借助幾何畫(huà)板迭代功能探索數(shù)學(xué)美

1、劉巍（大連市一O四中學(xué)，遼寧省大連市，郵編：116104）摘要：幾何畫(huà)板是一個(gè)優(yōu)秀的教育軟件,以其學(xué)習(xí)容易、操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)在我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)多媒體輔助教學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。中學(xué)數(shù)學(xué)課程提倡利用信息技術(shù)來(lái)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，教材中許多問(wèn)題涉及的圖形，與操作的次數(shù)有關(guān)，但學(xué)生只能從書(shū)本上看到靜態(tài)圖形。如若借助幾何畫(huà)板的迭代功能，則可展示圖形的動(dòng)態(tài)效果，這將使學(xué)生的理解與感受更為深刻。本文就謝氏三角形、謝氏地毯、柯赫曲線(xiàn)、柯赫雪花曲線(xiàn)等內(nèi)容，探討幾何畫(huà)板迭代功能在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。共同挖掘數(shù)學(xué)所具有的動(dòng)態(tài)的神奇之美，給我們以美的熏陶、美的啟迪、美的享受，使我們不僅僅掌握數(shù)學(xué)

2、，應(yīng)用數(shù)學(xué)，而且還要鑒賞數(shù)學(xué)，品味數(shù)學(xué)。關(guān)鍵詞：幾何畫(huà)板；迭代功能；謝爾賓斯基三角形；謝爾賓斯基地毯；柯赫曲線(xiàn)；柯赫雪花曲線(xiàn)古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯說(shuō)過(guò)，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，如構(gòu)建新穎優(yōu)美，線(xiàn)條自然流暢，意境美妙和諧的幾何圖形，會(huì)令人賞心悅目.挖掘數(shù)學(xué)所具有的動(dòng)態(tài)的神奇之美，給我們以美的熏陶、美的啟迪、美的享受，使我們不僅僅掌握數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，而且還要鑒賞數(shù)學(xué)，品味數(shù)學(xué)。幾何畫(huà)板是一個(gè)優(yōu)秀的教育軟件，以其學(xué)習(xí)容易、操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)在我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)多媒體輔助教學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。事實(shí)上，幾何畫(huà)板的“迭代”等許多功能在數(shù)學(xué)的多媒體輔助教學(xué)中也大有作為，遺憾的是尚未引起足夠的重視，這方面的文

3、章目前還很少見(jiàn)。本文就謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、謝爾賓斯基金字塔、門(mén)杰海綿（謝爾賓斯基海綿）、柯赫曲線(xiàn)、柯赫雪花曲線(xiàn)等內(nèi)容，探討幾何畫(huà)板迭代功能在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，意在拋磚引玉。迭代是幾何畫(huà)板中一個(gè)很有趣的功能，它相當(dāng)于程序設(shè)計(jì)的遞歸算法。通俗的講就是用自身的結(jié)構(gòu)來(lái)描述自身。最典型的例子就是對(duì)階乘運(yùn)算可看作一下的定義：。遞歸算法的特點(diǎn)是書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單，容易理解，但是運(yùn)算消耗內(nèi)存較大。我們先來(lái)了解下面這幾個(gè)最基本的概念。迭代：按一定的迭代規(guī)則，從初始對(duì)象到對(duì)應(yīng)象之間的反復(fù)映射過(guò)程。原象：產(chǎn)生迭代序列的初始對(duì)象，通常稱(chēng)為“種子”。初象：原象經(jīng)過(guò)一系列變換操作而得到的象。與原象是相對(duì)概念。迭代

