二次函數(shù)應(yīng)用

1、 1. 某一物體的質(zhì)量為某一物體的質(zhì)量為m，它運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量，它運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量E與它的運(yùn)動(dòng)速度與它的運(yùn)動(dòng)速度v之間的關(guān)系是：之間的關(guān)系是： 212Emv（m為定值）為定值） 2. 導(dǎo)線的電阻為導(dǎo)線的電阻為R，當(dāng)導(dǎo)線中有電流通過時(shí)，單，當(dāng)導(dǎo)線中有電流通過時(shí)，單位時(shí)間所產(chǎn)生的熱量位時(shí)間所產(chǎn)生的熱量Q與電流強(qiáng)度與電流強(qiáng)度I之間的關(guān)系是：之間的關(guān)系是：212QRI（R為定值）為定值） 3. g表示重力加速度，當(dāng)物體自由下落時(shí)，表示重力加速度，當(dāng)物體自由下落時(shí)，下落的高度下落的高度h與下落時(shí)間與下落時(shí)間t之間的關(guān)系是：之間的關(guān)系是： 212hgt（g為定值）為定值）新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能

2、力知識(shí)與能力】【過程與方法過程與方法】 生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)二次函數(shù)生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用。在生活中的應(yīng)用。 通過實(shí)際問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活實(shí)際中的通過實(shí)際問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活實(shí)際中的廣泛應(yīng)用性，提高數(shù)學(xué)思維能力。廣泛應(yīng)用性，提高數(shù)學(xué)思維能力。 在轉(zhuǎn)化、建模中，學(xué)會(huì)合作、交流。在轉(zhuǎn)化、建模中，學(xué)會(huì)合作、交流。 通過圖形間的關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)，體通過圖形間的關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化的思想驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化的思想 通過對商品漲價(jià)與降價(jià)問題的分析，感受數(shù)通過對商品漲價(jià)與降價(jià)問題的分析，感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。學(xué)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

3、 在轉(zhuǎn)化、建模中，體驗(yàn)解決問題的方法，培在轉(zhuǎn)化、建模中，體驗(yàn)解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神。養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神。 正確面對困難，迎接挑戰(zhàn)的堅(jiān)強(qiáng)品質(zhì)。正確面對困難，迎接挑戰(zhàn)的堅(jiān)強(qiáng)品質(zhì)?！厩楦袘B(tài)度與價(jià)值觀情感態(tài)度與價(jià)值觀】教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn) 利用二次函數(shù)解決商品利潤問題。利用二次函數(shù)解決商品利潤問題。 用二次函數(shù)的知識(shí)分析解決有關(guān)面積問用二次函數(shù)的知識(shí)分析解決有關(guān)面積問題的實(shí)際問題。題的實(shí)際問題。 建立二次函數(shù)數(shù)學(xué)模型，函數(shù)的最值。建立二次函數(shù)數(shù)學(xué)模型，函數(shù)的最值。 通過圖形之間的關(guān)系列出函數(shù)解析式。通過圖形之間的關(guān)系列出函數(shù)解析式。噴泉與二次函數(shù)噴泉與二次函數(shù) 一

4、公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于一公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子水面處安裝一個(gè)柱子OA，O恰在水面中心，恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子頂端，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離離OA距離為距離為1m處處達(dá)到距水面達(dá)到距水面最大高度最大高度2.25m. 如果不計(jì)其它因素，那么水池的如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑半徑至少要多少至少要多少m才能使噴出的水流不致落到池外？才能使噴出的水流不致落到池

5、外？實(shí)際問題 根據(jù)對稱性，如果不計(jì)其它因素，那么水池的根據(jù)對稱性，如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑半徑至少要至少要2.5m，才能使噴出的水流不致落到池外，才能使噴出的水流不致落到池外.解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意得，解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意得，A點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0，1.25)，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)B坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1，2.25)25. 212xy 當(dāng)當(dāng)y=0時(shí)時(shí),可求得點(diǎn)可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2.5,0) ; 同理，點(diǎn)同理，點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-2.5,0) . 設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-h)2+k，由待定系數(shù)法可求得拋，由待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式為：物線表達(dá)式為：y=

