全等三角形中做輔助線總結(jié)

1、口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1、 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊

2、作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，如取，并連接、，則有，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，平分，平分，點(diǎn)E在上，求證：。例2 已知：如圖1-3，2，求證例3 已知：如圖1-4，在中，2平分，求證：分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的

3、延長來證明呢？練習(xí)1 已知在中，平分，2C，求證：2 已知：在中，2B，平分交于E，2，求證：23 已知：在中，為的平分線，M為上任一點(diǎn)。求證：4 已知：D是的的外角的平分線上的任一點(diǎn)，連接、。求證：。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知, 。求證：180分析：可由C向的兩邊作垂線。近而證與B之和為平角。例2 如圖2-2，在中，90，。求證：分析：過D作于E，則，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，的角平分線、相交于

4、點(diǎn)P。求證：的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接，證平分即可，也就是證P到、的距離相等。練習(xí)：1如圖2-415， 如果4，則（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在中，90，平分，1.52.5.求。3已知：如圖2-5, ，（）.求證：180。4.已知：如圖2-6,在正方形中，E為 的中點(diǎn)，F(xiàn)為 上的點(diǎn)，。求證：。5 已知：如圖2-7，在中，90，垂足為D，平分交于F，過F作交于H。求證。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一

5、的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，于D，H是中點(diǎn)。求證：（）分析：延長交于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，90，為的平分線，.求證：2。例3已知：如圖3-3在中，、分別的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作，交的延長線于F，連結(jié)并延長交于M。求證：。分析：由、是內(nèi)外角平分線，可得，從而有，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在中，平分，交延長線于M。求證：（）分析：題設(shè)中給出了角平分線，自然想到以為軸作對(duì)稱變換，作關(guān)于的對(duì)稱，然后只需證，另外由求證的結(jié)果（），即2，也可嘗試作關(guān)于的對(duì)稱，然后只需證

6、即可。練習(xí)：1 已知：在中，5，3，D是中點(diǎn)，是的平分線，且于E，連接，求。2 已知、分別是的的內(nèi)角與外角的平分線，于F，于E，連接分別交、于M、N，求證（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB例4 如圖，, 1=2，求證：。例5 如圖，平分，且，求證：180。BDCAABECD例6 如圖，、分別平分各，求證：。練習(xí)：1. 已知，如圖，2A，2。求證：是直角三角形。CAB2已知：如圖，2，1=2，求

7、證：ABDC123已知、是的角平分線，60，求證：AEBDC4已知：如圖在中，90，是的平分線，求證：ABCD二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不

8、出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為內(nèi)兩點(diǎn),求證.證明：（法一）將兩邊延長分別交、于M、N，在中，;（1）在中，；（2）在中，；（3）由（1）+（2）+（3）得：（法二：圖1-2）延長交于F，廷長交于G，在和和中有：（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）（同上）（2）（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外

9、角定理：例如：如圖2-1：已知D為內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：。分析：因?yàn)榕c不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使處于在外角的位置，處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長交于點(diǎn)E，這時(shí)是的外角，同理，證法二：連接，并廷長交于F，這時(shí)是的外角，同理，即：。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知為的中線，且1=2,3=4,求證：。分析：要證，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把，移到同一個(gè)三角形中，而由已知

10、1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把，移到同個(gè)三角形中。證明：在上截取，連接，則，在和中：（輔助線作法）1=2（已知）（公共邊）（）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：在中（三角形兩邊之和大于第三邊）。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在中，1=2，P為上任一點(diǎn)求證：。分析：要證：，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊，故可在上截取等于，得，再連接，則，又在中，。證明：（截長

11、法）在上截取連接,在和中（輔助線作法）1=2（已知）（公共邊）（）,（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在中，有（三角形兩邊之差小于第三邊）(三角形兩邊之差小于第三邊)。DAECB例1如圖，平分，且180，求證：。例2如圖，在四邊形中，平分，于E，2，求證：180例3已知：如圖，等腰三角形中，108，平分。DCBA求證：。MBDCA例4如圖，已知中，90，是的平分線，于M，且。求證：。【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：中，是的平分線，且，求證方法1：作于E，作于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線中 方式1： 延長到E， 是邊中線 使， 連接 方式2：間接倍長

12、作于F， 延長到N， 作的延長線于E 使，連接 連接【經(jīng)典例題】例1：中，5，3，求中線的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在中，D在上，E在的延長線上，交于F，且，求證：方法1：過D作交于G，證明方法2：過E作交的延長線于G，證明方法3：過D作于G，過E作的延長線于H 證明例3：已知在中，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，且，延長交于F，求證：提示：倍長至G，連接，證明 三角形是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在上，且，過D作交于點(diǎn)F，.求證：平分提示：方法1：倍長至G，連結(jié)方法2：倍長至H，連結(jié)例5：已知，是的中線，求證：提示：倍長至F，連結(jié) 證明（）