4、像就是迭代操作產(chǎn)生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次數(shù)。幾何畫(huà)板中迭代的控制方式分為兩種，一種是沒(méi)有參數(shù)的迭代，另一種是帶參數(shù)的迭代，我們稱(chēng)為深度迭代。兩者沒(méi)有本質(zhì)的不同，但前者需要手動(dòng)改變迭代的深度，后者可通過(guò)修改參數(shù)的值來(lái)改變迭代深度，即迭代的層數(shù)。那么下面我們通過(guò)例子來(lái)進(jìn)一步地了解迭代以及相關(guān)的概念。例1、謝爾賓斯基三角形波蘭著名數(shù)學(xué)家在1915-1916年期間，為實(shí)變函數(shù)理論構(gòu)造了幾個(gè)典型的例子， 這些怪物常稱(chēng)作“謝氏三角”、“謝氏地毯”、“謝氏金字塔”、“謝氏海綿”。著名的謝爾賓斯基三角形，具有嚴(yán)格的自相似特點(diǎn)。不斷連接等邊三角形的中點(diǎn)，挖去中間新的小三角形進(jìn)行分割隨著分割不斷進(jìn)行，

5、謝爾賓斯基三角形總面積趨于零，總長(zhǎng)度趨于無(wú)窮。 分析：取一個(gè)大的正三角形，連接各邊的中點(diǎn)，得到4個(gè)完全相同的小正三角形，挖掉中間的一個(gè)，這是第一步。然后將剩下的三個(gè)小正三角形按照上述辦法各自取中點(diǎn)、各自分出4個(gè)小正三角形，去掉中間的一個(gè)小正三角形，這是第二步。依次類(lèi)推，不斷劃分出小的正三角形，同時(shí)去掉中間的一個(gè)小正三角形。這就是謝氏三角形的生成過(guò)程。操作步驟：（1）新建畫(huà)板后，繪制出線(xiàn)段BC。雙擊點(diǎn)C，標(biāo)記C為旋轉(zhuǎn)中心。選中線(xiàn)段BC以及點(diǎn)B，選擇【變換】、【旋轉(zhuǎn)】，旋轉(zhuǎn)角度設(shè)置為60°。點(diǎn)擊“旋轉(zhuǎn)”按鈕，畫(huà)板出現(xiàn)B點(diǎn)。將點(diǎn)B的標(biāo)簽更改為A，繪制線(xiàn)段AB、AC。（2）取ABC

6、三邊中點(diǎn)為D、E、F，連接DE、EF、DF，就得到DEF。（3）填充這個(gè)三角形，并度量它的面積，選擇DEF和相應(yīng)的度量結(jié)果，點(diǎn)擊【顯示】、【顏色】、【參數(shù)】，則三角形的顏色會(huì)隨它的面積變化而變化，從而產(chǎn)生美輪美奐的效果。（4）單擊【數(shù)據(jù)】、【新建參數(shù)】，在名稱(chēng)欄中輸入n，在值欄中輸入2，在單位欄中選擇“無(wú)”，單擊【確定】，畫(huà)板顯示n=2，再單擊點(diǎn)B、C，單擊參數(shù)按鈕【n=2】，按住Shift鍵，單擊【變換】、【帶參數(shù)的迭代】，彈出【迭代】對(duì)話(huà)框，點(diǎn)擊畫(huà)板中與點(diǎn)B、C相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D、F，建立從原象B、C到初象D、F的映射。（5）繼續(xù)在這個(gè)對(duì)話(huà)框中點(diǎn)擊【結(jié)構(gòu)】、【添加新的映射】，然后依次單擊點(diǎn)B、E

7、（如圖1-1），還在這個(gè)對(duì)話(huà)框中點(diǎn)擊【結(jié)構(gòu)】、【添加新的映射】，然后依次單擊點(diǎn)E、C，去掉【結(jié)構(gòu)】下拉菜單中【生成迭代數(shù)據(jù)表】前的對(duì)鉤，單擊【迭代】按鈕。（6）選中參數(shù)n=2.00,按鍵盤(pán)上的“”、“”鍵控制參數(shù)t值的增減，同時(shí)也控制迭代層數(shù)的增減（如圖1-2）。圖1-1 圖1-2例2、謝爾賓斯基地毯分析：和謝爾賓斯基三角形相似，只是步驟多了一些。取正方形將其9等分，得到9個(gè)小正方形，舍去中央的小正方形，保留周?chē)?8 個(gè)小正方形。然后對(duì)每個(gè)小正方形再 9 等分，并同樣舍去中央正方形。按此規(guī)則不斷細(xì)分與舍去，直至無(wú)窮。操作步驟：（1）新建畫(huà)板后，繪制出線(xiàn)段AB，雙擊B點(diǎn)，選中線(xiàn)段AB以及點(diǎn)A，選