6、 (x-1)2+2.25.數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化xyoAB(1,2.25) (0,1.25)C(2.5,0)D(-2.5,0)跳水與拋物線跳水與拋物線 某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)練時(shí),身體身體(看成一點(diǎn)看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線在空中的運(yùn)動(dòng)路線是經(jīng)過原點(diǎn)是經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線的一條拋物線.在跳某規(guī)定在跳某規(guī)定動(dòng)作時(shí)動(dòng)作時(shí),正常情況下正常情況下,該運(yùn)動(dòng)員在空中的該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面最高處距水面32/3米米,入水處距池邊的距入水處距池邊的距離為離為4米米,同時(shí)同時(shí),運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米以前米以前,必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作必須完成規(guī)定的翻騰

7、動(dòng)作,并調(diào)并調(diào)整好入水姿勢整好入水姿勢,否則就會(huì)出現(xiàn)失誤否則就會(huì)出現(xiàn)失誤. (1)求這條拋物線的解析式；求這條拋物線的解析式； (2)在某次試跳中在某次試跳中,測得運(yùn)動(dòng)員在空測得運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)路線是中運(yùn)動(dòng)路線是(1)中的拋物線中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí),距池邊的水平距池邊的水平距離為距離為18/5米米,問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由并通過計(jì)算說明理由. 平時(shí)我們在跳繩時(shí)平時(shí)我們在跳繩時(shí),繩甩到最高處的形狀可繩甩到最高處的形狀可以看為拋物線以看為拋物線.如圖所示如圖所示,正在甩繩的甲乙兩名學(xué)正在甩繩的甲乙兩名學(xué)生拿繩

8、的生拿繩的手間距為手間距為4米米,距地面均為距地面均為1米米,學(xué)生丙丁學(xué)生丙丁分別站在距甲拿繩的手水平距離分別站在距甲拿繩的手水平距離1米、米、2.5米處米處,繩繩子到子到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生已知學(xué)生丙丙的身高是的身高是1.5米米,求學(xué)生丁的身高？求學(xué)生丁的身高？甲甲乙乙丙丙丁丁跳繩與拋物線跳繩與拋物線最大利潤問題最大利潤問題 某商店經(jīng)營某商店經(jīng)營T恤衫恤衫,已知成批購進(jìn)時(shí)單價(jià)是已知成批購進(jìn)時(shí)單價(jià)是2.5元元.根據(jù)市場調(diào)查根據(jù)市場調(diào)查,銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系:在在某一時(shí)間內(nèi)某一時(shí)間內(nèi),單價(jià)是單價(jià)是13.5元時(shí)元時(shí),銷售

9、量是銷售量是500件件,而單價(jià)而單價(jià)每降低每降低1元元,就可以多售出就可以多售出200件件.請你幫助分析請你幫助分析:銷售銷售單價(jià)是多少時(shí)單價(jià)是多少時(shí),可以獲利最多可以獲利最多?實(shí)際問題設(shè)銷售價(jià)為設(shè)銷售價(jià)為x元元(x13.5元元),那么那么銷售量可表示為銷售量可表示為 : 件件;銷售額可表示為銷售額可表示為: 元元;所獲利潤可表示為所獲利潤可表示為: 元元;當(dāng)銷售單價(jià)為當(dāng)銷售單價(jià)為 元時(shí)元時(shí),可以獲得最大利潤可以獲得最大利潤,最最大利潤是大利潤是 元元.x5 .13200500 xx5 .13200500 xx5 .132005005 . 225. 95 .9112 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件某商

10、品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價(jià)件，市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出元，每星期少賣出10件；每降價(jià)件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出元，每星期可多賣出18件，已知商品的件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？元，如何定價(jià)才能使利潤最大？ （1）題目中有幾種調(diào)整價(jià)格的方法？）題目中有幾種調(diào)整價(jià)格的方法？ （2）題目涉及到哪些變量？哪一個(gè)量是自變量？）題目涉及到哪些變量？哪一個(gè)量是自變量？哪些量隨之發(fā)生了變化？哪些量隨之發(fā)生了變化？調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況 漲價(jià)：漲價(jià)： （1）設(shè)每件