13、進(jìn)而證明（）【融會(huì)貫通】1、在四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，與的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長、交于G 證明、 所以2、如圖，為的中線，平分交于E，平分交于F. 求證：提示：方法1：在上截取，連結(jié)、 證明 所以、 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長至H，連結(jié)、 證明、 利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，D中，90，于M，平分交于D，交于T，過D作交于E，求證：.提示：過T作于N 證明1如圖，、分別平分各，求證：。EDCBA2.如圖，中，90，是過A的一條直線，且B，C在的異側(cè)，于D，于E。求證：四、 由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，

14、連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，是的中線，則S（因?yàn)榕c是等底同高的）。例1如圖2，中，是中線，延長到E，使，是的中線。已知的面積為2，求：的面積。解：因?yàn)槭堑闹芯€，所以S2=1，又因是的中線，故S1，因是的中線，所以S1=。的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形中，E、F分別是、的中點(diǎn)，、的延長線

15、分別交的延長線G、H。求證：。證明：連結(jié)，并取的中點(diǎn)為M，連結(jié)、，是的中位線，是的中位線，從而。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3圖4，已知中，5，3，連上的中線2，求的長。解：延長到E，使，則222=4。在和中，從而3。在中，因22=42+32=252，故90，故22。例4如圖5，已知中，是的平分線，又是邊上的中線。求證：是等腰三角形。證明：延長到E，使。仿例3可證：，故，2，又1=2，1=E，從而，即是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形中，求證：。證明：取的中點(diǎn)E，連結(jié)、，則、分別為，斜邊上的中線，故，因此。，1，2，1=2，在和中，1=2，從而梯形是等腰梯形，

16、因此。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，是等腰直角三角形，90，平分交于點(diǎn)D，垂直于，交的延長線于點(diǎn)E。求證：2。證明：延長，交于點(diǎn)F，在和中，1=2，90，從而2。又1+3+90，故1=3。在和中，1=3，90，2。注：此例中是等腰的底邊的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：為的中線，且1=2，3=4，求證：。證明：廷長至M，使，連接，。在和中，（中點(diǎn)定義）1=5（對(duì)頂角相等）（輔助線作法）（）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（

17、平角的定義）3+2=90即：9090在和中（輔助線作法）（已證）（公共邊）（）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在中，（三角形兩邊之和大于第三邊）上題也可加倍，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：為的中線，求證：2。分析：要證2，由圖想到：，所以有2，左邊比要證結(jié)論多，故不能直接證出此題，而由2想到要構(gòu)造2，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長至E，使，連接，為的中線（已知）（中線定義）在和中（已證）1=2（對(duì)頂角相等）（輔助線作法）（）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在中有：（三角形兩邊之和大于

18、第三邊）2。練習(xí)：1 如圖，6，8，D為 的中點(diǎn)，求的取值范圍。BADC862 如圖，E為的中點(diǎn)，求證：2。BECDA3 如圖，M為中點(diǎn)，90。求證：。DM4，已知，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證2。ABDCEF5已知：如圖為的中線，求證： 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是

19、三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖中，5，3，則中線的取值范圍是.2：如圖，中，E、F分別在、上

20、，D是中點(diǎn)，試比較與的大小.3：如圖，中，E是的中點(diǎn)，求證：平分.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，連接，M、N分別是、的中點(diǎn)探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是，線段與的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖中的等腰繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補(bǔ)短1.如圖，中，2，平分，且，求證：2：如圖，分別平分,，過點(diǎn)E，求證3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線。求證：4：如圖，在四邊形中，平分，求證：5:如圖在中，12，P為上任意一點(diǎn)，求證中考應(yīng)用（08海

21、淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，若2C，如果作平分，則是等腰三角形；如圖中，若2C，如果延長線到D，使，連結(jié)，則是等腰三角形；BCDABCDABCDA如圖中，若B2，如果以C為角的頂點(diǎn)，為角的一邊，在形外作，交的延長線于點(diǎn)D，則是等腰三角形.DCBA1、如圖，中，交于D.求證：.ABC2、如圖，中，2B，2.求證：A90.二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖中，若平分，則是等腰三角形；如圖中，平分，則是等腰三角形

22、；如圖中，平分，則是等腰三角形；ADCBEECBDABACDEABFCDEG如圖中，平分，則是等腰三角形.3、如圖，中，在上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作，交的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F.求證：.FBACPEFCDEBA4、如圖，中，平分，E、F分別在、上，且，.求證：.E圖1ABCD三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形1中，若平分，則是等腰三角形.5、如圖2，已知等腰中，90，平分，交的延長線于D。求證：2.圖2BFDCA四：其他方法總結(jié)1截長補(bǔ)短法ABCDE6、如圖，已知：正方形中，的平分線交于E，求證：2倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。EABCDF 7、如圖（7）是的中線，交于E，交于F，且求證：AE8、已知，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證2。 FBCD3平行線法（或平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì),有時(shí)可作出斜邊的中線ABCPQO9、中，60，40平分交于P，平分交于Q， 求證：OABCPQD圖（1）ABCPQDE圖（2）O說明：本題也可以在截取，連，構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法” 本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（1），過O作交于D，則來解決ABCPQ圖（3）DO 如圖（2），過O作交于D，交于E，則，來解決 如圖（3）