8、擇【變換】、【旋轉(zhuǎn)】，旋轉(zhuǎn)角度設(shè)置為90°，點(diǎn)擊“旋轉(zhuǎn)”按鈕，畫(huà)板出現(xiàn)A點(diǎn)。將點(diǎn)A的標(biāo)簽更改為C。雙擊C點(diǎn)，重復(fù)上面操作得到點(diǎn)D，連接AD，就構(gòu)造出正方形ABCD。（2）選中A點(diǎn)，點(diǎn)擊【變換】、【標(biāo)記中心】，再選中B、D，單擊【變換】、【縮放】，出現(xiàn)對(duì)話(huà)框，修改縮放比為，得到E、F；同理將放縮比改為，得到L、G；再以C為縮放中心，重復(fù)上面操作即可得到點(diǎn)I、J、H、K，連接HE、IL、GJ、FK，將正方形九等分。（3）填充中間的正方形MNQP，度量正方形MNQP的面積，點(diǎn)擊【顯示】、【顏色】、【參數(shù)】，則正方形的顏色會(huì)隨它的面積變化而變化。（4）單擊【數(shù)據(jù)】、【新建參數(shù)】，在名稱(chēng)欄中輸

9、入n，在值欄中輸入2，在單位欄中選擇“無(wú)”，單擊【確定】，畫(huà)板顯示n=2，再單擊點(diǎn)A、B，單擊參數(shù)按鈕【n=2】，按住Shift鍵，單擊【變換】、【帶參數(shù)的迭代】，彈出【迭代】對(duì)話(huà)框，點(diǎn)擊畫(huà)板中與點(diǎn)A、B相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、E，建立從原象A、B到初象A、E的映射。（5）繼續(xù)在這個(gè)對(duì)話(huà)框中點(diǎn)擊【結(jié)構(gòu)】、【添加新的映射】，然后依次單擊點(diǎn)F、M（如圖2-1），還在這個(gè)對(duì)話(huà)框中點(diǎn)擊【結(jié)構(gòu)】、【添加新的映射】，然后依次單擊點(diǎn)G、P，重復(fù)單擊【添加新的映射】，并單擊點(diǎn)E、L；P、Q；L、B；N、K；Q、J，然后去掉【結(jié)構(gòu)】下拉菜單中【生成迭代數(shù)據(jù)表】前的對(duì)鉤，單擊【迭代】按鈕。單擊迭代，隱藏不必要的對(duì)象。（6）

10、選中參數(shù)n=2.00,按鍵盤(pán)上的“”、“”鍵控制參數(shù)t值的增減，同時(shí)也控制迭代層數(shù)的增減。圖2-1例3、門(mén)杰海綿（謝爾賓斯基海綿）與謝爾賓斯基金字塔奧地利數(shù)學(xué)家K門(mén)杰(KMenger)從三維的單位立方體出發(fā)，用與構(gòu)造謝爾賓斯基地毯類(lèi)似的方法，構(gòu)造了門(mén)杰“海綿”(1999年以前，大部分分形著作中，均誤稱(chēng)之為謝爾賓斯基海綿)（如圖3-2）；用與構(gòu)造謝爾賓斯基三角形類(lèi)似的方法，構(gòu)造了謝爾賓斯基金字塔(如圖4-2)。門(mén)格海綿的每一個(gè)面都是謝爾賓斯基地毯；謝爾賓斯基金字塔在力學(xué)上也有實(shí)用價(jià)值，謝爾賓斯基金字塔結(jié)構(gòu)節(jié)省材料，強(qiáng)度高，例如埃菲爾鐵塔的結(jié)構(gòu)與它就很相似。這是兩座宏偉的集合大廈，里面有無(wú)數(shù)的通道