11、漲價(jià)設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤元，則每星期售出商品的利潤y也也隨之變化，我們先來確定隨之變化，我們先來確定y與與x的函數(shù)關(guān)系式。漲價(jià)的函數(shù)關(guān)系式。漲價(jià)x元元時(shí)則每星期少賣時(shí)則每星期少賣_件，實(shí)際賣出件，實(shí)際賣出_件件,銷額銷額為為_元，買進(jìn)商品需付元，買進(jìn)商品需付_元因此，所得利潤為元因此，所得利潤為_元元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即即6000100102xxy(0 x30)6000100102xxy(0 x30)625060005100510522最大值時(shí)，ya

12、bx元x元y625060005300所以，當(dāng)定價(jià)為所以，當(dāng)定價(jià)為65元時(shí)，利潤最大，最大利潤為元時(shí)，利潤最大，最大利潤為6250元元解：設(shè)降價(jià)解：設(shè)降價(jià)x元時(shí)利潤最大，則每星期可多賣元時(shí)利潤最大，則每星期可多賣18x件，實(shí)件，實(shí)際賣出（際賣出（300+18x)件，銷售額為件，銷售額為(60-x)(300+18x)元，買元，買進(jìn)商品需付進(jìn)商品需付40(300-10 x)元，因此，得利潤元，因此，得利潤60506000356035183522最大時(shí)，當(dāng)yabx答：定價(jià)為答：定價(jià)為 元時(shí)，利潤最大，最大利潤為元時(shí)，利潤最大，最大利潤為6050元元 31586000601818300401830060

13、2xxxxxy(0 x20)最大面積問題最大面積問題 在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中其中AB和和AD分別在兩直角邊上分別在兩直角邊上. （1）如果設(shè)矩形的一邊）如果設(shè)矩形的一邊AD=xcm,那么那么AB邊的長邊的長度如何表示？度如何表示？ （2）設(shè)矩形的面積為）設(shè)矩形的面積為ym2,當(dāng)當(dāng)x取何值時(shí)取何值時(shí),y的最大的最大值是多少值是多少?ABCDMN40cm30cmbcmxcm 4: 1,40.3ABbcm bx 解設(shè) 2442404033yxbxxxx .30015342x.30044,152:2abacyabx最大值時(shí)當(dāng)或用公式 某建筑物的窗

14、戶如圖所示某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓它的上半部是半圓,下下半部是矩形半部是矩形,制造窗框的材料總長制造窗框的材料總長(圖中所有的黑線的圖中所有的黑線的長度和長度和)為為15m.當(dāng)當(dāng)x等于多少時(shí)等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01m)?此時(shí)此時(shí),窗戶的面積是多少窗戶的面積是多少?x xy : 14715.yxx解由.4715,xxy得xx215272 22157222242xxxxSxyx窗戶面積.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值時(shí)當(dāng)或用公式.562251415272x最多光線問題最多光線問題 （1）

15、先分析問題中的數(shù)量關(guān)系、變量和常）先分析問題中的數(shù)量關(guān)系、變量和常量，列出函數(shù)關(guān)系式量，列出函數(shù)關(guān)系式. （2）研究自變量的取值范圍）研究自變量的取值范圍. （3）研究所得的函數(shù)）研究所得的函數(shù). （4）檢驗(yàn)）檢驗(yàn) x的取值是否在自變量的取值范的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi)、結(jié)果的合理性等，并求相關(guān)的值圍內(nèi)、結(jié)果的合理性等，并求相關(guān)的值. （5）解決提出的實(shí)際問題）解決提出的實(shí)際問題.解決關(guān)于函數(shù)實(shí)際問題的一般步驟解決關(guān)于函數(shù)實(shí)際問題的一般步驟課堂小結(jié)課堂小結(jié)（配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值）（配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值） 1. 某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線型某建筑

16、的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線型（曲線（曲線AOB）的薄殼屋頂。它的拱高）的薄殼屋頂。它的拱高AB為為4m，拱高拱高CO為為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢樣畫出模板的輪廓線呢?隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)x(元元)152030y(件件)252010 若日銷售量若日銷售量 y 是銷售價(jià)是銷售價(jià) x 的一次函數(shù)。的一次函數(shù)。 （1）求出日銷售量）求出日銷售量 y（件）與銷售價(jià)（件）與銷售價(jià) x（元）（元）的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是的銷售價(jià)應(yīng)定為多

