)家楊輝的故事數(shù)學(xué)家故事楊輝，字謙光，漢族，錢塘（今杭州）人，中國古代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，生平履歷不詳。由現(xiàn)存文獻(xiàn)可推知，楊輝擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。與秦九韶、李治、朱世杰并趁稱宋元數(shù)學(xué)四大家。楊輝一生留下了大量的著述，他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷，它們是：詳解九章算法12卷（1261年），日用算法2卷（1262年），乘除通變本末3卷（1274年，第3卷與他人合編），田畝比類乘除捷法2卷（1275年），續(xù)古摘奇算法2卷（1275年，與他人合編），其中后三種為楊輝后期所著，一

2、般稱之為楊輝算法。他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展，在算法通變本末中，楊輝為初學(xué)者制訂的;習(xí)算綱目;是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。楊輝在詳解九章算法一書中還畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做開方做法本源，現(xiàn)在簡稱為楊輝三角。楊輝的故事說起楊輝的這一成就，還得從偶然的一件小事說起。一天，臺州府的地方官楊輝出外巡游，路上，前面銅鑼開道，后面衙役殿后，中間，大轎抬起，好不威風(fēng)。迷人的春天慷慨地散布著芳香的氣息，帶來了生活的歡樂和幸福。杜鵑隱藏在芒果樹的枝頭。用它那圓潤、甜蜜、動人心弦的鳴囀來喚醒人們的希望。成群的畫眉鳥像迎親似的蹲在樹的枝丫上，發(fā)出婉麗的啼聲。楝樹、花梨樹和栗樹都仿佛被

3、自身的芬芳熏醉了。楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹，飛鳥穿林，真乃春色怡人淡復(fù)濃，喚侶黃鸝弄曉風(fēng)。更是一年好景，旖旎風(fēng)光。走著、走著，只見開道的鏜鑼停了下來，前面?zhèn)鱽砗⑼拇舐暫敖新?，接著是衙役惡狠狠的?xùn)斥聲。楊輝忙問怎么回事，差人來報：孩童不讓過，說等他把題目算完后才讓走，要不就繞道。楊輝一看來了興趣，連忙下轎抬步，來到前面。衙役急忙說：是不是把這孩童哄走？楊輝摸著孩童頭說：為何不讓本官從此處經(jīng)過？孩童答道：不是不讓經(jīng)過，我是怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了。什么算式？就是把1到9的數(shù)字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結(jié)果都是等于15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關(guān)鍵

4、之處。楊輝連忙蹲下身，仔細(xì)地看那孩童的算式，覺得這個數(shù)字，從哪見過，仔細(xì)一想，原來是西漢學(xué)者戴德編纂的大戴禮書中所寫的文章中提及的。楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來，直到天已過午，倆人才舒了一口氣，結(jié)果出來了，他們又驗算了一下，覺得結(jié)果全是15，這才站了起來。我們把算式擺出來：（在左邊的方塊中，無論你橫、豎、斜著加結(jié)果都是15。請試一下）孩童望著這位慈祥和善的地方官說：耽擱你的時間了，到我家吃飯吧！楊輝一聽，說：好，好，下午我也去見見你先生。孩童望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這里肯定有什么蹊蹺，溫和地問道：到底是怎么回事？孩童這才一五一十把原因道出：原來這孩童并未上學(xué)，家中窮得連飯都吃不飽，哪有

5、錢讀書。而這孩童給地主家放牛，每到學(xué)生上學(xué)時，他就偷偷地躲在學(xué)生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學(xué)，終于把它解決了。楊輝聽到此，感動萬分，一個小小的孩童，竟有這番苦心，實(shí)在不易。便對孩童說：這是10兩銀子，你拿回家去吧。下午你到學(xué)校去，我在那兒等你。下午，楊輝帶著孩童找到先生，把這孩童的情況向先生說了一遍，又掏出銀兩，給孩童補(bǔ)了名額，孩童一家感激不盡。自此，這孩童方才有了真正的先生。教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，于是倆人談?wù)撈饠?shù)學(xué)。楊輝說道：方才我和孩童做的那道題好像是大戴禮書中的？那先生笑著說：是啊，大戴禮雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數(shù)學(xué)知識。方

6、才你說的題目，就是我給孩子們出的數(shù)學(xué)游戲題。教書先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：南北朝的甄鸞在數(shù)術(shù)記遺一書中就寫過：九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。楊輝默念一遍，發(fā)現(xiàn)他說的正與上午他和孩童擺的數(shù)字一樣，便問道：你可知道這個九宮圖是如何造出來的？教書先生也不知出處。楊輝回到家中，反復(fù)琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數(shù)字，終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律。他把這條規(guī)律總結(jié)成四句話：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。就是說：一開始將九個數(shù)字從大到小斜排三行，然后將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最后將位于四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構(gòu)成了九宮圖。下面我們演示一下

7、：（九子斜排）（上下對易，左右相更）（四維挺出）按照類似的規(guī)律，楊輝又得到了花16圖，就是從1到16的數(shù)字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數(shù)之和均為34。后來，楊輝又將散見于前人著作和流傳于民間的有關(guān)這類問題加以整理，得到了五五圖、六六圖、衍數(shù)圖、易數(shù)圖、九九圖、百子圖等許多類似的圖。楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，并于1275年寫進(jìn)自己的數(shù)學(xué)著作續(xù)古摘奇算法一書中，并流傳后世?？v橫圖，也叫幻方，它要求把從1到n2個連續(xù)的自然數(shù)安置在n2個格子理。但長期以來，人們習(xí)慣于把它當(dāng)作純粹的數(shù)學(xué)游戲，沒有給予應(yīng)有重視。隨著近代組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來越強(qiáng)大的生命力，在圖論、組合分析、

8、對策論、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中，找到了用武之地。楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。楊輝除此成就之外，還有一項重大貢獻(xiàn)，就是楊輝三角。有一次，楊輝得到一本黃帝九章算法細(xì)草，這是北宋數(shù)家賈憲寫的。這里面有不少了不起的成就，如賈憲描畫了一張圖，叫作開方作法本源圖。圖中的數(shù)字排列成一個大三角形，位于兩腰上的數(shù)字均是1，其余數(shù)字則等于它上面兩數(shù)字之和。從第二行開始，這個大三角形的每行數(shù)字，都對應(yīng)于一組二項展開式的系數(shù)，下面試舉例說明：在第三行中，1、3、3、1，這4個數(shù)字恰好是對應(yīng)于（_+1）3=_3+3_2+3_+1；再如第四行對應(yīng)于（_+1）4=_4+4_3+6_2+4_+1。以此類推。楊輝把賈憲的這張畫忠實(shí)地記錄下來，并保存在自己的詳解九章算術(shù)一書中。后來人們發(fā)現(xiàn)，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數(shù)、內(nèi)插法等數(shù)學(xué)知識都有密切關(guān)系。在西方，直到16世紀(jì)才有人在一本書的封面上繪出類似的圖形。法國數(shù)學(xué)家巴斯加在1654年的論文中詳細(xì)地討論了這個