11、，連接著無(wú)數(shù)的門(mén)窗。這種“百孔千窗”、“有皮沒(méi)有肉”的結(jié)構(gòu)的表面積是無(wú)窮大，它們是由反復(fù)挖去一撥比一撥小的立體所生成，是化學(xué)反應(yīng)中催化劑或阻化劑最理想的結(jié)構(gòu)模型。如果我們制作任意三角形的謝爾賓斯基三角形和任意四邊形的謝爾賓斯基地毯（即三角形和四邊形的頂點(diǎn)都是自由點(diǎn)），然后按照多面體的側(cè)面數(shù)將他們復(fù)制。利用畫(huà)板合并點(diǎn)的功能，將它們“粘貼”到四棱錐和正方體的各個(gè)側(cè)面上，可以制作謝爾賓斯基金字塔和謝爾賓斯基海綿的效果圖（如圖3-1、圖4-1）。而圖1-2、圖1-4是用幾何畫(huà)板迭代功能制作出的門(mén)杰海綿和謝爾賓斯基金字塔（由于制作非常復(fù)雜，這里就不再贅述制作步驟）。圖3-1 圖3-2 圖4-1 圖4-2

12、例4、柯赫曲線(xiàn)瑞典數(shù)學(xué)家柯赫于1904年構(gòu)造出了被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)怪物”的著名曲線(xiàn)，如今稱(chēng)之為“柯赫曲線(xiàn)”(Koch curve)的幾何對(duì)象。分析：它的構(gòu)造過(guò)程如下：取一條長(zhǎng)度為a的直線(xiàn)段，先將它三等分，然后保留兩側(cè)的兩段，將中間的一段改成夾角為60°的兩個(gè)等長(zhǎng)的線(xiàn)段，每段長(zhǎng)度均為，這是n=1的第一次操作。類(lèi)似地，第二次操作是將上次所得的四段邊長(zhǎng)為的線(xiàn)段都進(jìn)行三等分，現(xiàn)在每段長(zhǎng)度為，并將它們中間的一段改成夾角為60°的兩個(gè)長(zhǎng)度為的直線(xiàn)。如果將上述操作一直進(jìn)行下去，最終得到一條具有自相似結(jié)構(gòu)的曲線(xiàn)，稱(chēng)為三次柯赫曲線(xiàn)。操作步驟：（1）畫(huà)線(xiàn)段AB，以A為縮放中心，將放縮比修改為得到C點(diǎn)

13、；以B為縮放中心，將放縮比修改為得到D點(diǎn)。選中C點(diǎn)，單擊【變換】、【旋轉(zhuǎn)】，彈出【旋轉(zhuǎn)】對(duì)話(huà)框，在該對(duì)話(huà)框中選擇【固定角度】，角度框中填寫(xiě)“-60°”，得到E點(diǎn)。隱藏線(xiàn)段AB，連接線(xiàn)段AC、CE、ED、DB。（2）單擊【數(shù)據(jù)】、【新建參數(shù)】，在名稱(chēng)欄中輸入n，在值欄中輸入3，在單位欄中選擇“無(wú)”，單擊【確定】，畫(huà)板顯示n=3。（3）順次選擇A、B兩點(diǎn)，單擊參數(shù)按鈕【n=3】，按住Shift鍵，單擊【變換】、【帶參數(shù)的迭代】，彈出【迭代】對(duì)話(huà)框，點(diǎn)擊畫(huà)板中與點(diǎn)A、B相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、C，建立從原象A、B到初象A、C的映射。（4）在這個(gè)對(duì)話(huà)框中點(diǎn)擊【結(jié)構(gòu)】、【添加新的映射】，然后依次單擊點(diǎn)C