17、少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？多少元？ 2. 某產(chǎn)品每件成本某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)價(jià) x（元）與產(chǎn)品的日銷售量（元）與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間的關(guān)系如下（件）之間的關(guān)系如下:（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為 x 元，所獲銷售利潤為元，所獲銷售利潤為 w 元。則元。則 產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為潤為225元。元。15252020kbkb則則解得：解得：k=1，b40。 （1）設(shè)此一次函數(shù)解析式為）設(shè)此一次函數(shù)解析式為 。bkxy22525 4005

18、0401022xxxxxw所以一次函數(shù)解析為所以一次函數(shù)解析為 。40 xy設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x人人,營業(yè)額為營業(yè)額為y元元,則則 3. 某旅行社組團(tuán)去外地旅游某旅行社組團(tuán)去外地旅游,30人起組團(tuán)人起組團(tuán),每人單價(jià)每人單價(jià)800元元.旅行社對超過旅行社對超過30人的團(tuán)給予優(yōu)惠人的團(tuán)給予優(yōu)惠,即旅行團(tuán)每增即旅行團(tuán)每增加一人加一人,每人的單價(jià)就降低每人的單價(jià)就降低10元元.你能幫助分析一下你能幫助分析一下,當(dāng)旅當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是多少時(shí)行團(tuán)的人數(shù)是多少時(shí),旅行社可以獲得最大營業(yè)額？旅行社可以獲得最大營業(yè)額？3010800 xxy.3025055102xxx1100102 4. 某賓館有某賓館

19、有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天房間的定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿。元時(shí)，房間會(huì)全部住滿。當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑。如果游客居住房間，賓館需對一個(gè)房間空閑。如果游客居住房間，賓館需對每個(gè)房間每天支出每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用元的各種費(fèi)用.房價(jià)定為多房價(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤最大？少時(shí)，賓館利潤最大？解：設(shè)每個(gè)房間每天增加解：設(shè)每個(gè)房間每天增加x元，賓館的利潤為元，賓館的利潤為y元元y =(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)y =-1/10 x2+34x+80

20、00 5. 某個(gè)商店的老板，他最近進(jìn)了價(jià)格為某個(gè)商店的老板，他最近進(jìn)了價(jià)格為30元元的書包。起初以的書包。起初以40元每個(gè)售出，平均每個(gè)月能售元每個(gè)售出，平均每個(gè)月能售出出200個(gè)。后來，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種書包個(gè)。后來，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種書包的售價(jià)每上漲的售價(jià)每上漲1元，每個(gè)月就少賣出元，每個(gè)月就少賣出10個(gè)。現(xiàn)在個(gè)?，F(xiàn)在請你幫幫他，如何定價(jià)才使他的利潤最大？請你幫幫他，如何定價(jià)才使他的利潤最大？ 解：以解：以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，以過點(diǎn)軸，以過點(diǎn)O的的y軸的垂線為軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。這時(shí)，屋頂?shù)妮S，建立直角坐標(biāo)系。這時(shí)，屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，

21、對稱軸是橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為：開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為： （1） 因?yàn)橐驗(yàn)閥軸垂直平分軸垂直平分AB，并交，并交AB于點(diǎn)于點(diǎn)C，所，所以以 ，又，又CO0.8m，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)B的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為(2，-0.8)。 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入（在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入（1），），得得 所以所以a-0.2 因此，所求函數(shù)關(guān)系式是因此，所求函數(shù)關(guān)系式是 。02aaxycmABCB22228 . 0a22 . 0 xy 6. 某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進(jìn)價(jià)為某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進(jìn)價(jià)為每箱每箱40元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱以元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱以50 元銷售元銷售,平平均每天可銷售均每天可銷售100箱箱. 價(jià)格每箱降低價(jià)格每箱降低1元，平均每天元，平均每天多銷售多銷售25箱箱 ; 價(jià)格每箱升高價(jià)格每箱升高1元，平均每天少銷售元，平均每天少銷售4箱。如何定價(jià)才能使得利潤最大？箱。如何定價(jià)才能使得利潤