14、、E，還在這個(gè)對(duì)話(huà)框中點(diǎn)擊【結(jié)構(gòu)】、【添加新的映射】，然后依次單擊點(diǎn)E、D，重復(fù)單擊【添加新的映射】，并單擊點(diǎn)D、B，然后去掉【結(jié)構(gòu)】下拉菜單中【生成迭代數(shù)據(jù)表】前的對(duì)鉤，單擊【顯示】按鈕，選擇“顯示最終迭代”，單擊【迭代】按鈕。隱藏線(xiàn)段AC、CE、ED、DB（如圖5-1）。（5）選中參數(shù)t=3.00,按鍵盤(pán)上的“”、“”鍵控制參數(shù)t值的增減，同時(shí)也控制迭代層數(shù)的增減。（如圖5-2）圖5-1例5、柯赫雪花瑞典人柯赫于1904年提出了著名的“雪花”曲線(xiàn)。因?yàn)樗崴蒲┗?，所以叫“雪花曲線(xiàn)”(snowflake curve)，也很像海岸線(xiàn)。分析：這種曲線(xiàn)的作法是，從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等

15、份，然后以各邊的中間長(zhǎng)度為底邊。分別向外作正三角形，再把“底邊”線(xiàn)段抹掉，這樣就得到一個(gè)六角形，它共有12條邊。再把每條邊三等份，以各中間部分的長(zhǎng)度為底邊，向外作正三角形后，抹掉底邊線(xiàn)段。反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就會(huì)得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線(xiàn)。這曲線(xiàn)叫做柯赫曲線(xiàn)或雪花曲線(xiàn)。反復(fù)進(jìn)行這一作圖過(guò)程，得到的曲線(xiàn)越來(lái)越精細(xì)。操作步驟：（1）在平面上取AB做一個(gè)KOCH曲線(xiàn)（注意要有一定順序從A到B點(diǎn)），新建一個(gè)參數(shù)以控制迭代深度，取參數(shù)初始值為2。（2）選擇所有對(duì)象，然后按工具箱中的【自定義工具】按鈕選擇【創(chuàng)建新工具】命令，在彈出的對(duì)話(huà)框中將工具名稱(chēng)更改為“雪花曲線(xiàn)的一邊”，按確定退出。（3）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中

16、心，將A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F。（4）選擇工具箱中的【自定義工具】、【雪花曲線(xiàn)的一邊】工具；用鼠標(biāo)選擇點(diǎn)B、F、迭代深度（如圖6-1）；再用鼠標(biāo)選擇點(diǎn)F、A、迭代深度，隱藏不必要的內(nèi)容（如圖6-2）。（5）拖動(dòng)點(diǎn)A、B可改變圖形大小，雙擊“迭代深度”或選擇“迭代深度”后按“+”或“-”鍵改變迭代深度可控制“生長(zhǎng)”的次數(shù)。（注：迭代深度=生長(zhǎng)次數(shù)-1）圖6-1 圖6-2其實(shí)，柯赫雪花還可以這樣生成，（1）在平面上取AB做一個(gè)KOCH曲線(xiàn)，然后在A的左端任取一點(diǎn)D，在B的右邊任取一點(diǎn)C，分別在AD和BC上做KOCH雪花，注意三個(gè)迭代深度都必須為n。（2）以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到B點(diǎn)。選擇B，C兩點(diǎn)，單擊【編輯】【合并點(diǎn)】，則C點(diǎn)與B點(diǎn)合并，同理，再合并D、B兩點(diǎn)，KOCH雪花完成了。數(shù)學(xué)之所以被某些人稱(chēng)為“枯燥的數(shù)字游戲”，是因?yàn)楸M管數(shù)學(xué)圖像千變?nèi)f化，但學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)的只是其中最簡(jiǎn)單的基本圖形，當(dāng)然沒(méi)有興趣可言。正如著名數(shù)學(xué)家分形幾何的創(chuàng)始人芒德勃羅所說(shuō)：“為什么幾何學(xué)常常被說(shuō)成是冷酷無(wú)情'和枯燥乏味'呢？原因之一在于它無(wú)力描寫(xiě)云彩、山嶺、